内蒙古呼和浩特市2023届高三第一次质量监测理科数学试卷+答案.pdf

1、理数答案理数答案一、选择题题号123456答案一、选择题题号123456答案ADCCAC题号789101112答案题号789101112答案CDBDAA二、填空题题号13141516答案二、填空题题号13141516答案14512533243e三、解答题三、解答题17.解：（1）男生 10500 人，女生 4500 人，抽取女生占总人数的比例为103(1 分)又分层抽样收集 300 位学生女生样本数据应收集为90300103(2 分)（2）由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率为75.02)025.0075.0125.015.0(4 分)（3）由（2）可知运动时间

2、超过 4 小时的概率43p，则)43,4(BX(5 分)，2561)43()41()0(0404CxP(6 分)，643)43()41()1(1314CxP(7 分)，12827)43()41()2(2224CxP(8 分)，6427)43()41()3(3134CxP(9分)，25681)43()41()4(4044CxP则X的分布列为：(10 分)X01234P256164312827642725681且3434)(XE.(12 分)18.解：（1）证明：方法一：方法一：因为 E、F、G 分别是棱 AB、AP、PD 的中点，所以EF/BP，/GF AD，又EF 平面PBC，BP 平面PBC

3、，所以/EF平面PBC，(1 分)又因为底面ABCD为平行四边形，所以/AD BC，则/GF BC，又GF 平面PBC，BC平面PBC，所以/GF平面PBC，(2 分)因为GFEFF，,GF EF 平面EFG，所以平面/EFG平面PBC，(3 分)又PC 平面PBC，所以/PC平面EFG，(4 分)方法二：方法二：取AC的中点H，连接FH，HE，取AC的中点H，连接FH，HE，GH(1 分)因为 E、H 分别是棱 AB、AC 的中点，所以EH /BP=(2 分)同理可知FG /AD=所以EH /FG=所以 E、H、G、F 四点共面(3 分)同理可知/FHPC又PC 平面 EFG，FH平面 EF

4、G，所以/PC平面 EFG(4 分)（2）因为2,22APADACCDPDPC,所以ADAP,ACAP 又 =，平面，平面，(6 分)所以 平面以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，(7 分)则(0,0,0)，(1,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(0,0,2)，所以?=(1,1,1)，?=(0,1,0)，(9 分)?=(0,2,2)，设平面的一个法向量为?=(0,0,0)，所以?=0,?FG?=0,，即0+0+0=0,0=0,取0=1，则?=(1,0,1)，(10 分)设?与平面所成的角为，则 sin=|cos|=|28 2|=12则直线与平面的夹角为6(12 分)

5、19.解：（1）选，设递增等差数列 na的公差为0d d，由22ad，322ad，625ad，有22222254ddd，(2 分)化简得24d 则2d，(4 分)1(1)2naandn，所以 na的通项公式为2nan(6 分)选，设递增等差数列 na的公差为0d d，由24Sd，625ad，486Sd，有2254864ddd，化简得21916440dd，(2 分)即192220dd，解得2d，(4 分)则1(1)2naandn，所以 na的通项公式为2nan(6 分)选，设递增等差数列 na的公差为0d d，由51a是21S与51S的等差中项，得255112SSa，即255252SSaS S，

6、则有410 10242 410 10ddddd，化简得21211260dd，(2 分)即2 12130dd，解得2d，(4 分)则1(1)2naandn，所以 na的通项公式为2nan(6 分)（2）由nnba是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，得12nnnab，由（1）知2nan，即有nnnnnb2221，(8 分)则nnnT2232221321 ，于是143222322212 nnnT，两式相减得：22)1(221)21(222222111321 nnnnnnnnnT，(11 分)因此22)1(1nnnT(12 分)20.解：（1）由已知2c，得422ba，(1 分)设椭圆方程1222

7、2byax，代入点)1,3(M得11322ba，联立解得2,622ba，(3 分)所以椭圆方程为12622yx(4 分)（2）方法一：由题可知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为mkxy.设点),(),(2211yxQyxP，(5 分)联立mkxyyx12622得，0636)13(222mkmxxk，满足0 时，(7 分)有，1363,1362221221kmxxkkmxx(8分)由BMAM 可得,0MQMPkk(9 分)即，031312211xyxy即，031312211xmkxxmkx化简得，0)1(32)(31(22121mxxkmxkx代入韦达定理，可得，0)1(3)2(3332mmk

