第2部分 专题七 抛物线背景下的几何探究题(压轴题)-2021年中考数学一轮复习ppt课件（广西专版）.pptx

1、专题综合强化第二部分 专题七抛物线背景下的几何探究题(压轴题)常考题型常考题型精讲精讲 (2017北部湾经济区 T26；2018北部湾经济区 T26；2018贵港 T25.题型：解答分值 1011分)值知识点知识点1探究线段数量关系及最值的存在性问题探究线段数量关系及最值的存在性问题理解并记住常见的“将军饮马”模型辅助线添加方法，对常见的轴对称图形(如等腰三角形，正方形，圆)的对称轴要灵活运用常见考法有：(1)“将军饮马”与坐标系结合；(2)利用菱形的对角线；(3)利用圆的直径下表给出几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法：问题问题作法作法图形图形原理原理在直线l上求一点P，使APBP最小作

2、点A关于直线l的对称点A，连接AB，AB与直线l的交点即为点PAPBPAB，两点之间，线段最短问题问题作法作法图形图形原理原理在直线l1，l2上分别求点M，N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P，P，连接PP，与两直线交点即为点M，NPMMNPNPP，两点之间，线段最短问题问题作法作法图形图形原理原理在直线l1，l2上分别求点M，N，使四边形PMNQ的周长最小分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P，Q，连接PQ，与直线的交点即为点M，NPQPMMNNQPQPQ，两点之间，线段最短问题问题作法作法图形图形原理原理在直线l上求点P，使|APBP|最大作点B关于直线l的对称点B，作

3、直线AB与直线l的交点即为点P|APBP|AB，三角形任意两边之差小于第三边问题问题作法作法图形图形原理原理在直线l上求点P，使|PAPB|最小连接AB，作AB的中垂线，与l的交点即为点P|PAPB|0，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等问题问题作法作法图形图形原理原理点P在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使PDCD最小作点P关于直线OB的对称点P，过点P向直线OA作垂线，与OB的交点即为所求点D，垂足即为点CPDCD的最小值为PC的长度点到直线的距离，垂线段最短典例精析典例精析 例例1如图，直线yxb与x轴、y轴相交于A，B两点，经过A，B两点的抛物线yx2

4、2xc与x轴的另一交点为C(1，0)(1)求抛物线的解析式.第1题图【解答】【解答】将点将点C的坐标代入的坐标代入yx22xc，得得012c，解得，解得c3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.(2)(2)D为线段AO上的一动点，过点D作x轴的垂线PD，PD分别与抛物线yx22xc，直线yxb相交于P，E两点，设点D的横坐标为m.连接OE，在点D的运动过程中，求线段OE的最小值解题思路解题思路第一步：由(1)(1)可得点A，B的坐标，从而得到OAB的度数；第二步：在OAE中，通过锐角三角函数求得OE的长【解答】【解答】令令y0，得，得x22x30，解得解得x1或或x3，A(3，0)，

5、即，即OA3.令令x0，得，得y3，B(0，3)，即，即OB3，OAOB，OAB45.当当OEAB时，时，OE的值最小，的值最小，此时此时OEOAsin OAB3 ，即线段即线段OE的最小值为的最小值为 .223 223 22当当DEBE时，求点时，求点D的坐标的坐标3 2解题思路解题思路第一步：将DE，BE的长分别用含m的式子表示；第二步：列等式求解即可在点D的运动过程中，求线段PE的最大值【解答】【解答】易知直线易知直线AB的解析或为的解析或为yx3.点点D的横坐标为的横坐标为m，点点P的坐标为的坐标为(m，m22m3)，点，点E的坐标为的坐标为(m，m3)，PEm22m3(m3)m23m

6、(m )2 .10，PE有最大值，有最大值，当当m 时，时，PE的最大值为的最大值为 .32943294解题思路解题思路第一步：用含m的式子分别表示点P，E的坐标；第二步：列出PE长的式子，利用二次函数的性质即可求解(3)若F为抛物线的顶点，Q为y轴上一点，是否存在FQAQ的值最小的情况？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解题思路解题思路第一步：根据抛物线的解析式可求得点F的坐标；第二步：作点A关于y轴的对称点A，连接AF，交y轴于点Q，此时AQFQ的值最小，即AQFQ的值最小；第三步：由点A，F的坐标求得直线AF的解析式，即可求出点Q的坐标【解答】存在【解答】存在.根据题意，可得

