先进控制GPC课件.ppt

1、第 10 章 广义预测控制10.1 算法原理10.1.1 预测模型10.1.2 丢番图方程的解法10.1.3 滚动优化10.1.4 在线辨识与校正 10.1 10.1 算法原理算法原理10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型 在GPC中，采用了最小方差控制中所用的受控自回归积分滑动平均（Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average，CARIMA）模型来描述受到随机干扰的对象。考虑如下SISO（单入单出）CARIMA模型 式中111()()()()()(1)C zkA zy kB zu k(10.1.1)111()1,aannA z

2、a za z 1deg()aA zn1101(),bbnnB zbb zb z1deg()bB zn1101(),ccnnC zcc zc z1deg()cC zn10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型 式中，是后移算子，表示后退一个采样周期的相应的量，即 ，；为差分算子，是均值为零的白噪声序列。、都是 的多项式，其中 多项 式 的若干首项元素可以是零，以表示对象相应的时滞数。例如，对有 拍时滞的系统，。（不能都为零）为了突出方法原理，这里假设 。这样，式(10.1.1)实际上用脉冲传递函数给出了对 象的描述，即由输入 到输出 间的脉冲传递函数为 为了利用模型式(10.1.1)导出 步后

3、输出 的预测值，首先考虑下述丢番图 （Diophantine）方程：1z1()(1)z y ky k1()(1)z u ku k11z ()kABC1z1()B zq010qbbbnq1()1C zuy1111()()()z B zG zA z(10.1.2)j(|)y kj k10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型 其中，、是由 和预测长度 唯一确定的多项式，表达为 在式(10.1.1)两端乘以 ，得 由丢番图方程式(10.1.3)推得 (10.1.3)1111()()()jjjEzA zzF z 1()jEz1()jF z1()A zj111,0,1,1()jjjjj jEzee z

4、ez11,0,1,()aanjjjj nF zffzfz1()jjEzz11111()()()()()(1)()()jjjE zA zy kjE zB zu kjE zkj 111()()1()jjjEzA zzF z 10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型可得将左边展开移相，得到 步后的输出值因此可以写出 时刻的输出预测值为：注意到 、的形式，可以知道：与 有关；与有关；与 有关。(10.1.4)11111()()()()(1)()()jjjjzF zy kjEzB zu kjEzkjj1111()()()(1)()()()()jjjy kjEzB zu kjEzkjF zy kkj1

5、111(|)()()(1|)()()()()jjjy kj kEzB zu kjkF zy kEzkj1()jEz1()jF z11()()(1|)jE zB zu kjk(1|),(2|),u kjk u kjk1()()jFzy k(),(1),y ky k 1()()jE zkj()(2),(1)kjkk,10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型 由于在时刻未来的噪声 都是未知的，所以对最合适的预测值可由下式得到：在式(10.1.5)中，记 。结合式(10.1.3)可得 因此，多项式 中前 项的系数正是对象阶跃响应前项的采样值，记做 ，。再引入另一丢番图方程：(),1,ki ij11

6、1(|)()()(1|)()()jjy kj kE zB zu kjkF zy k(10.1.5)111()()()jjGzEzB z1111()()1()()jjjB zGzzF zA z(10.1.6)1()jG zj1gjg1111(1)1()()()()()jjjjjGzEzB zGzzHz10.1.1 10.1.1 预测模型预测模型 其中 则由式(10.1.4)和式(10.1.5)可以得到 式(10.1.4)、式(10.1.5)、式(10.1.7)和式(10.1.8)都可作为GPC的预测模型。这样，根据已知的输入输 出信息及未来的输入值，就可以预测对象未来的输出。111,0,1,1(

7、)jjjjj jG zggzgz112,1,2,()bbnjjjj nH zh zh zhz111(|)()(1|)()()()()jjjy kj kG zu kjkHzu kF zy k(10.1.7)1(|)(|)()()jy kj ky kj kEzkj(10.1.8)10.1.2 10.1.2 丢番图方程的解法丢番图方程的解法 为了由式(10.1.4)或式(10.1.5)预测未来输出，必须首先知道 、。对于不同的 ，这相当于并行地求解一组丢番图方程式(10.1.3)，其计算量是很大的。为此，Clarke给出了一个 、的递推算法。首先，根据式(10.1.3)可写出 两式相减可得 1()j

8、Ez1()jF z1,2,j1()jEz1()jF z1111()()()jjjEzA zzF z 11(1)1111()()()jjjEzA zzFz 11111111()()()()()0jjjjjA zEzEzzz FzF z10.1.2 10.1.2 丢番图方程的解法丢番图方程的解法 记则可得 等式(10.1.9)恒成立的一个必要条件是：中所有阶次小于 的项为零。由于的首项系数为1，很容易得出结论：使式(10.1.9)恒成立的必要条件是 1111111111()()11(1)()aaaaaaaaannnnnnnnnA zA za za zazazaaza z 11111,()()()j

9、jjjjEzEzE zez11111111,()()()()()0jjjjjA zE zzz FzF zA ze(10.1.9)11()()A zE zj1()A z1()0E z(10.1.10)10.1.2 10.1.2 丢番图方程的解法丢番图方程的解法进而，使式(10.1.9)成立的充要条件是式(10.1.10)和式(10.1.11)成立：将式(10.1.11)等式两边各相同阶次项的系数逐一比较，得到这一系数的递推关系亦可用矢量形式记为 11111,()()()jjjjFzz F zA ze(10.1.11)1,0jjjef1,111,11,00,1jij iijjj iijaffa e

