2023年九年级中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与直角三角形问题 .docx

1、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与直角三角形问题1.如图，抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，直线yx1与x轴交于点E，与y轴交于点D(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；(3)M在直线DE上，当CDM为直角三角形时，求出点M的坐标2.如图，抛物线yx22x8与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E(1)求直线AC的函数表达式；(2)求线段DE的最大值；(3)当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形

2、是直角三角形时，直接写出点F的坐标3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式(2)若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标(3)如图2，若点E坐标为(2，0)，EFx轴交直线BC于点F，将BEF沿直线BC平移得到BEF，在BEF移动过程中，是否存在使ACE为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由4.抛物线y1ax22axc(a2且a0)与x轴交于A(1，0)，B两点，抛物线的对称轴

3、与x轴交于点D，点M(m，n)在该抛物线上，点P是抛物线的最低点(1)若m2，n3，求a的值；(2)记PMB面积为S，证明：当1m3时，S2；(3)将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2kxb(k0)，与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x1时，总有y1y2当1x1时，总有y1y2是否存在t4，使得CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由5.如图，抛物线yax2bx，交y轴于点A，交x轴于B(1，0)，C(5，0)两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD(1)求直线AC的函数表达式；(2)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；(3)过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD

4、上一动点，连接GH，将DGH沿GH翻折到GHR(点R，点G分别位于直线CD的两侧)，GR交CD于点K，当GHK为直角三角形时请直接写出线段HK的长为 ；将此RtGHK绕点H逆时针旋转，旋转角为(0180)，得到MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为 6.已知二次函数yx2bxc经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(1，0)，C(4，0)，ACBC(1)求抛物线的解析式；(2)请画出抛物线的图象；(3)点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说

5、明理由7.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2x2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作ADBC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，BCD的面积为S2，当S1S2的值最大时，求P点的坐标和S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为AC(线段AC始终在直线l左侧)，是否存在以A，C，G为顶点的等腰直角ACG？若存在，请写出满足要求的所有点G

6、的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由8.已知抛物线yax2bxc与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的表达式；(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由9.如图，直线yx3与x轴，y轴分别交于B、C两点抛物线yx2bxc经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀

7、速运动设运动的时间为t秒点P在运动过程中，若CBP15，求t的值；当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值10.如图，抛物线yx2bx12(b0)与x轴交于A，B两点(A点在B点左侧)，且OB3OA(1)请直接写出b ，A点的坐标是 ，B点的坐标是 ；(2)如图(1)，D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE5DE，求D点运动时间；(3)如图(2)，F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动若恰好存在3个P点使得PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写

8、出P点的坐标答案1.解：(1)抛物线yx2bxc经过A(1，0)，B(3，0)两点，解得：，抛物线的解析式是yx22x3；(2)令x0，则yx11，OD1，如图，作PHOB，垂足为H，交ED于F，则COAPHO90，PHOC，OPFDOQ，PFQODQ，又Q是OP中点，PQOQ，PFQODQ(AAS)，PFOD1设P点横坐标为x，则x22x3(x1)1，解得：x12，x2，当x2时，y3，当x时，y，点P的坐标是(2，3)或(，)；(3)令x0，则yx22x33，OC3，CDOCOD2，设M(a，a1)，CM2a2(3a1)2a22a4，DM2a2(a11)2a2，当CMD90时，CD2CM2

9、DM2，22a22a4a2，解得：a1，a20(舍去)，当a时，a1，M(，)；当DCM90时，CD2CM2DM2，22a22a4a2，解得：a4，当a4时，a13，M(4，3)；综上所述：点M的坐标为(，)或(4，3)2.解：(1)在yx22x8中，令x0，得y8，C(0，8)，令y0，得x22x80，解得：x14，x22，A(4，0)，B(2，0)，设直线AC的解析式为ykxb，则，解得：，直线AC的解析式为y2x8；(2)设D(m，m22m8)，则E(m，2m8)，点D在点E的下方，DE2m8(m22m8)m24m(m2)24，10，当m2时，线段DE最大值为4；(3)yx22x8(x1

10、)29，抛物线的对称轴为直线x1，设F(1，n)，又A(4，0)，C(0，8)，AF232n2n29，AC2428280，CF212(n8)2n216n65，当AFC90时，AF2CF2AC2，n29n216n6580，解得：n14，n24，F(1，4)或(1，4)；当CAF90时，AF2AC2CF2，n2980n216n65，解得：n，F(1，)；当ACF90时，CF2AC2AF2，n216n6580n29，解得：n，F(1，)；综上所述，点F的坐标为(1，4)或(1，4)或(1，)或(1，)3.解：(1)将A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)代入yax2bxc，yx22x3；(2)过点