7、点根据题意，可得点F的坐标为的坐标为(1，4)作点作点A关于关于y轴的对称点轴的对称点A，连接，连接AF，交，交y轴于点轴于点Q，此时点，此时点A的坐标为的坐标为(3，0)，AQFQ的值最小的值最小由由A(3，0)，F(1，4)得直线得直线AF的解析式为的解析式为yx3，点点Q的坐标为的坐标为(0，3)(4)(4)若若M为抛物线对称轴上一动点，求为抛物线对称轴上一动点，求BCM周长的最小值及此时点周长的最小值及此时点M的的坐坐标标解题思路解题思路第一步：易得抛物线的对称轴为直线x1；第二步：由抛物线的对称性可知，A，C两点关于直线x1对称，连接AB，则直线AB与直线x1的交点为M，此时BCM的

8、周长最小，即CBCMBCMCBMBCAB；第三步：分别求出BC，AB的值，即可求得BCM周长的最小值；第四步：将x1代入直线AB的解析式中即可得到点M的坐标【解答】【解答】易得抛物线的对称轴为直线易得抛物线的对称轴为直线x1，由抛物线的对称性可知，由抛物线的对称性可知，A，C两点关于直线两点关于直线x1对称，对称，连接连接AB，则直线，则直线AB与直线与直线x1的交点为的交点为M，此时此时BCM周长最小，即周长最小，即CBCMBCMCBMBCAB.由由(1)(1)可得可得OC1，OB3，OA3，由勾股定理可得由勾股定理可得BC ，AB ，BCM周长的最小值为周长的最小值为 .将将x1代入代入y

9、x3，得，得y132，即点，即点M的坐标为的坐标为(1，2)103 23 2101(2020凉山)如图，二次函数yax2bxc的图象过O(0，0)，A(1，0)，B(,)三点(1)求二次函数的解析式；(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQx轴，交直线CD于点Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标3232解：解：(1)(1)将点O，A，B的坐标代入二次函数的解析式，得 c=0，a=a+b+c=0，解得 b=-a+b+c=，c=0，故二次函数的解析式为y x2 x.9

10、432322 332 332 332 33(2)(2)由点B的坐标知，直线OB的倾斜角为30，则线段OB的垂直平分线CD与x正半轴的夹角为60，故设直线CD的解析式为y xd，而线段OB的中点坐标为(，)，将该点坐标代入直线CD的解析式并解得d ，故直线CD的解析式为y x .34343333(3)(3)设点P(x，x2 x)，则点Q(x，x )则PQ x (x2 x)x2 x (x )2 .0，当x 时，PQ有最大值，此时点P的坐标为(，)2 332 3333332 332 332 333332 331425 3242 33141425 3242如图，抛物线yax2bx4(a0)与x轴交于A

11、(3，0)，C(4，0)两点，与y轴交于点B.(1)求抛物线的顶点坐标(2)点D在线段AC上，且ADAB，动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒后线段PQ被BD垂直平分，求t的值(3)在(2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQMC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由第2题图解：解：(1)(1)抛物线yax2bx4(a0)与x轴交于A(3，0)，C(4，0)两点，9a-3b+4=0，a=16a+4b+4=0，解得 ，b=抛物线的解析式为 y x2 x4 (x )2 ，抛物线的顶点坐标为(，)13

12、13131313124912124912(2 2)y x2 x2 x4，B(0，4)A(3，0)，C(4，0)，OA3，OBOC4，AB5，AC7.ADAB5，CD2.如答图如答图1，连接，连接DQ.BD垂直平分垂直平分PQ，DPDQ，PDBQDB.ADAB，ABDADB，QDBABD，QDAB，131313CDQCAB，即，即 ，PDDQ ，APADPD5 ，t的值为的值为 .DQABCDCA27DQ527107107257257(3)(3)存在存在如答图如答图2，连接，连接AQ交对称轴于点交对称轴于点M，此时，此时MQMC的值最小，的值最小，图1图2过点过点Q作作QNx轴于点轴于点N.DQ

