内蒙古呼和浩特市2023届高三第一次质量数据监测文科数学试题及答案.docx

1、2023年呼和浩特市高三年级第一次质量数据监测文科数学第卷一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.复数（ ）A.B.C.D.3.如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图下列结论中错误的是（ ）A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C.2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢4.“二十四节气”是上古农耕文明的产物，它是上古先民顺应农时，通过观察天体运行，认知一岁中时令

2、、气候、物候等变化规律所形成的知识体系.我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度，二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中立春到夏至的日晷长的和为（ ）A.58.5尺B.59.5尺C.60尺D.60.5尺5.若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于（ ）A.-1B.C.D.26.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（ ）A.B.C.D.7.已知函数，的零点分别为、，则、的大小顺序是（ ）A. B. C.D.8.已知与为两个不共线的

3、单位向量，若向量与向量垂直，则实数（ ）A.1B.-1C.2D.-29.设函数，则（ ）A.函数在上单调递增，其图象关于直线对称B.函数在上单调递增，其图象关于直线对称C.函数在上单调递减，其图象关于直线对称D.函数在上单调递减，其图象关于直线对称10.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为（ ）A.B.C.D.11.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点为，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）A.B.C.D.12.已知定义在上的奇函数满足，且，则（ ）A.-

4、2B.0C.2D.3第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须做答；第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13.设，满足约束条件，则的最大值为_.14.在中，的面积为_.15.如下图中的正方体，为底面的中心，为所在棱的中点，正方体的顶点.则满足的是_（填序号）.16.已知平面内两定点，点满足，则动点的轨迹方程为_；若平面内两动点，满足，则的最大值为_.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（12分）已知等比数列中，公比为.且

5、.（）为数列前项的和，证明：；（）设，求数列的前项和.18.（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）（）应收集多少位女生样本数据？（）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成列联表，并判断是否有95的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”

6、.列联表时间性别运动时间超过4小时运动时间不足4小时合计男女合计附：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（12分）已知函数.（）当时，求函数的单调区间；（）若时，求的取值范围.20.（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，、分别是棱、的中点.（）证明：平面；（）若，求点到平面的距离.21.（12分）已知椭圆的一个焦点为，且离心率.（）求椭圆的标准方程；（）设点、是轴上的两个动点，且，直线、分别交椭圆于点、（均异于），证明：直线的斜率为定值.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选

7、题目对应的题号涂黑，22.（10分）选修4-4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系中，曲线是以为圆心的半圆，曲线是以为圆心的圆，曲线，都过极点.（）分别写出半圆和圆的极坐标方程；（）直线与曲线、分别交于、两点（异于极点），为上的动点，求面积的最大值.23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知.（）解不等式：；（）记的最小值为，若，求的最小值.呼和浩特市2023届高三年级第一次质量普查考试文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号123456789101112答案BCDCCABBDADB二、填空题（本大题共4小题，每

8、小题5分.共20分.）题号13141516答案5（或）（2分）（3分）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（）证明：由题意得：（2分）（公式1分，结果1分）（4分）（公式1分，结果1分）（6分）（）由（）知：（8分）（10分）（12分）18.解：（）男生10500人，女生4500人，抽取女生占总人数的比例为（1分）又分层抽样收集300位学生女生样本数据应收集为（2分）（）由频率分布直方图可知，学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为（4分）（）由（）根据计算可得列联表如下：时间性别运动时间超过4小时运动时间不足4小时合计男1654521

9、0女603090合计22575300（7分）（10分）有的把握认为该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关.（12分）19.解：（）当时，.（1分）令得或，（3分）令得，（4分）综上所述：的单调递增区间是和，单调递减区间是（6分）（）由得（8分）当，时，（10分）所以在是增函数，于是当时，（11分）综上，的取值范围是（12分）（注：由其他做法做对可酌情给分）20.解：（）证明：方法一：因为、分别是棱、的中点，所以，又平面，平面，所以平面，（1分）又因为底面为平行四边形，所以，则，又平面，平面，所以平面，（2分）因为，平面，所以平面平面，（3分）又平面，所以平面，（4分）方法二：取的中点，连接，

10、取的中点，连接，（1分）因为、分别是棱、的中点，所以，（2分）同理可知所以所以、四点共面.（3分）同理可知又平面，平面，所以平面.（4分）（）取的中点，连接，则且，所以，（5分）因为，所以，即，同理可得、，又，平面，所以平面，平面，所以平面，所以平面，平面，所以，（7分）因为，所以，（9分）设到平面的距离为，又，所以，则，又因为为中点，所以、到平面的距离相等，所以到平面的距离为（12分）21.解：（）由已知，（1分）又离心率得，所以椭圆方程为（4分）（）方法一：由题可知直线斜率存在，设直线的方程为（5分）设点，联立得，满足时，有，（7分）由可得，（8分）即，即，化简得，代入韦达定理，可得，（1

11、0分）又点不在直线上，因此，所以，即，故直线的斜率为定值.（12分）方法二：令，则，则椭圆方程即椭圆，设直线的方程为，则，联立可得，即即，即，则.方法三：已知，设点，设直线的方程为，联立可得，由韦达定理知即，代入直线可得，即点，用替换可得，则.（注：解法二、解法三及其他做法做对可酌情给分）22.解：（）由题意得，半圆的极坐标方程为（3分）圆的极坐标方程为（5分）（注：由其他做法做对可酌情给分）（）由（）得，（7分）显然当点到直线的距离最大时，面积最大.此时点为过且与直线垂直的直线与圆的一个交点，如图，设与直线垂直于点，在中，点到直线的最大距离为，面积的最大值为.（10分）23.解：（）当时，原不等式化为，即，解得时，不等式成立；当时，原不等式化为，即，恒成立，时，不等式恒成立当时，原不等式化为，即，解得；时，不等式成立综上，不等式的解集为（5分）（注：由其他做法做对可酌情给分）（）（当且仅当时“=”成立）即，由柯西不等式可得：，当且仅当，即，时“=”成立，所以，即的最小值是27（10分）13