11、M作HGy轴，交x轴于点H，过点N作NGHG交于点G，AMHNMG90，AMHMAH90，NMGMAH，AMMN，AMHMNG(AAS)，AHMG，HMNG，设M(t，t22t3)，HMt22t3，NGt，t22t3t，t，点M是抛物线上B，C之间，0t3，t，M(，)，AH1，HG2，N(0，2)；(3)存在使ACE为直角三角形，理由如下：OBOC，OBC45，设BEF沿x轴方向平移t个单位长，则沿y轴方向平移t个单位长，E(2，0)，E(2t，t)，如图2，当ACE90时，过点E作EHy轴交于点H，ACOECH90，ACOCAO90，ECHCAO，ACOCEH，AO1，CO3，CH3t，E

12、H2t，解得t，E(，)；如图3，当CAE90时，过点A作MNx轴，过点C作CNMN交于N点，过点E作EMMN交于M点，MAENAC90，MAEMEA90，NACMEA，AMECNA，NC1，AN3，AMt，ME3t，解得t，E(，)；当E点与N重合时，ACE为直角三角形，E(1，3)；如图3，当AEC90时，过点E作STx轴交于S点，过点C作CTST交于T点，AESCET90，AESEAS90，CETEAS，ASEETC，AS3t，SEt，CT2t，ETt3，解得t1，E(1，1)；综上所述：E的坐标为(，)或(，)或(1，1)或(1，3)4.解：(1)将点A(1，0)代入抛物线y1ax22

13、axc中，a2ac0，c3a，抛物线y1ax22ax3a当m2，n3时，M(2，3)，4a4a3a3，解得a1；(2)证明：过点M作x轴的垂线，交直线BP于点Q，点P为y1ax22ax3a的最低点，P(a，4a)，令y1ax22ax3a0，解得x1或x3，B(3，0)，直线BP的解析式为：y2ax6a，设M(m，am22am3a)，Q(m，2am6a)，QM2am6a(am22am3a)am24am3a，S|xBxP|QMam24am3aa(m2)2a，a0，开口向下，当m2时，S的最大值为a，a2，当1m3时，Sa2(3)解：当x1时，总有y1y2，直线l必经过点A(1，0)，将点A代入直线

14、l：y2kxb，kb0，直线l：y2kxb由直线PB：y2ax6a向上平移t个单位长度得到，kb2a，b6at2a，t8a，y22ax2a，点C(0，2a)，令2ax2aax22ax3a，解得x1或x5，E(5，12a)当ECD90时，过点E作y轴的垂线交y轴于点F，FECOCD，EF：OCCF：OD，即5：2a10a：1，a或a(舍)；t8a44，符合题意；当CDE90时，过点E作x轴的垂线于点F，OCDFDE，EF：ODDF：OC，即12a：14：2a，解得a或a(舍)，t8a4，不符合题意；当CED90时，显然不存在综上，存在，且t的值为5.解：(1)设直线AC的函数表达式为：ykxc，

15、抛物线yax2bx，交y轴于点A，A(0，)，将A(0，)，C(5，0)分别代入ykxc，得：，解得：，直线AC的函数表达式为：yx，(2)抛物线yax2bx经过B(1，0)，C(5，0)两点，解得：，抛物线的解析式为yx2x，yx2x(x2)24，顶点D的坐标为(2，4)；(3)如图1，GHK为直角三角形，且点R，点G分别位于直线CD的两侧，GHK90或HGK90或GKH90，当GHK90时，GHD90，点R落在直线DC上，不符合题意，当HGK90时，DGHHGK90，点R，点G位于直线CD的同侧，不符合题意，当GKH90时，点R，点G分别位于直线CD的两侧，符合题意，GKH90，DGHRG

