2023年中国数学奥林匹克国家集训队第一次测试试题.pdf

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文档编号：5307367

上传时间：2023-03-15

格式：PDF

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资源描述：: 1、2023年中国国家集训队选拔2023年中国国家集训队测试一第一天1.设整数n 2，A1A2A2n是圆内接凸2n边形.已知形内存在一点P，满足PA1A2=PA2A3=PA2nA1.求证：ni=1|A2i1A2i|=ni=1|A2iA2i+1|其中A2n+1=A1.2.某次聚会有n个人参加.已知其中共有不超过n对朋友，且两人握手当且仅当他们有公共朋友.设整数m 3，且满足n m3.求证：存在一个人A，A握过手的人数不超过A的朋友数的m 1倍.3.（1）设a,b是互质的正整数.求证：存在实数,，使得对任意正整数m，均有m m1k=1akm bkm m+.（2）求证：存在正整数N，使得对任意质数p N
2、，若正整数a,b,c满足p(a+b)(b+c)(c+a)，则至少存在p12个1 k p 1，使得akp+bkp+ckp 1.12023年中国国家集训队测试一第二天4.对正整数m,n记S(m,n)=(a,b)N2+|1 a m,1 b n,gcd(a,b)=1.求证：对任意正整数d,r，存在不小于d的整数m,n，使得|S(m,n)|r(mod d).5.设P1,Pn是ABC内的点，满足P1,Pn,A,B,C中任意三点不共线.求证:可以将ABC划分为2n+1个小三角形，使得每个小三角形的顶点都来自P1,Pn,A,B,C，且含A,B,C中至少一个的小三角形不少于n+n+1个.6.求证：（1）在复平面中，每条过原点的直线（实轴除外）上至多有一点z，使得1+z23z64是实数.（2）对任意非零复数a和任意实数，方程1+z23+az64=0在S=z C|Re(zei|z|cos20)中都有根.2

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