内蒙古呼和浩特市2023届高三第一次质量监测文科数学试卷+答案.pdf

1、第 1 页 共 7 页呼和浩特市呼和浩特市 2023 届高三年级第一次质量普查考试文科数学参考答案届高三年级第一次质量普查考试文科数学参考答案一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)题号123456789101112答案BCDCCABBDADB二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分)题号13141516答案53332)6(22yx（或041222yxx）（2 分）246（3 分）三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17解：()证明：由题意得：nnnq

2、aa311(2 分)(公式 1 分，结果 1 分)13(2311nnnqqaaS(4 分)(公式 1 分，结果 1 分)1(23nnaS(6 分)()由()知：nnaaab32313logloglog 2)1(21 nnn(8 分)111(2)1(21nnnnbn(10 分)nnbbbT11121 第 2 页 共 7 页12)111(2)111(2)3121(2)211(2 nnnnn(12 分)18解：()男生 10500 人，女生 4500 人，抽取女生占总人数的比例为103(1 分)又分层抽样收集 300 位学生女生样本数据应收集为90300103(2 分)()由频率分布直方图可知，学生

3、每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率为75.02)025.0075.0125.015.0(4 分)()由()根据计算可得列联表如下：性别时间运动时间超过 4 小时运动时间不足4小时合计男16545210女603090合计22575300(7 分)841.3762.4211009021075225300)604530165(22K(10 分)有95%的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关(12 分)19解：()当-2a 时，32=-3 231.f xxxx2()36 23fxxx.(1 分)令2()36 230fxxx得2121xx或，(3 分)令2()36 230fxxx得2

4、121x，(4 分)综上所述：()f x的单调递增区间是(,21)和(21,)，单调递减区间是(21,21)(6 分)()由(2)0f得54a(8 分)当54a，(2,)x时，第 3 页 共 7 页2251()3(21)3(1)3()(2)022fxxaxxxxx(10 分)所以()f x在(2,)是增函数，于是当2,)x时，()(2)0f xf(11 分)综上，a 的取值范围是5,)4(12 分)(注：由其他做法做对可酌情给分)20解：()证明：方法一：方法一：因为 E、F、G 分别是棱 AB、AP、PD 的中点，所以EF/BP，/GF AD，又EF 平面PBC，BP 平面PBC，所以/EF

5、平面PBC，(1 分)又因为底面ABCD为平行四边形，所以/AD BC，则/GF BC，又GF 平面PBC，BC平面PBC，所以/GF平面PBC，(2 分)因为GFEFF，,GF EF 平面EFG，所以平面/EFG平面PBC，(3 分)又PC 平面PBC，所以/PC平面EFG，(4 分)方法二：方法二：取AC的中点H，连接FH，HE，取AC的中点H，连接FH，HE，GH(1 分)因为 E、H 分别是棱 AB、AC 的中点，所以EH /BP=，(2 分)同理可知FG /AD=所以EH /FG=所以 E、H、G、F 四点共面(3 分)同理可知/FHPC又PC 平面 EFG，FH平面 EFG，所以/

6、PC平面 EFG(4 分)()取AC的中点H，连接FH，HE，则/EH BC AD FG且EHFG，所以EFHEFGSS，(5 分)第 4 页 共 7 页因为2 2PD，2ADAP，所以222PDADAP，即PAAD，同理可得PAAC、ADAC，又PAADA，,PA AD 平面PAD，所以AC 平面PAD，PAACA，,PA AC 平面PAC，所以AD 平面PAC，所以EH 平面PAC，HF 平面PAC，所以EHHF，(7 分)因为112EHBC，122FHPC，所以121222EFHEFGSS，1111 1222AFGSAF FG ，112HAAC(9 分)设 A 到平面EFG的距离为d，又

7、A EFGE AFGVS，所以1133AFGEFGSHASd，则22d，又因为H为AC中点，所以 A、C到平面EFG的距离相等，所以C到平面EFG的距离为22(12 分)21解：()由已知2c，(1 分)又离心率36ace得2,6ba，所以椭圆方程为12622yx(4 分)()方法一：方法一：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为mkxy(5 分)设点),(),(2211yxQyxP，联立mkxyyx12622得，0636)13(222mkmxxk，满足0 时，有，1363,1362221221kmxxkkmxx(7 分)由BMAM 可得,0MQMPkk(8 分)即，031312211x

8、yxy即，031312211xmkxxmkx化简得，0)1(32)(31(22121mxxkmxkx代入韦达定理，可得，0)1(3)2(3332mmkk(10 分)第 5 页 共 7 页又点)1,3(M不在直线PQ上，因此013mk，所以33033kk，即，故直线PQ的斜率为定值33.(12 分)方法二：方法二：令，则)0,0(,13Myyxx则椭圆C方程12)1(6)3(22yx即椭圆C：0632322yxyx，设直线PQ的方程为，1nymx则nmkxykxykPQQMPM,2211，联立可得0)(6)(32322nymxynymxxyx，即0)632()63()132(22xymnynxm

9、即0)132()632()(63(2mxymnxyn，0366322211nmnxyxykkQMPM，即0632 mn，则.33nmkPQ方法三：方法三：已知)1,3(M，设点)0,32()0,(xBxA，,设直线AM的方程为)3(1xky，联立1)3(12622xkyyx可得，06)13(3)13(6)13(222kxkkxk由韦达定理知，13)13(6221kkkxx即，133633221kkkx代入直线可得131323221kkky，即点)1313231336332222kkkkkkP，（，用k替换k可得)1313231336332222kkkkkkQ，（,则.331234kkkPQ(注

10、：解法二、解法三及其他做法做对可酌情给分)22解：()由题意得，半圆1C的极坐标方程为4cos(0)2(3 分)圆2C的极坐标方程为2sin(0)(5 分)(注：由其他做法做对可酌情给分)第 6 页 共 7 页()由()得，|4cos2sin|244MNMN(7 分)显然当 P 点到直线 MN 的距离最大时，PMN面积最大此时 P 点为过2C且与直线 MN 垂直的直线与圆2C的一个交点，如图，设2PC与直线 MN 垂直于点 H，在2Rt OHC中，222|sin42HCOC，点 P 到直线 MN 的最大距离为22212CdHCr，PMN面积的最大值为1121|2(1).22222MNd(10

11、分)23解：()当1x时，原不等式化为216xx ，即25x，解得52x512x 时，不等式成立；当12x 时，原不等式化为216xx ，即36，恒成立，12x 时，不等式恒成立当2x时，原不等式化为216xx，即27x，解得7;2x722x 时，不等式成立综上，不等式的解集为57|22xx(5 分)(注：由其他做法做对可酌情给分)()()|2|1|(2)(1)|3(f xxxxx当且仅当12x 时“=”成立)3m即3abc，由柯西不等式可得：第 7 页 共 7 页2222222(1)(2)(3)(111)(123)81abcabc ，当且仅当123abc，即2a，1b，0c 时“=”成立，所以222(1)(2)(3)27abc，即222(1)(2)(3)abc的最小值是 27(10 分)