湖南省株洲市第八 2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题.pdf

1、试卷第 1 页，共 4 页 20222022 年下学期高二期中考试年下学期高二期中考试（数学）（数学）姓名：_班级：_考场：_ 座位：_一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知向量=1,1,0，=2,0，且与互相平行，则=（）A2 B2 C1 D1 2经过两点 0,1，2,4 的直线的斜率为（）A-.B./C/.D.-3直线 +4=0与圆.+.=.相切，则的值是（）A2 2 B2 C 2 D.4抛物线=2.的焦点坐标是（）A12,0

2、B18,0 C 0,12 D 0,18 5圆 +2.+.=5关于直线=对称的圆的方程为（）A 2.+.=5 B.+2.=5 C +2.+2.=5 D.+2.=5 6直线3210 xy+-=的一个方向向量是（）A 3,2 B 2,3 C 2,3 D 3,2 7在直三棱柱 888中，=8，,分别是88,88的中点，则直线与所成角的余弦值等于（）A?+A?B?=1(0)的左、右焦点分别为8,.，离心率为8，椭圆8的上顶点为，且8.=0,曲线.和椭圆8有相同焦点，且双曲线.的离心率为.，为曲线8与.的一个公共点，若8.=K-，则（）AL?LM=2 B8.=-.C8.+.=/.D.+8.=1 二、二、多

3、项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对得项符合题目要求，全对得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9下列说法错误的是（）A直线2(+1)+(3)+7 5=0必过定点 1,3 B过点 2,3 且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程为+=5 C经过点 1,1，倾斜角为的直线方程为 1=tan 1 试卷第 2 页，共 4 页 D已知直线 1=0和以 3,1，3,2 为端点的线段相交，则实数 k 的

4、取值范围为8.-.10若 V为等差数列，.=11,/=5，则下列说法正确的是（）AV=15 2 B20是数列 V中的项 C数列 V单调递减 D数列 V前 7 项和最大 11 设双曲线：?-A?B?=1(0)的焦点为8，.，若点 2,1 在双曲线上，则（）A双曲线的离心率为 2 B双曲线的渐近线方程为=C|8|.|=2 3 D8.=2 12如图，正方体 8888的棱长为 2，E 是8的中点，则（）A8 8 B点 E 到直线8的距离为3 2 C直线8与平面88所成的角的正弦值为.-D点8到平面8的距离为.-三、三、填空题：本题共填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分 13两

5、平行直线8:3+4+1=0，.:6+8 3=0之间的距离为_.14.点到两定点 2,0，2,0 的距离之和为 6，则点的轨迹方程是_.15 已知平面的一个法向量为=2,3,5，点 1,2,4 是平面上的一点，则点 1,1,5到平面的距离为_.16 已知实数 x，y 满足：(+2).+(1).=1，则|2 1|的取值范围是_.四四.解答题（本题共解答题（本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）步骤）17（本题（本题10分）分）（1）已知在递增的等差数列 V中，-=55,-+=16.求 V的通项公式；

6、（2）已知数列 V中，8=8.,V V_8=2VV_8.证明：数列8是等差数列.试卷第 3 页，共 4 页 18（本题（本题12分）分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知sin =2sin，且 ab.(1)求 sin B；(2)若 ABC 的面积为 15，求 ABC 的周长.19（本题（本题12分）分）已知函数()=.de.d_8为奇函数.（1）求实数 a 的值并证明 是增函数；（2）若实数满足不等式8fe.+(1)0，求 t 的取值范围.20（本题（本题12分）分）已知圆:.+.+2 2=0(R)，其圆心在直线+=0上(1)求的值；(2)若过点(1,4)的直线与

7、相切，求的方程 试卷第 4 页，共 4 页 21（本题（本题12分）分）如图,四边形为正方形,平面,且=1,=3,=4,=5.(1)证明：平面 平面(2)求平面与平面所成角的余弦值 22（本题（本题12分）分）已知椭圆 C 的左、右焦点分别为8，.，离心率为8.，点 P 在椭圆 C上，8 8.，8=-.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)已知 M 是直线:=上的一点，是否存在这样的直线 l，使得过点 M 的直线与椭圆 C相切于点 N，且以 MN 为直径的圆过点.？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由.答案第 1 页，共 11 页 参考答案：参考答案：1B【分析】根据与互相平行，可设