8、k又点)1,3(M不在直线PQ上，因此013mk，(11 分)所以33033kk，即，故直线PQ的斜率为定值33.(12 分)方法二：令，则)0,0(,13Myyxx则椭圆C方程12)1(6)3(22yx(5分)即椭圆C：0632322yxyx，设直线PQ的方程为，1nymx(6 分)则nmkxykxykPQQMPM,2211，联立可得0)(6)(32322nymxynymxxyx，(8 分)即0)632()63()132(22xymnynxm即0)132()632()(63(2mxymnxyn，(10分)0366322211nmnxyxykkQMPM，即0632 mn，则.33nmkPQ(1

9、2分)方法三：已知)1,3(M，设点)0,32()0,(xBxA，,设直线AM的方程为)3(1xky，(5 分)联立1)3(12622xkyyx可得，06)13(3)13(6)13(222kxkkxk(6 分)由韦达定理知，13)13(6221kkkxx(7 分)即，133633221kkkx代入直线可得131323221kkky，(9 分)即点)1313231336332222kkkkkkP，（，用k替换k可得)1313231336332222kkkkkkQ，（,(11 分)则.331234kkkPQ(12分)(注：由其他做法做对可酌情给分)21.解：（1）因为xaxxxfln44)(2，所

10、以)0(4242)(2xxaxxxaxxf.(1 分)设axxxg42)(2，则）（）（aa28842.当2a时，0，0)(xg，0)(xf，)(xf在),0(上是增函数；(2 分)当2a时，0)(xg两个根2111ax，2112ax；(3 分)当0a时，01x，02x，所以当),0(2xx时，0)(xg，0)(xf，)(xf是减函数；当),(2 xx时，0)(xg，0)(xf，)(xf是增函数；(4 分)当20 a时，012 xx，所以当),0(1xx或),(2 xx时，0)(xg，0)(xf，)(xf是增函数；当),(21xxx时，0)(xg，0)(xf，)(xf是减函数；综上可知，当2a

11、时，)(xf在),0(上是增函数；当0a时，)(xf在)211,0(a上是减函数，在),211(a上是增函数；当20 a时，)(xf在)211,211(aa上是减函数，在)211,0(a，),211(a上是增函数.(5 分)（2）由题意可得21,xx是0422axx的两个根，且)1,0(1x，21121242xxaxx，(6 分)所以21112112121212ln)24()2()(xxxxxxxxxf(7 分)11121ln22xxxx.设)10(ln22)(2xxxxxxh，则xxxhln212)(，)(xh在)10(，上为增函数，(8 分)且02ln2)21(h，0223ln4232ln

12、423)41(eh，(9 分)所以存在)21,41(0 x，使得0)(0 xh，即0ln21200 xx，(10 分)且当),0(0 xx时，0)(xh，)(xh是减函数，当)1,(0 xx时，0)(xh，)(xh是增函数，所以)21(2ln22)()(00020000200 xxxxxxxxxhxh4321)21(222020 xx，故43)(2121 xxxf.(12 分)22.解：()由题意得，半圆1C的极坐标方程为=4cos(0 2)(3 分)圆2C的极坐标方程为=2sin(5 分)(注：由其他做法做对可酌情给分)()由()得，|4cos2sin|244MNMN(7 分)显然当P点到直

13、线MN的距离最大时，PMN面积最大此时P点为过2C且与直线MN垂直的直线与圆2C的一个交点，如图，设2PC与直线MN垂直于点H，在2Rt OHC中，222|sin42HCOC，点P到直线MN的最大距离为22212CdHCr，PMN面积的最大值为1121|2(1).22222MNd(10 分)23.解：()当 x 1 时时，原不等式化为216xx ，即25x，解得52x512x 时，不等式成立；当12x 时，原不等式化为216xx ，即36，恒成立，12x 时，不等式恒成立当2x时，原不等式化为216xx，即27x，解得7;2x722x 时，不等式成立综上，不等式的解集为57|22xx(5 分)(注：由其他做法做对可酌情给分)()()|2|1|(2)(1)|3(f xxxxx当且仅当12x 时“=”成立)3m即3abc，由柯西不等式可得：2222222(1)(2)(3)(111)(123)81abcabc ，当且仅当123abc，即2a，1b，0c 时“=”成立，所以222(1)(2)(3)27abc，即222(1)(2)(3)abc的最小值是27(10分)