13、AB，QDNBAC，sin QDNsin BAC ，QN .设直线设直线BC的解析式为的解析式为ykxc，把点把点B(0，4)，C(4，0)代入，得代入，得 c=4，k=-1 4k+c=0，解得，解得，c=4，OBABQNDQ45QN10787直线直线BC的解析式为的解析式为yx4，当当y 时，时，x4，解得，解得x ，Q(，)同理可得直线同理可得直线AQ的解析式为的解析式为y x ，当当x 时，时，y +，M(，)8787207207878412441128411224412841122841命题点命题点2探究角度数量关系的存在性问题探究角度数量关系的存在性问题(2020玉林T26(2)；2

14、020贵港T25；2017河池 T26；2017来宾 T26；2016贵港 T25，题型：解答分值 1114分)角度相关的探究题一般分为探究特殊角度或两个角相等(1)探究90角，分为几种情况：点在直线上运动与两个已知点形成直角：一般可以形成一个或两个直角，可以通过构造和已知的直角三角形相似来求线段长，再利用三角函数和已知线段建立等式从而求出该点坐标；点在抛物线上运动，抛物线上的点和横轴上的两个交点形成直角：一般构造圆，通过直径所对的圆周角为90，所作的圆与抛物线有一个交点时，存在一点使已知角为直角，如果有两个交点时就存在两点使已知角为直角，再通过直角三角形的性质建立等量关系来求解；点在抛物线上

15、运动与抛物线和坐标轴的两个交点形成直角：可以形成三个或四个直角，分为以抛物线与横坐标交点为直角顶点，以抛物线与纵坐标交点为直角顶点，以动点为直角顶点这三种情况，其中以动点为直角顶点时，一般是通过构造圆，通过直径所对的圆周角为90来确定存在的点(2)探究两个角相等：可转换为满足此三角形是等腰三角形时的点，一般是通过此动点作已知两点连线的中垂线，再通过三角形相似以及中垂线的性质求出中垂线所在直线的解析式，最后通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标；通过构造两个三角形相似，再通过三角形相似的性质建立等式关系，再通过直线解析式和抛物线解析式联立方程组求得动点的坐标 如图，在平面直角坐标系

16、中，直线yx3交坐标轴于B，C两点，抛物线yax2bx3经过B，C两点，且交x轴于另一点A(1，0)，D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作DQCO，DQ交BC于点P，交x轴于点Q.(1)求抛物线的解析式典例精析典例精析 解题思路解题思路第一步：由直线yx3交坐标轴于B，C两点，可求得点B的坐标；第二步：将点A，B的坐标代入yax2bx3中，求出a，b的值，得出抛物线解析式【解答】【解答】直线直线yx3交坐标轴于交坐标轴于B，C两点，两点，B(3，0)抛物线抛物线yax2bx3经过经过B，C两点，且交两点，且交x轴于另一点轴于另一点A(1，0)，0=a-b+3，a=-1 0=9a+3b+3，b

17、=2，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.解得(2)当BC平分DCO时，求出点D的坐标解题思路解题思路第一步：由(1)(1)得OBOC，则OBCOCB45；第二步：由BC平分DCO得OCD90，则CDx轴；第三步：由抛物线的对称性可得点D的坐标【解答】【解答】由由(1)(1)得得OBOC，则，则OBCOCB45，BC平分平分DCO，OCD90，CDx轴轴易得抛物线的对称轴为直线易得抛物线的对称轴为直线x1.又又C(0，3)，点点D的坐标为的坐标为(2，3)解题思路解题思路第一步：分别用含m的式子表示出点P，D的坐标；第二步：过点D作DHBC于点H，由题中数量关系用m表示出DH，CH的

18、长；第三步：根据tan DCPtan ACO，代入式子求解即可(3)设点P的横坐标为m，当DCPACO时，求出m的值例2题答图【解答】【解答】如答图，过点如答图，过点D作作DHBC于点于点H.B(3，0)，C(0，3)，A(1，0)，COBO3，AO1，BCOCBO45，BC3 .DQOB，BPQPBQ45，PQQB，BP PQ.点点P的横坐标为的横坐标为m，P(m，m3)，D(m，m22m3)，PQm3，DQm22m3，DPDQPQm23m，BP (m3)DPHBPQ45，DHBC，HDPDPH45，22第3题答图DHPH DP (m23m)，CHCBBPPH3 -(m3)(m23m)m2