16、H，过点H作HLDG于点L，则HLHK，D(2，4)，DGx轴，G(2，)，F(2，0)，DG(4)，CF523，DF4，CD5，DFCGKH90，GDKCDF，GDKCDF，即，GK，DK，SGKHSGDHSGDK，HKHL，故答案为：；DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，PQDQ或PQDP，当PQDQ时，如图2，由旋转知：点H到PQ、DQ的距离相等，QHDP，DHHP，由知HLHK，HLCF，即，DL，L的纵坐标为4，即H的纵坐标为，H为D、P的中点，P的纵坐标为，当PQDP时，如图3，点P为DQ的垂直平分线与CD的交点，H(，)，经过点H平行MN的直线为yx，点H到直线MN的距离为，直线MN

17、的解析式为yx，直线CD的解析式为yx，P(，)；综上所述，点P的纵坐标为或6.解：(1)点A(1，0)，C(4，0)，AC5，OC4，ACBC5，B(4，5)，把A(1，0)和B(4，5)代入二次函数yx2bxc中得：，解得，二次函数的解析式为：yx22x3；(2)由函数的表达式，取值列表如下：根据表格数据，绘制函数图象如下：(3)存在，yx22x3(x1)24，设P(1，m)，分三种情况：以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2AB2PA2，(41)2(m5)2(41)252(11)2m2，解得：m8，P(1，8)；以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2AB2PB2，(11)2m2(41

18、)252(41)2(m5)2，解得：m2，P(1，2)；以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2PA2BA2，(11)2m2(41)2(m5)2(41)252，解得：m6或1，P(1，6)或(1，1)；综上，点P的坐标为(1，8)或(1，2)或(1，6)或(1，1)7.解：(1)对抛物线yx2x2，当x0时，y2，C(0，2)，当y0时，x2x2=0，解得：x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，设直线BC的解析式为：ykxb(k0)，把点C(0，2)，B(3，0)代入得：，解得：直线BC的解析式为：yx2(2)ADBC，直线BC的解析式为：yx2设AD的解析式为，yxm，把点A(1，0)

19、代入得：解得：m，AD的解析式为：yx，由解得：，D(4，)，直线CD的解析式为：yx2，当y0时，x2=0，解得：x，记直线CD与x轴交于点N，则：N(,0)，BN31.5，过点P作PMAB交BC于点M，设P(a，a2a2)，M(a，a2)，PMa22a，S1SABCSPCMSPBMa23a4，S2SBNCSBND4，S1S2a23a44a23a(a)2，当a时，S1S2的最大值为，此时，点P的坐标为(,)(3)抛物线y=x2x2的对称轴为：x1，抛物线向右平移后经过点O，即：抛物线向右平移1个单位，直线l为：x2，(i)当等腰三角形以ACG190，ACCG1时，如图，过点C作CHl于点H，

20、过点A作AQCH于点Q，HCG1QCA90，QCAQAC90，HCG1QAC，又AQCCHG190，ACCG1，AQCCHG1QACH，HG1QC，ACAC，设点A(a，a)，C(a1，a)，CH2a，AQ2，HG1CQ1，2(a1)2，解得：a1，C(0，2)，H(2，2)，G1(2，1)，(ii)当等腰三角形以CAG290，ACAG2时，如图，过点A作AFl于点F，过点C作CEAF于点E，同(i)理可证：CAEAG2F，设点A(a，a)，C(a1，a)，G2FAE1，FA2a2，a0，A(0，)，F(2，)，G2(2，)，(iii)当等腰三角形以CG3A90，CG3AG3时，如图，过点A作

21、AQl于点Q，过点C作CPl于点P，同(i)理可证：CPG3G3AQ，设点A(a，a)，C(a1，a)，AQG3P2a，CPQG31a，PQ2，2a1a2，解得：a0.5，C(1.5，1)，G3P20.51.5，G3(2，0.5)，综上所述：存在点G1(2，1)，G2(2，)，G3(2，0.5)，使得以A，C，G为顶点的等腰直角ACG8.解：(1)将点A(2，0)、B(6，0)、C(0，3)代入yax2bxc，得，解得，yx2x3；(2)如图1，过点A作AEx轴交直线BC于点E，过P作PFx轴交直线BC于点F，PFAE，设直线BC的解析式为ykxd，yx3，设P(t，t2t3)，则F(t，t3

22、)，PFt3t2t3t2t，A(2，0)，E(2，4)，AE4，t2t(t3)2，当t3时，有最大值，P(3，)；(3)P(3，)，D点在l上，如图2，当CBD90时，过点B作GHx轴，过点D作DGy轴，DG与GH交于点G，过点C作CHy轴，CH与GH交于点H，DBGGDB90，DBGCBH90，GDBCBH，DBGBCH，即，BG6，D(3，6)；如图3，当BCD90时，过点D作DKy轴交于点K，KCDOCB90，KCDCDK90，CDKOCB，OBCKCD，即，KC6，D(3，9)；如图4，当BDC90时，线段BC的中点T(3，)，BC3，设D(3，m)，DTBC，|m|，m或m，D(3，