10、fafin1,11,1,0aaajnnjjnjfaeaf 1jjfAf10.1.2 10.1.2 丢番图方程的解法丢番图方程的解法 其中 此外还可得 系数递推公式为 当 时，方程式(10.1.3)为 T11,01,ajjjnfffT,0,ajjj nfff11211100010001000aaannnaaaaaa A1()jEz11111,0()()()jjjjjjjjEzE zezE zfz1j 1111111()()()E zA zz F z10.1.2 10.1.2 丢番图方程的解法丢番图方程的解法 故应取 、为 、初值。这样，、便可按式 (10.1.12)来递推计算：11()1E z1

11、11()1()F zzA z1()jEz1()jF z11()jEz11()jFz10111,00,1,0,0()(),0jijjjjEzEzfzEfAf f(10.1.12)10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 在GPC中，时刻的优化性能指标具有以下形式：其中，表示取数学期望；为对象输出的期望值；和 分别为优化时域的起始与终止时刻；为控制时域，即在 步后控制量不再变化：为控制加权系数，为简化考虑一般常可假设其为常数 。在式(10.1.13)中，对象输出的期望值可采用MAC中参考轨迹的形式，即 21221()E(|)()()(1|)uNNsj NjJ ky kj ky kjju kjk

12、(10.1.13)kE sy1N2NuNuN(1|)(1|)uuu kjku kNkjN()j()()sy ky k10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 其中 称为柔化因子，是输出设定值。利用预测模型式(10.1.5)，得到 ()(1)(1),ssy kjay kj 01,1,jN(10.1.14)0,1)11111,01(1|)()()()()(|)()y kkG zu kF zy kgu k kf k11222,02,12(2|)()(1|)()()(1|)(|)()y kkG zu kkF zy kgu kkgu k kfk11,0,1,1(|)()(1|)()()=(1|)(1

13、|)(|)()=(1|)()()uuNNNN NNuN NNN NNuN NNy kN kGzu kNkFzy kgu kNkgu kNkgu k kfkgu kNkgu kfk10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 其中 均可由 时刻已知的信息 以及 计算。如果记 11111,01111222,12,02-11(1)1,1,0()()()()()()()()()()()()()()()NNNNN NNNf kG zgu kF zy kfkz G zz ggu kF zy kfkzGzzggu kFzy k(10.1.15)k,yk,ukT(|)(1|),(|)k ky kky kN k

14、yT(|)(|),(1|)uk ku k ku kNk uT1()(),()Nkfkfkf10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 并且注意到 是阶跃响应系数，则可得 其中 ,1()j iiggij(|)(|)()k kk kkyG uf(10.1.16)1211111()000uuuuNNNNNNN NgggggggggG10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 用 替换式(10.1.13)中的 ，从而把性能指标写成矢量形式：其中 这样，当 非奇异时，得到使性能指标式(10.1.13)最优的解：即时最优控制量则可由下式给出：其中，是矩阵 的第一行。也可以进一步根据式(10.1.8)将

15、输出预测写成如下向量形式：(|)y kj k(|)y kj k TT()(|)()(|)()(|)(|)kk kkk kkk kk k Jyyuu T()(1),()ssky ky kN TIG GT1T(|)()()()k kkkuIG GGf(10.1.17)T()(1)()()u ku kkkdf(10.1.18)TdT1T()IG GG10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 其中 从而把性能指标写成矢量形式 11(|)(|)()()()()()k kk kzy kzu kkyG uFHT(|)(1|),(|)k ky kky kN kyT1111()(),()NzF zFzFT1

16、111()(),()NzH zHzHT111()()(1),()()NkE zkEzkN TT()E(|)()(|)()(|)(|)kk kkk kkk kk k Jyyuu10.1.3 10.1.3 滚动优化滚动优化 这样，当 非奇异时，得到最优控制律如下：由于采用了数学期望，不出现在上面的控制律中。即时最优控制量则可由下式给出：TIG GT1T11(|)()()()()()()k kkzy kzu kuIG GGFH()k T11()(1)()()()()()u ku kkzy kzu kdFH(10.1.19)10.1.4 10.1.4 在线辨识与校正在线辨识与校正 考虑将对象模型式(1

17、0.1.1)改写为 可得 其中，。把模型参数与数据参数分别用矢量形式记为 则可将上式写做11()()()(1)()A zy kB zu kk111()()()()(1)()y kA zy kB zu kk 111()()1A zA zT10T,()(1),(),1,1abnnabaabbky ky knu ku kn T()()()y kkk 10.1.4 10.1.4 在线辨识与校正在线辨识与校正 在此，可用渐消记忆的递推最小二乘法估计参数矢量：其中，为遗忘因子，常可选 ；为权因子；为正定的协方差阵。在控制起动时，需要设置参数矢量 和协方差阵 的初值，通常可令 ，是一个足够大的正数。在控制的

18、每一步，首先要组成数据矢量，然后就可由式(10.1.20)先后求出 、和 。TT1T()(1)()()()(1)()(1)()()(1)()1()()()(1)kkky kkkkkkkkkkkkkKKPPPIKP 0 10.95 1()kK()kPP(1)02(1)PI()kK()k()kP(10.1.20)10.1.4 10.1.4 在线辨识与校正在线辨识与校正 在通过辨识得到多项式 、的参数后，就可重新计算控制律式(10.1.18)中的 和 ，并求出最优控制量。算法算法10.1.1（自适应GPC）GPC的在线控制可归结为以下步骤：Step 1.根据最新输入输出数据，用递推公式(10.1.20)估计模型参数，得到 、。Step 2.根据所得的 ，按式(10.1.12)递推计算 、。Step 3.根据 、，计算 的元素 ，并依式(10.1.15)计算出 。Step 4.重新计算出 ，并按式(10.1.18)计算出 ，将其作用于对象。1()A z1()B zTd()kf1()A z1()B z1()A z1()jEz1()jF z1()B z1()jEz1()jF zGig()if kTd()u k