19、m.DCPACO，tan DCPtan ACO ，解得解得m0(舍去舍去)或或m .222222222222AOCODHCH1352解题思路解题思路第一步：由BCE90可得直线CE的解析式；第二步：将直线CE的解析式与抛物线解析式联立，解方程组即可求得点E的坐标(4)在抛物线上是否存在点E，使得BCE90？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】【解答】存在存在当当BCE90时，易得直线时，易得直线CE的解析式为的解析式为yx3，y=x+3，x=0 x=1 y=-x2+2x+3，y=3 y=4，点点E的坐标为的坐标为(1，4)解得联立联立(舍去舍去)或或1(2020鄂尔多斯)

20、如图1，抛物线yx2bxc交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为(1，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15，求线段CD的长度；(3)如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足PAB2ACO，求点P的坐标解：解：(1)(1)抛物线抛物线yx2bxc交交x轴于点轴于点A(1(1，0)，与，与y轴交于点轴交于点C(0，3)，0=1+b+c，b=2 c=-3，c=-3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.第1题图解得(2)(2)抛物线yx22x3交x轴于A，B两点，点B(3，0)点B(3，0)，点C(0，3)，OBOC3

21、，OBCOCB45，如答图1，当点D在点C上方时DBC15，OBD30，tan DBO ，OD 3 ，CD3 ；ODBO333333当点D在点C下方时DBC15，OBD60，tan DBO ，OD ，CD 3.综上所述，线段CD的长度为3 或 3.ODBO333 33 33 3(3)(3)如答图2，在BO上截取OEOA，连接CE，过点E作EFAC于点F.点A(1，0)，点C(0，3)，OA1，OC3，AC ，OEOA，COECOA90，OCOC.OCE OCA(SAS)，ACOECO，CEAC ，ECA2ACO.PAB2ACO.PABECA.SAEC AEOC ACEF，22OA+OC221+

22、910101212EF ，CF ，tan ECA 如答图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N.PABECA，tan ECAtan PAB ，ON ，点N(0，)又点A(1，0)，直线AP的解析式为y x ，2 3103 10522CE-EF1810-54 105EFCF34ONAO3434343434 y=x-，x1=1 x2=-y=x2+2x-3，y1=0，y2=-点P的坐标为(，)；当点P在AB的上方时，同理可求得直线AP解析式为y x ，y=-x+，x1=1 x2=-y=x2+2x-3，y1=0，y2=，点P的坐标为(，)，综上所述，点P的坐标为(，)或(，)343439169

23、494391634343434154571615457169439161545716联立解得或 联立解得2(2021原创)抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴正半轴交于点C.(1)如图1，若A(1，0)，B(3，0)，求抛物线yx2bxc的解析式；(2)在(1)的条件下，P为抛物线上一点，连接AC，PC.若PCO3ACO，求点P的横坐标；(3)如图2，D为x轴下方抛物线上一点，连接DA，DB.若BDA2BAD90，求点D的纵坐标 解解:(1)(1)将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，得 -1-b+c=0，b=2 -9+3b+c=0，c=3，抛物线的解析式

24、为yx22 3.第2题图解得(2)如答图如答图1，延长，延长CP交交x轴于点轴于点E，在，在x轴上取点轴上取点D，使，使CDCA，过点，过点E作作ENCD交交CD的延长线于点的延长线于点N，过点，过点A作作AICN于点于点I.点点A(1，0)，C(0，3)，AC .CDCA，OCAD，DCOACO.PCO3ACO，ECD2ACO.ACD2ACO，ACDECD，tan ACDtan ECD，.AICI10ENCN AI ，CI ，.设设EN3x，则，则CN4x，由由tan CDOtan EDN，知，知 ，DNx，DE x，CDCNDN3x ，x ，DE ，则点则点E的坐标为的坐标为(，0)，10

25、AD OCCD 2 3103 10522CA-AI4 105ENCNAICI34ENDNOCOD3110103103133223 10(10)()5 直线直线CE的解析式为的解析式为y x3.y=-x+3，x=0 x=y=-x2+2x+3，y=3 y=则点则点P的横坐标为的横坐标为 .913联立联立913解得解得35131921693513(舍去舍去)或或 (3)(3)如答图如答图2，过点，过点D作作DIx轴，垂足为轴，垂足为I.BDA2BAD90，DBIBDABAD，DBIBAD90.BDIDBI90，BADBDI.BIDDIA，IBDIDA，yD2xD2(xAxB)xDxAxB.令令y0，