8、=，列方程，可求出.【详解】与互相平行，可得=，且 0，得1=21=，解得=8.，=2 故选：B 2C【分析】直接由斜率公式计算可得.【详解】解：经过两点 0,1，2,4 的直线的斜率=_8.eo=/.故选：C 3A【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出.【详解】解：根据题意，得圆.+.=.的圆心为 0,0，半径为，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离=，即oeo_8?_ e8?=，故=2 2.故选：A.4D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标【详解】抛物线=2.的方程为.=8.，所以焦点在轴 由2=8.，所以焦点坐标为 0,8r 故选：D 5B【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，

9、利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由两圆半径相同可得圆的方程.【详解】由圆的方程知：圆心 2,0，半径=5；设圆心 2,0 关于=的对称点为,，则B_.=1B.=e.，解得：=0=2，所求对称圆的圆心为 0,2，半径为 5，答案第 2 页，共 11 页 所求对称圆的方程为：.+2.=5.故选：B.6C【分析】本题考查了直线的方向向量，属于基础题 先根据直线方程得直线的斜率，再根据斜率可得直线的方向向量【解答】解：依题意，直线3210 xy+-=的斜率为32k=-，则直线3210 xy+-=的一个方向向量为(2,3)-，故选：C 7A【分析】建立空间直角坐标系，求得向量,的坐标，利用

10、向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以,8所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，设=8=1，可得(1,0,0),8(1,0,1),8(0,0,1),(8.,0,1),(0,8.,1)，则=(8.,0,1),=(0,8.,1)，所以cos,=wxyzwx yz=8(eM?)?_8?(M?)?_8?=/.故选：A.8B【分析】根据8.=0.可得=，可得8，设 8=，.=.可得=答案第 3 页，共 11 页(|_V)?e(|eV)?M?A?BM?=1 8,8 0，半焦距为.椭圆8的上顶点为，且8.=0.8.=K.，=，.=2.8=.不妨设点在第一象限，设 8=，.=.+=2，

11、=28.=(|_V)?e(|eV)?=.8.在 8.中，由余弦定理可得：4.=.+.2cosK-=(+).3=4.3.8.4.=.+38.两边同除以.，得4=8LM?+-L?，解得：.=-.8.=.-.=-.,.8.=1.故选：B 9BCD【分析】A 选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B 选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C 选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D 选项计算出端点值后，由线段 MN 与y 轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A 选项，直线方程变形为(2+5)+2 3+7=0，令2+5=02 3+7=0，解得=1,=3，即原直线必过定点(1,3)，A 正

12、确；答案第 4 页，共 11 页 B 选项，当直线 l 过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线 l 的方程为3 2=0，B 不正确；C 选项，当=.时，tan无意义，故 C 不正确；D 选项，直线 1=0经过定点(1,1)，当直线经过 M 时，斜率为=8e(e8)e-e8=8.，当直线经过 N 点时，斜率为=.e(e8)-e8=-.，由于线段 MN 与 y 轴相交，故实数 k 的取值范围为 8.或-.，D 不正确.故选：BCD.10ACD【分析】由 V为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列 V为等差数列，且.=11,/=5，则8

13、+=118+4=5，解得8=13,=2，V=13+(1)(2)=2+15，故 A 选项正确，由20=2+15，得=-/.N，故 B 错误，因为 0，所以数列 V单调递减，故 C 正确，由数列通项公式V=15 2可知，前 7 项均为正数，r=1，所以前 7 项和最大,故 D 正确.故选：ACD 11BC【分析】根据给定条件，求出 b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，?-A?-=1的实半轴长=3，半焦距=6，双曲线的离心率=2，A 不正确；双曲线的渐近线方程为=，B 正确；|8|.|=2=2 3，C 正确；8(6,0)，.(6,0)，则8=(6 2,1),.=(6

14、 2,1)，有8.=(6 2)(6 2)+(1)(1)=1，D 不正确.故选：BC 答案第 5 页，共 11 页 12AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，则 2,0,0,2,2,0,0,2,1,82,0,2,80,2,2,82,2,2，8=0,2,2,8=2,2,2，则8 8=0+4 4=0，所以8 8，故 A 正确；8=2,2,1，则cos 8,8=MxMyMx My=_.-=.，所以sin8=.，所以点 E 到直线8的距离为 8 sin8=-.，故 B 错误；因为88平面88，所以88=2,0,0 即为

15、平面88的一条法向量，则直线8与平面88所成的角的正弦值为 cos 88,8=MyMMxMyMMx=.-=.-，故 C 正确；8=0,0,2 设平面8的法向量为=,，则有 8=2 2=0 8=2+2 =0，可取=1,2,2，则点8到平面8的距离为yyMVV=?+A?/=1 15-r8【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为=wVV，即为所求.【详解】由已知可得=2,1,1，所以，点到平面的距离为=wVV=.-r=-r8.故答案为：-r8.166 5,6+5【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；方法二：利用 1 2+的几何意义：可以看作圆心(2,1)到直线2 1=

