2023年九年级中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与正方形存在性问题 .docx

1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与正方形存在性问题1.如图，抛物线yax2bxc过(1，0)，(3，0)，(0，6)三点，边长为4的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴上，y轴上(1)求抛物线解析式，并直接写出当1x4时，y的最大值与最小值的差(2)将正方形OABC向右平移，平移距离记为h，当点C首次落在抛物线上，求h的值当抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小时，请直接写出h的取值范围2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线lP是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQl于点Q；M是直线l上的一点

2、，其纵坐标为m，以PQ，QM为边作矩形PQMN(1)求b的值(2)当点Q与点M重合时，求m的值(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值(4)抛物线在矩形PQMN内的部分称为被扫描部分请问该抛物线是否全部被扫描？若是，请说明理由，若否，直接写出抛物线被扫描部分自变量的取值范围3.如图，抛物线yx2bxc经过A(3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN(1)求抛物线的解析式；(2)当正方形AMPN与AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；(3)当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标4.如

3、图，抛物线yx22x的顶点为A，与x轴交于B、C两点(点B在点C的左侧)(1)请求出A、B、C三点的坐标；(2)平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式5.如图，抛物线yax2bx3与x轴交于A(2，0)和B(4，0)两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)当点P为直线BC下方抛物线上一动点(不与点B、C重合)，PMBC于点M，PDAB于点D，交直线BC于点N，当P点的坐标为何值时，PMPN的值最大？(3)点P在第四象限的抛物线上移动，以P

4、C为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过点E时，求出此时点P的坐标6.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1x2，y1y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直则称该矩形为点P，Q的相关矩形“如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图(1)已知点A的坐标为(1，0)若点B的坐标为(2，5)，求点A，B的“相关矩形”的周长；点C在直线x3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，已知抛物线yx2mxn经过点A和点C，求抛物线yx2mxn与y轴的交点D的坐标；(2)O的半径为4，点E是直线y3上的从左向右的一个动点若在O上存在一点

5、F，使得点E，F的“相关矩形”为正方形，直接写出动点E的横坐标的取值范围7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴的两个交点为A，B(点A在点B的左侧)，在线段AB上取两点M、N(点M不与点A重合)，点M、N关于这条抛物线的对称轴对称，点M在点N的左侧，分别过点M、N作x轴的垂线交抛物线于点P、Q，我们称这样的四边形MPQN为这条抛物线的“抛物线矩形”(1)若抛物线y2(x1)(x3)的抛物线矩形MPQN的顶点M的坐标为(0，0)，则点N的坐标为 ，点P的坐标为 ，点Q的坐标为 (2)当抛物线yx2bx的抛物线矩形MPQN为正方形时，若点M的坐标为(2，0)，求b的值(3

6、)设抛物线yx24x6的抛物线矩形MPQN的周长为C点M的横坐标为m，求C与m之间的函数关系式(4)将抛物线yax26ax5a(a0)的抛物线矩形MPQN绕点P顺时针或逆时针旋转90后，边MN恰好落在y轴上，若MN2，直接写出a的值8.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bx2(a0)与x轴交于点A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点(1)求抛物线的解析式和点D的坐标；(2)求BCD的面积；(3)点M为抛物线上一动点，点N为平面内一点，以A，M，I，N为顶点作正方形，是否存在点M，使点I恰好落在对称轴上？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由9.已

7、知抛物线yax2bxc(a0)过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC3(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)过点A作AMBC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQQC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数yx2bxc(b0，c0)图象的顶点是点A，对称轴为直线l，图象与y轴交于点C点D在l右侧的函数图象上，点B在DC延长线上，且四边形ABOD是平行四边形(1)如图2，若CDx轴求证：b24c；若ABOD是矩形，求二次函数的解析式；(2)当b2时，AB