26、得，得x2bxc0，则则xAxBb，xAxB-c，BIDIIDIADBDyxx DDAyxx 第2题答图2 yD2xD2(xAxB)xDxAxBxD2bxDc.yD-xD2+bxDc，yD2yD，解得解得yD0或或yD1.点点D在在x轴下方，轴下方，yD1，即点，即点D的纵坐标为的纵坐标为1.类类型型3探究特殊三角形的存在性问题探究特殊三角形的存在性问题(2019百色T26；2019北部湾经济区T26；2018河池 T26；2016河池 T26；2016玉林、防城港、崇左T26；2016北海 T26；2016梧州 T26.题型：解答分值：1012分)模型模型问题情境问题情境问题探究问题探究问题

27、解决问题解决“两圆一线”法：确定“两定一动”型等腰三角形(含等边三角形)存在性问题中的动点坐标如图，已知点A，B和直线l，在l上求作点P，使PAB为等腰三角形如图，分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的中垂线，两圆和AB的中垂线分别与直线l的交点均为符合条件的P点利用“两圆一线”法确定符合条件的动点，然后分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，模型模型问题情境问题情境问题探究问题探究问题解决问题解决由三条线段关系(ABAP或ABBP或PAPB)建立等量关系，解决问题等量关系可利用：(1)勾股定理建立；(2)方程思想建立；(3)成比例线段或相似关系

28、建立模型模型问题情境问题情境问题探究问题探究问题解决问题解决“一圆两线”法：精确定位“两定一动”型直角三角形存在性问题中的动点坐标如图，已知点A，B和直线l，在l上求作点P，使PAB为直角三角形如图，先以AB为直径作圆与直线l相交，再分别过A，B作线段AB的垂线，垂线和圆与直线l的交点即为所求的P点分别表示出点A，B，P的坐标，再表示出线段AB，AP，BP的长度，根据图形特殊性分别建立等量关系等量关系可利用：模型模型问题情境问题情境问题探究问题探究问题解决问题解决分(1)AB2AP2BP2或AP2AB2BP2或BP2AB2AP2，即勾股定理；(2)相似(常见一线三等角)；(3)三角函数模型一：

29、“两定一动”型(等腰三角形)1在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，在x轴上找一点P，使ABP为等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标 【解题思路】方法一：代数法由于动点P在x轴上，设P(m，0)，由两点间距离公式表示AB，AP，BP，然后列方程可得方法二：“两圆一线”法精确定位，可直接计算出圆与x轴交点坐标，“一线”与x轴交点坐标可用勾股定理构建方程求解解：解：A(3，0)，B(0，4)，由勾股定理可知由勾股定理可知AB 5.如答图，当如答图，当ABAP1AP35时，时，易得易得P1(8，0)，P3(2，0)；当当ABBP4时，时，P4(3，0)；当当AP2BP2时，在时，在

30、RtP2OB中，中，设设P2(m，0)，由勾股定理，得，由勾股定理，得(m3)2m242，解得解得m ，P2(，0)AOBO22 第1题答图7676综上所述，满足条件的综上所述，满足条件的P点的坐标为点的坐标为P1(8，0)，P2(，0)，P3(2，0)，P4(3，0)76模型二：“两定一动”型(直角三角形)2如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B(0，4)，在坐标轴上找一点C，使ABC为直角三角形，求满足条件的所有C点的坐标第2题图 【解题思路】本题可采用“代数法”，借助两点距离公式，用勾股定理建立等量模型，分类讨论求解，也可采用“一圆两线”法方法一：代数法利用两点距离公式分别表示

31、出AB，AC，BC，然后利用勾股定理建立等量关系即可解决问题方法二：“一圆两线”法精确画图后，利用相似或勾股定理求出符合条件的点的坐标解解:如答图，当如答图，当AC3B90时，时，AOBAC3B90，此时，点此时，点O与与C3重合，故重合，故C3(0，0)；当当BAC190时时A(3，0)，B(0，4)，AB 5.BAC190，AOBC1，ABOC1BA，即即AB2BOBC1，第2题答图AOBO22 254BC1，解得，解得BC1 ，OC1BC1BO 4 ，故，故C1(0，)，当当ABC290时，同理可证，时，同理可证，AB2AOAC2，即，即253AC2，解得解得AC2 ，C2OAC2AO