23、)或D(3，)；综上所述：BCD是直角三角形时，D点坐标为(3，6)或(3，9)或(3，)或(3，)9.解：(1)令yx30，x3，B的坐标为(3，0)，令x0，y033，C的坐标为(0，3)，将B、C代入yx2bxc，得：，解得：，抛物线的解析式为：yx2x3；(2)由(1)知，OBOC3，OBCOCB45，记抛物线对称轴交x轴于E，yx2x3(x1)4，抛物线对称轴为直线x1，EB2，顶点D的坐标为(1，4)，若CBP15，则分两种情况，如图，当P在直线BC下方时，此时EBP60，tanEBP，EP2，DP42，t42，当P在直线BC上方时，此时EBP30，tanEBP，EP，DP4，t4

24、，综上，t42或4；设P的坐标为(1，n)，令yx2x30，x3或1，A的坐标为(1，0)，此时PC1(n3)n6n10，PA(11)n4n，AC1310，当PCA90时，PCACAP，n6n10104n，解得：n，P的坐标为(1，)，DP4，t，当APC90时，APPCAC，4nn6n1010，解得：n1或2，P的坐标为(1，1)或(1，2)，DP413或DP422，t3或2，当PAC90时，PAACCP，n410n6n10，解得：n，P的坐标为(1，)，DP4，t，综上，t或3或2或10.解：(1)根据题意，设A(m，0)，B(3m，0)，y(xm)(x3m)x24mx3m2，3m212，

25、解得：m2，m0，m2，3m6，b4m8，A(2，0)，B(6，0)，故答案为：8，(2，0)，(6，0)；(2)由(1)知，抛物线解析式为yx28x12，OB6，令x0，得y12，C(0，12)，OC12，设D点运动时间为t秒，则OD2t，当t6时，点D在线段OC上，如图(1)，过点E作EKx轴交y轴于点K，EKOB，BE5DE，BDDEBE6DE，OD6DK，EK1，DKt，OKODDK2ttt，E(1，t)，t128112，t3，当t6时，点D在线段OC的延长线上，如图(1)，过点E作EKOB交y轴于点K，BE5DE，BDBEDE4DE，EKOB，即，EK，DKt，OKODDK2ttt，

26、E(，t)，t()28()12，解得：t，综上所述，D点运动时间为3秒或秒；(3)yx28x12(x4)24，顶点F(4，4)，MNx轴且经过点F(4，4)，直线MN为y4，P点在直线MN上运动，设P(t，4)，PAC为直角三角形，APC90或PAC90或ACP90，当APC90时，设点C(m，n)，如图(2)，过点A作AGMN，过点C作CHMN，AGPCHPAPC90，AG4，CHn4，PHmt，PGt2，GAPAPGAPGCPH90，GAPCPH，APGPCH，即，整理得：t2(m2)t2m4n160，恰好存在3个P点使得PAC为直角三角形，而当PAC90或ACP90时，均有且仅有一个点P

27、存在，当APC90时，有且只有一个点P存在，即关于t的一元二次方程有两个相等实数根，(m2)24(2m4n16)0，n，又点C(m，n)是对称轴右侧的抛物线上的一定点，nm28m12，m28m12，整理得15m2124m2520，解得：m1，m2，4，m2不符合题意，舍去，m，此时n()2812，C(，)，将m，n，代入t2(m2)t2m4n160，整理得：t2t0，解得：t1t2，P(，4)；当PAC90时，如图(2)，过点C作CTx轴于点T，过点P作PRx轴于点R，则AT2，CT，PR4，AR2t，ATCPRAPAC90，PARAPRPARCAT90，APRCAT，APRCAT，即，解得：t，P(，4)；当ACP90时，如图(2)，过点C作KHx轴于点H，交直线MN于点K，则AHCCKPACP90，CH，AH，CK4，PKt，ACHCAHACHPCK90，CAHPCK，CAHPCK，AHPKCKCH，即(t)，解得：t，P(，4)；综上所述，C点坐标为(，)，P点的坐标为(，4)或(，4)或(，4)34