8、OD能否成为正方形，请通过计算说明理由答案1.解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y2x28x6，由抛物线的表达式知，其顶点坐标为(2，2)，当x1时，y2x28x616，故当1x4时，x1时，y取得最大值16，而在顶点处取得最小值2，y的最大值与最小值的差为16(2)18；(2)当点C首次落在抛物线上，yC42x28x6，解得x2，因为点C首次落在抛物线上，x2舍弃，则hx2；当点C首次落在抛物线上，h2，当h2时，抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当h3时，即正方形运动到点(3，0)处，此时抛物线落在正方形内的部分，满足y随x的增大而减小，当h3时，对称轴右侧的抛

9、物线进入正方形内，即满足y随x的增大而减小，故h3；故2h32.解：(1)把点A(3，0)代入yx2bx，得到03b，解得b1(2)抛物线的解析式为yx2x，P(m，m2m)，M，Q重合，mm2m，解得m0或4(3)yx2x(x1)22，抛物线的顶点坐标为(1，2)，由题意PQMQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，3mm(m2m)且m2，得m解得m1或1(不合题意舍弃)，m1(4)当m3和m4时，抛物线不能被覆盖，理由如下：如图41中，当点P在第三象限时，随点P向下移动，能把抛物线在直线l的左侧部分全部扫描，当m4时，点M与点Q重合，当m4时，矩形你能覆盖抛物线在直线x4的右侧部分(包括m4)，

10、抛物线被扫描部分自变量的取值范围为：x3或x4，3.解：(1)把A(3，0)，B(1，0)代入yx2bxc得，解得，抛物线的关系式为yx22x3(2)设P的纵坐标为y正方形AMPN与AOP面积之比为5：2(32y2)3|y|解得：y或6点P的坐标为：P1(0，)或P2(0，)或P3(0，6)或P4(0，6)(3)设P(0，m)，连接MN交AP于T，过点T作TJOA于J，过点P作PETJ于E，过点N作NFTJ于F，过点M作MGTJ于G四边形AMPN是正方形，TATPTMTN，APMN，A(3，0)，P(0，m)，T(，m)，PETFPTN90，PTENTF90，NTFTNF90，PTETNF，P

11、ETTFN(AAS)，ETFN，PETF，同法可证PETTGM，MGETFN，GTPETF，M(m，m)，N(m，m)，当点M在抛物线上时，m(m)22(m)3，解得m，当点N在抛物线上时，m(m)22(m)3，解得m2满足条件的点P的坐标是：(0，)或(0，)或(0，2)或(0，2)4.解：(1)抛物线yx22x与x轴交于B、C两点，0x22x，x10，x22，点B(2，0)，点C(0，0)，yx22x(x1)21，点A(1，1)；(2)设平移后抛物线的表达式为：y(x1m)21n(m1)，点D(m1，1n)，y(x1m)21nx22(1m)xm22mn，点E(0，m22mn)，、如图1，当

12、点D在点A的下方时，过点A作AMy轴于N，过点D作DMAM于M，ANEAMD90，以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，AEAD，EAD90，EANDAM90，AENEAN90，AENDAM，AENDAM(AAS)，ANDM，ENAM，11(1n)，m1(1)m22mn(1)，n1，m3，平移后抛物线的表达式为：y(x2)22；、如图2，点D在点A上方时，过点D作DMy轴于N，过点A作AMDM于M，同理可证EDNDAM，DNAM，ENDM，m11n1，m22mn(1n)m11，m，n，平移后抛物线的表达式为：y(x)2，、当AED90时，同理可求：y(x1)21；综上所述：平移后抛物线的表达

13、式为：y(x2)22或y(x)2或y(x1)215.解：(1)依题意得：，解得：，抛物线的解析式为yx2x3；(2)设直线BC的解析式为ykxm，解得：，yx3设P点坐标为(n，n2n3)，N点的坐标为(n，n3)，PNn2n，PMBC，PDAB，PMNPDB，PNMBND，MPNOBC，OB4，OC3，BC5，PMPNcosMPNPNcosOBCPN，PMPNPNn即当n2时，PMPN的值最大，此时P点坐标为(2，3)(3)过点P作PKy轴于K，交抛物线的对称轴于G，如图，四边形PEFC为正方形，PEPC，EPC90PGEPKC90，PEGCPK，PEGCPK(AAS)，CKPG，设P(x，