32、3 ，故，故C2(，0).).综上所述，满足条件的所有综上所述，满足条件的所有C点坐标为点坐标为C1(0，)，C2(，0)，C3(0，0)254254949425325316316394163 如图，抛物线yx2mxn与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1，0)，C(0，3)(1)求抛物线的解析式典例精析典例精析 第3题图解题思路解题思路把A，C坐标代入抛物线yx2mxn中，求m，n的值，即可求解【解答】【解答】把A(1，0)，C(0，3)代入yx2mxn，得 -1-m+n=0，m=2 n=3，n=3，故抛物线的解析式为yx22x3.解得解得解题思路解题思

33、路第一步：先确定点D的坐标，求出ACD的各边长；第二步：判断ACD的形状(2)判断ACD的形状，并说明理由第1题图【解答】【解答】ACD是等腰三角形理由如下：连接AC.由(1)(1)知，抛物线的对称轴为直线x1，故D(1，0)A(1，0)，C(0，3)，AD2，AC ，CD ，ACCD，ACD是等腰三角形1322 101322 10解题思路解题思路第一步：找出所有符合条件的点；第二步：求线段长确定P点坐标(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【解答】【解答】存在由(2)(2)知，CD .CDP是以CD为腰的等腰三

34、角形，CP1DP2DP3CD.P2(1，)，P3(1，)如答图1，连接CP3，CP2，CP1，过点C作CM垂直对称轴于点M，MP1MD3，DP16，P1(1，6)，符合条件的点P的坐标为(1，6)或(1，)或(1，)1010101010(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使PCD是等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由解题思路解题思路第一步：求出直线BC的解析式为yx3；第二步：设点P(m，m3)()(0m3)；第三步：分三种情况讨论计算出m.【解答】【解答】存在存在连接连接BC.B(3，0)，C(0，3)，直线直线BC的解析式为的解析式为yx3.设点设点

35、P(m，m3)()(0m3)C(0，3)，D(1，0)，CP22m2，DP2(m1)2(m3)2，CD210.PCD是等腰三角形是等腰三角形，分三分三种情况讨论种情况讨论：当当CPDP时时，则则CP2DP2，即即2m2(m1)2(m3)2，解得解得m ，P1(，)当当CPCD时时，则则CP2CD2，即即2m210，解得解得m 或或m (舍去舍去)，P2(，3 )当当DPCD时时，则则DP2CD2，即即(m1)2(m3)210，解得解得m4(舍去舍去)或或m0(舍去舍去)综上所述综上所述，符合条件的点符合条件的点P的坐标为的坐标为(，)或或(，3 )5454745555547455解题思路解题思

36、路第一步：分“以CE为底边”和“以CE为腰”两种情况讨论；第二步：利用腰长相等列关系式；第三步：再结合抛物线的解析式，求出点P的坐标(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【解答解答】存在存在由由(1)知知，点点E的坐标为的坐标为(1，4)，对称轴为直线对称轴为直线x1.如答如答图图2.若以若以CE为底边为底边，则则P1EP1C.设点设点P1的坐标为的坐标为(x，y)，则则(x1)2(y4)2x2(3y)2，即即y4x.点点P(x，y)在抛物线上在抛物线上，4xx22x3，解得解得x .1(舍

37、去舍去)，x ，y4x ，352 352 352 552 即点即点P1的坐标为的坐标为(，)；若以若以CE为为腰腰点点P2在对称轴右侧的抛物线上在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知由抛物线的对称性可知，点点P2与点与点C关于直线关于直线x1对称对称，点点P2的坐标为的坐标为(2，3)综上所述综上所述，符合条件的点符合条件的点P的坐标为的坐标为(，)或(2，3)352 552 352 552 第一步：把A(1，0)，B(3，0)代入yax22xc，得到二元一次方程组；第二步：解二元一次方程组，求出a，c的值即可；第三步：设出直线AC的解析式ykx3，把A(1，0)代入，求出k的值，即可得

38、到直线AC的解析式二、直角三角形存在性问题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22xc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式 解题思路解题思路【解答】【解答】把把A(1，0)，B(3，0)代入代入yax22xc，得得 a-2+c=0，9a+6+c=0，解得解得 a=-1，c=3，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.设直线设直线AC的解析式为的解析式为ykx3.把把A(1，0)代入解析式代入解析式，得得k3，直线直线AC的解析式为的解析式为y3x3.(2)动点E在y轴上移动，当EAC是以AC边为直角边的