16、0距离的 5倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解法一：因为(+2).+(1).=1，所以令+2=cos，1=sin，则=2+cos，=1+sin，故|1 2+|=6+sin 2cos|=|6+5/sin./cos=6+5sin()，其中cos=/，sin=./，因为 5 5sin()5，所以6 5 6+5sin()6+5，所以6 5 6+5sin()6+5，故|1 2+|的取值范围为6 5,6+5 解法二：因为圆心(2,1)到直线2 1=0的距离=|eeAe8|/，所以|2 1|的取值范围是6 5,6+5 故答案为：6 5,6+5 答案第 7 页，共 11 页 17（1）V=2

17、1 N*；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件解方程组可得-=5,=11，再列出关于8,的方程组，求出8,，从而可求出通项公式；（2）根据等差数的定义结合已知进行证明.【详解】（1）解：由-=55-+=16且数列 V递增，得-=5,=11.设数列 V的公差为，所以8+2=58+5=11，解得8=1=2，所以V=8+1 =2 1 N*；（2）证明：因为8=8.,V V_8=2VV_8，所以8M8=eMM=.MM=2，所以数列8是以 2 为首项，2 为公差的等差数列.18(1)8/(2)10 【分析】（1）根据正弦定理，化简得.=2，结合题意可得=2，由余弦定理即可求得cos的值，再应用同

18、角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得=2，进而得到三角形的周长【详解】（1）sin =2sin，则sin=2sin，由正弦定理可得.=2，又 =，则=2，即=2，cos=?_?eB?.=?.=8，又 0,，故sin=1 cos.=8/.（2）ABC 的面积为=8.sin=8.28/(1)=1 ，=1.所以()=.de8.d_8 证明：任取 8.+，(8)(.)=.dMe8.dM_8.d?e8.d?_8=.(.dMe.d?)(.dM_8)(.d?_8)8.M?(8)(.)0，即(8)(1)=(1)1 2 1 3 2 0 (2)(3)0 2 3 所以 (2,3).【点睛】正

19、确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数 f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或 f(x)f(x)是定义域上的恒等式奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称，反之也成立利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性 20(1)=2；(2)=1或5 12+43=0.答案第 9 页，共 11 页【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：4=1，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：+|.+

20、(1).=3+|?，所以，圆心为|.,1.由圆心在直线+=0上，得=2.所以，圆的方程为：(+1).+(1).=4.（2）当直线的斜率不存在时，即方程为=1，此时直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：4=1，即 +4=0，由于直线和圆相切，得ee8e_?_8=.e-?_8=2，解得：=/8.，代入整理可得5 12+43=0.所以，直线方程为：=1或5 12+43=0.21(1)证明见解析(2)【分析】(1)根据面面平行的判定定理,先由,证明 平面,再由 证明 平面,一个面中两条相交直线平行于另一个面，进而证明面面平行即可;(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系,写出点的坐

21、标,分别求出平面和平面的法向量,求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值,即面与面夹角的余弦值.【详解】（1）证明:由题知四边形为正方形,平面,平面,平面,平面,平面,平面,=,平面,平面,平面 平面得证;答案第 10 页，共 11 页（2）由题知,平面,且四边形为正方形,则以原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系如图所示:=1,=3,=4,=5,0,0,0,4,0,0,0,0,5,4,0,3,4,4,1,=4,0,0，=4,0,2,=0,4,2,=,平面,平面,平面,平面法向量为=4,0,0,记平面法向量为=,=0 =0,即4 2=04 2=0,不妨取=1,可得=1,1,2,则 co

22、s,=wVw V=8 8_8_?+A?B?=1(0)，由8 8.，知(,)，代入椭圆方程，得(e)?+A?B?=1，解得=B?，则 =8.B?=-.=.+.，解得=2，.=3，所以椭圆 C 的标准方程为?+A?-=1，消去 y 得(4.+3).+8+4(.3)=0.由=(8).44(4.+3)(.3)=0，得.=4.+3.所以=r|.(?_-)=r|.|?=|，=+=?|+=|?e?|=-|.即切点 N 的坐标为(|,-|)，以为直径的圆恒过点.，则.=90.又 M 的坐标为(,+)，.(1,0)，.=(|1,-|)，.=(1,+)，.=(|1,-|)(1,+)=(|1)(1)+-|(+)=0，化简，得(4)(+)=0.上式满足 式任意的 k，m 成立，则=4.故存在直线=4满足题意.