14、x2x3)，抛物线的对称轴为直线x1，则G(1，x2x3)，K(0，x2x3)，PG|1x|，CK|x2x33|x2x|，|1x|x2x|，解方程1xx2x得，x1，x22(舍去)；解方程x1x2x得，x1，x24(舍去)；P点坐标为(，)或(，)6.解：(1)如图1，矩形ACBD是点A，B的“相关矩形”，ADCB，点A(1，0)，B(2，5)，点C(2，0)，BC5，AC211，点A，B的“相关矩形”的周长为2(ACBC)2(15)12；如图2，点C在直线x3上，点C的横坐标为3，点A(1，0)，C的“相关矩形”为正方形，BCAD，ABBC，点B的坐标为(3，0)，BCAB312点C的坐标为

15、(3，2)或(3，2)，抛物线yx2mxn经过点A和点C，或或抛物线的解析式为yx23x2或yx25x4，令x0，则y2或y4点D的坐标为(0，2)或(0，4)；(2)如图3，当点F在y轴的右侧时，点E在点M的右侧时，点E的横坐标大，连接OM，OF，设OGm，点E，F的“相关矩形”为正方形，FMME，点E在直线y3上，MG3，在RtOGF中，FG，点E的横坐标为OGMEOGMFOGMGFGOG3FGm3()22323(当且仅当时，取等号)，即m2时，点E的横坐标为(OGME)最大(m)最大343，点E的横坐标最大是43，由圆的对称性得，点E的横坐标的最小值为(43)，即点E的横坐标的范围是大于

16、等于(43)而小于等于(43)7.解：(1)在抛物线y2(x1)(x3)中，当y0时，x11，x23，A在B的左侧，A(1，0)，B(3，0)，M(0，0)，且MPx轴交抛物线于点P，P(0，6)，抛物线y2(x1)(x3)的对称轴为x1，又点M，N关于x1对称，N(2，0)，Q(2，6)，故答案为：(2，0)，(0，6)，(2，6)；(2)抛物线yx2bx经过原点，且M(2，0)，抛物线对称轴在y轴左侧，如图2，M(2，0)，P(2，42b)，四边形MPQN为正方形，PQMN，PQPM，Q(62b，42b)，将点Q(62b，42b)代入yx2bx中，得(62b)2b(62b)42b，解得，b

17、12，b2(舍去)，b的值为2；(3)如图3，yx24x6(x2)210，抛物线对称轴为x2，设M(m，0)，则N(4m，0)，P(m，m24m6)，MN42m，MPm24m6，C2(MNMP)2m212m4，C2m212m4；(4)将y0代入抛物线yax26ax5a，得，ax26ax5a0，解得，x11，x25，A(1，0)，B(5，0)，当a0时，如图41，将抛物线矩形顺时针旋转90，边MN恰好落在y轴上，MPMO，设M(m，0)，则N(m2，0)，P(m，m)，Q(m2，m)，将P(m，m)，Q(m2，m)分别代入yax26ax5a，得，解得：；当a0时，如图42，设M(m，0)，则N(

18、m2，0)，P(m，m)，Q(m2，m)，将P(m，m)，Q(m2，m)分别代入yax26ax5a，得，解得：，综上所述，a的值为或8.解：(1)抛物线yax2bx2经过点A(1，0)，B(5，0)两点，解得：，抛物线的解析式是，顶点D的坐标是(3，1.6)；(2)如图1，设抛物线的对称轴与BC的交点为H，设直线BC的解析式ykxd，B(5，0)，C(0，2)，解得：，直线BC的解析式yx2，当x3时，y32，H(3，)，DH1.6()，SBCDSDHBSDHC6；(3)存在设点M的坐标为(x，x2x2)，分以下四种情况：(一)如图2，图3，过点M作对称轴x3的垂线，垂足为H，过点A作AGMH