39、直角三角形时，求点E的坐标 解题思路解题思路第一步：设E(0，t)，利用勾股定理，求出AC2的值；第二步：用含t的未知数表示出EA2，CE2，在RtEAC中，AC2EA2CE2，求出t的值，即可求出E的坐标【解答】【解答】设点设点E的坐标为的坐标为(0，t)，则则AC2OA2OC2123210，EA2OA2OE212t2，CE2(3t)2.在在RtEAC中中，AC2EA2CE2，1012t2(3t)2，解得解得t ，点点E的坐标为的坐标为(0，)1313(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，

40、请说明理由 解题思路解题思路第一步：分直角顶点在点C处和点A处两种情况讨论第二步：过直角顶点作直线AC的垂线第三步：联立方程求出抛物线与过直角顶点直线的交点即为所求的P点【解答解答】存在存在直角顶点在点直角顶点在点C处处如答图如答图1，过点过点C作作CQAC交交x轴于点轴于点Q，ACQ为直角三角为直角三角形形COAQ，COAQOC，.OA1，OC3，OQ9，Q(9，0)由由C(0，3)，Q(9，0)两点坐标可求出直线两点坐标可求出直线CQ的解析式为的解析式为y x3.OAOCOCOQ133OQ13联立方程联立方程 y=-x2+2x+3，y=-x+3，解得解得x10(舍去舍去)，x2 .当当x

41、时时，y ，P1(，)直角顶点在点直角顶点在点A处处如答图如答图1，过点过点A作作AP2CQ交抛物线于点交抛物线于点P2.设直线设直线AP2的解析式为的解析式为y xb.把把A(1，0)代入y xb，得得 (1)b0，解得得b ，1373732097320913131313故直线故直线AP2的解析式为的解析式为y x .联立方程联立方程 y=-x2+2x+3，y=-x-，解得解得x11(舍去舍去)，x2 ，当当x 时，y ，P2(，)综上所述综上所述，符合条件的点符合条件的点P的坐标为的坐标为(，)或(，)1313131310310313910313973209103139(4)在抛物线的对称

42、轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解题思路解题思路第一步：分直角顶点在点B处，点C处和点P处三种情况讨论；第二步：表示出点的坐标，利用勾股定理求解【解答】【解答】存在存在设点设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)，则则BC218，PB2(13)2m2m24，PC212(m3)2m26m10.如答图如答图2，当以点当以点C为直角顶点时为直角顶点时，BC2P1C2P1B2，即即18(m26m10)m24，解得解得m4，P1(1，4)当以点当以点B为直角顶点时为直角顶点时，BC2P2B2P2C2，即即18m24m26m

43、10，解得解得m2，P2(1，2)当以点当以点P为直角顶点时为直角顶点时，PB2PC2BC2，即即m24m26m1018，解得解得m1 ，m2 .P3(1，)，P4(1，)综上所述综上所述，存在点存在点P，使得以点使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形为顶点的三角形为直角三角形，点点P的坐标为的坐标为(1，4)或或(1，2)或或(1，)或或(1，)3172 3172 3172 3172 3172 3172(5)作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N，问在x轴上是否存在点P，使得PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由解题思路解题

44、思路第一步：分三种情况进行讨论：PMN90，PMMN；PNM90，PNMN；MPN90，PMPN.第二步：利用线段相等求解【解答】【解答】存在存在设设M，N的纵坐标为的纵坐标为m，由由B(3，0)，C(0，3)求出直线求出直线BC的解析式为的解析式为yx3，由由A(1，0)，C(0，3)求出直线求出直线AC的解析式为的解析式为y3x3.则则M(，m)，N(3m，m)，MN ，当当P1MN90，P1MMN时时，如如答图答图3所示所示MN ，P1Mm，m，解得解得m ，则则P1的横坐标为的横坐标为 ，P1(，0)当当P2NM90，P2NMN时时，可得可得P2(，0)33m 1243m 1243m

45、1243m 127373797当当MP3N90，P3MP3N时时，如答图如答图4，作作MN的中点的中点Q，连接连接P3Q，则则P3Qm.P3MP3N，P3QMN，则则MN2P3Q，即即 2m，解得解得m ，P3的横坐标为的横坐标为 ，P3(，0)综上所述综上所述，存在点存在点P使得使得PMN是等腰直角三角形是等腰直角三角形，点点P的坐标为的坐标为(，0)或或(，0)或或(，0)1243m 653332mm 33m 3535379735三、特殊三角形的存在性问题典例精析典例精析 如图，抛物线yax22ax3a(a0)与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴交x

46、轴于点N.(1)若抛物线经过点(2，3)，求抛物线的解析式；【解答】【解答】将将(2，3)代入代入yax22ax3a，得得4a4a3a3，解得解得a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.(2)连接AC，CN，试判断ACN的形状，并说明理由；解题思路解题思路第一步：令y0，求出抛物线与x轴的交点坐标，从而得到OA的长；第二步：求出抛物线的对称轴，进而得到ON的长；第三步：判断出ACN的三边之间的关系即可【解答】【解答】ACN为等腰三角形为等腰三角形理由如下理由如下：令令ax22ax3a0，解得解得x11，x23，即即A(1，0)，B(3，0)，OA1.根据题意根据题意，得抛物线的对称

47、轴为直线得抛物线的对称轴为直线x1，点点N的坐标为的坐标为(1，0)，即即ONOA1.又又COB90，ACNC，ACN为等腰三角形为等腰三角形 解题思路解题思路第一步：由题意得到ON，OB，BN的长及点P的横坐标；第二步：分OPOB，BPOB两种情况讨论即可(3)点P是抛物线对称轴上一动点当点P在x轴上方，且POB为等腰三角形时，求点P的坐标；【解答】【解答】由由(2)得得OB3，ON1，点点P的横坐标为的横坐标为1，BN2.若若POB为等腰三角形为等腰三角形，则分两种情况则分两种情况：当当OPOB3时时，POB为等腰三角形为等腰三角形，此时此时，可得可得PN ，即点即点P的坐标为的坐标为(1

48、 ，)；当当BPOB3时时，POB为等腰三角形为等腰三角形，此时此时，可得可得PN ，即点即点P的坐标为的坐标为(1，)22OPON 2231 2222BPBN 2232 55综上所述综上所述，当点当点P在在x轴上方轴上方，且且POB为等腰三角形时为等腰三角形时，点点P的坐标为的坐标为(1，)或或(1，)52解题思路解题思路第一步：由题意知点P在抛物线的对称轴上，即点P为抛物线的顶点；第二步：由(2)可得AB的长，从而得到PA，AN的长；第三步：在PAN中求出PN的长，即可得点P的坐标；第四步：将点P的坐标代入抛物线的解析式求出a的值若点P位于抛物线上，且APB为等边三角形，求a的值；【解答】

49、【解答】APB为等边三角形为等边三角形，ABPAPB.点点P在抛物线的对称轴上且点在抛物线的对称轴上且点P在抛物线上在抛物线上，点点P为抛物线的顶点为抛物线的顶点由由(2)得得AB4，PA4，AN2.APB为等边三角形为等边三角形，PAN60，PNtan PAN AN ，点点P的坐标为的坐标为(1，)将点将点P的坐标代入抛物线的解析式的坐标代入抛物线的解析式，得得 a2a3a，解得解得a .3232332若OCOB，当以A，P，C为顶点的三角形是直角三角形时，求点P的坐标解题思路解题思路第一步：由OC=0B及OB的长可得点C的坐标，从而得到a的值，即抛物线的解析式可求出；第二步：设出点P的坐标

50、，表示出AC2,AP2,CP2；第三步：分ACAP,ACCP，APCP三种情况讨论即可.【解答】【解答】由题意由题意，得得OCOB3，即点即点C的坐标为的坐标为(0，3)，a1，抛物线的解析式为抛物线的解析式为yx22x3.设设P(1，n)，则则AC210，AP24n2，CP21(n3)2n26n10，分三种情况讨论分三种情况讨论：当当ACAP时，AC2AP2CP2，即即104n2n26n10.解得解得n ，点点P的坐标为的坐标为(1，)；当当ACCP时，AC2CP2AP2，即即10n26n104n2，2323解得解得n ，点点P的坐标为的坐标为(1，)；当当APCP时，AP2CP2AC2，即