19、于点G，则AGMMHI90，AMGMAG90，四边形AMIN是正方形，AMMI，AMI90，AMGIMH90，MAGIMH，在GAM和HMI中，GAMHMI(AAS)，AGMH，即x2x23x，解得x，M点的坐标为(，)或(，)；如图4，过点M作PQx轴交对称轴于点Q，过点A作APPQ于点P，如图5，过点M作PQy轴交x轴于点P，过点I作IQPQ于点Q，则APMMQI90，PAMAMP90，四边形AMIN是正方形，AMMI，AMI90，AMPIMQ90，PAMIMQ，在MAP和IMQ中，MAPIMQ(AAS)，APMQ，即x2x23x，解得：x，M点的坐标为(，)或(，)，如图6，当点M与点B

20、重合时，四边形ANMI是矩形，此时M(5，0)；如图7，当点M与点C重合时，四边形AMNI是正方形，此时M(0，2)；如图8，过点M作对称轴的垂线，垂足为L，设对称轴交x轴于点K，则ATKIBL(AAS)，AKLI，KIBL，x2x2x32，解得：x15，x2，M(，)；如图9，过点M作MHx轴于点H，设对称轴交x轴于点K，则AIKMAH(AAS)，AKMH，x2-x22，解得：x0(舍去)或6，M(6，2)；如图10，过点M作MH对称轴于点H，设对称轴交x轴于点K，则AIKIMH(AAS)，IHAK2，MHKI，x2-x223x，解得：x5(舍去)或x，M(，)；综上所述，点M的坐标为(，)

21、或(，)或(，)或(，)或(5，0)或(0，2)或(，)或(6，2)或(，)9.解：(1)函数的表达式为：ya(x1)(x3)a(x24x3)，即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx24x3，yx24x3(x2)21，顶点D(2，1)；(2)证明：OBOC3，OBCOCB45，AMMBABsin45，ADBD，AMMBADBD，四边形ADBM为菱形，AMBC，AMB90，四边形ADBM为正方形；(3)解：存在，理由：如图，过点C作与y轴夹角为30的直线CH，作AHCH，垂足为H，交OC于点Q，则HQCQ，AQQC最小值AQHQAH，HCQ30，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的

22、表达式为：yx3，则直线AH所在表达式中的k值为，则直线AH的表达式为：yxs，将点A的坐标代入并解得：s，则直线AH的表达式为：yx，联立并解得：x，故点H(，)，点A(1，0)，则AH，即：AQQC的最小值为 10.解：(1)yx2bxc(xb)b2c，顶点A(b，b2c)，C(0，c)，连接OA，交BD于点P，如图1，四边形ABOD是平行四边形，PAPO，P(b，b2c)，CDx轴，b2cc，b24c；如图1，设抛物线对称轴交x轴于点E，则E(b，0)，OEb，AEb2cb2b2b2，抛物线yx2bxc的对称轴为直线xb，D(b，c)，PDbbb，BD2PDb，ABOD是矩形，OABD，

23、OA2BD2，OE2AE2BD2，(b)2(b2)2(b)2，b2b4b2，即b2(b2)(b2)0，b0，b2，c2，该二次函数的解析式为yx22x2；(2)当b2时，ABOD不可能是正方形理由如下：如图2，连接OA，交BD于点G，连接AC，当b2时，yx22xc(x1)2c1，抛物线顶点A(1，c1)，若四边形ABOD是正方形，则GAGO，OABD，即BD是OA的垂直平分线，ACOC，AC2OC2，(10)2(c1c)2c2，c0，c，yx22x，A(1，1)，G(，+)，C(0，)，设直线CG的解析式为ykxd，则，解得：，直线CG的解析式为y(1)x，令(1)xx22x，解得：x0(舍去)或x1，D(1，1)，DG2(1)2(1-)25，OA21(1)242，若四边形ABOD是正方形，则OA2DG，即OA24DG2，但4DG24(5)20242OA2，即OA2DG，故当b2时，ABOD不可能是正方形28