四川省泸州市2023届高三下学期第二次教学质量诊断性考试理科数学试卷及答案.pdf

1、 泸州市高泸州市高 2020 级第二次教学质量诊断性考试级第二次教学质量诊断性考试 数 学（理科）参考答案及评分意见 评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：一、选择题：题号题号 1 2 3 4

2、 5 6 7 8 9 10 11 12 答案答案 A A D C C D C B B B C C 二、填空题：二、填空题：131；14()2kk=+Z中的任意一个值；1510；1643 三、解答题：三、解答题：17解：（）因为13322nnSa+=+，所以当2n时，13322nnSa=+，1 分 由，相减得：13322nnnaaa+=+，2 分 即113nnaa+=，3 分 在13322nnSa+=+中令1n=得，123322Sa=+，即213a=，4 分 所以数列na是以11a=为首项，公比为13的等比数列，5 分 所以11()3nna=；6 分（）若选因为132log1nnnbaa=+11

3、132log11()()331nn+=+7 分 11()213nn+=8 分 所以11()(121)31213nnnnT+=+10 分 231(1)23nn=+12 分 若选21nnban=+221()13nn+=7 分 11()19nn=+8 分 所以11()(21)91219nnnTn+=+11 分 2911(1)(3)823nnn=+12 分 18解：（）设“该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目”为事件 A，“该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目”为事件B，根据题意得：1123113()C()()228P A=，2 分 211521()()263633P B=+3 分 718=；4 分（

4、）设该考生报考甲大学通过的科目数为X，报考乙大学通过的科目数为Y，根据题意可知，1(3,)2XB，所以，13()322E X=，5 分 515(0)(1)(1)6318P Ymm=，6 分 115251111(1)(1)(1)636363183P Ymmmm=+=，7 分 12115211(2)(1)63636392P Ymmmm=+=+，8 分 121()3639P Ymm=9 分 则随机变量Y的分布列为：Y 0 1 2 3 P 518(1)m 111183m 1192m+19m 111215()183936E Ymmmm=+=+，10 分 若该考生更希望通过乙大学的笔试时，有()()E Y

5、E X，11 分 所以5362m+，又因为01m，所以213m，所以 m 的取值范围是2(,1)3 12 分 19证明：（）分别延长 B1D，BA，设1BAB DE=，连接 CE，1 分 则 CE 即为平面1BCD与平面ABC的交线l，2 分 因为1DBDC=，取1B C中点 F，连接 DF，3 分 所以1DFB C，DF 平面1BCD，因为平面1BCD 平面11BBC C，且交线为1B C，所以DF 平面11BBC C，4 分 因为 D 为棱1A A的中点，1 1/A BAB，所以 D 为1B E的中点，所以/lDF，5 分 所以l 平面11BBC C；6 分 方法一：（）由（）知BAAE=

6、，因为90BAC=，ABAC=，所以90BCE=，在平面11BBC C内过点 C 作GCBC，垂足为 G，则GC 平面BCE，7 分 分别以 CB，CE，CG 所在直线为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2BC=，则1(1,0,3)B，(0,2,0)E，(2,0,0)B，8 分 则1(1,0,3)CB=，(0,2,0)CE=，(2,2,0)BE=，1(1,0,3)BB=，9 分 设平面1B DC的法向量为(,)x y z=m，则3020 xzy+=，取(3,0,1)=m，10 分 设平面1B DB的法向量为(,)x y z=n，则030 xyxz+=+=，取(3,3,1)=n，

7、11 分 所以3317cos,727=m n，即二面角1CB DB的余弦值为77 12 分 方法二：连接 BF，因为四边形11BBC C为菱形，且160B BC=，所以1BFB C，7 分 BF 平面1BCB，因为平面1BCD 平面11BBC C，且交线为1B C，所以BF 平面1BCD，8 分 过点 F 作1FGB E，连接BG，所以1BGB E，故BGF为二面角1CB DB的平面角，9 分 zyxGFEDA1C1B1BCAlNFEDA1C1B1BCAG 在1B DFRt中，11B F=，112DFCE=，1FGB E，所以22FG=，10 分 在BFGRt中，3BF=，所以142BG=，1

8、1 分 所以7cos7BGF=，即二面角1CB DB的余弦值为77 12 分 20解：（）因为6 1(,)22P在 C 上，所以2211234ab+=，1 分 因为 C 的左焦点F(1,0)，所以221ab=，2 分 所以22a=，21b=，C的方程为2221xy+=；4 分（）当直线l与 x 轴重合时，点(2,0)A，(2,0)B，2(1,)2M，2(1,)2N ，2(21,)2AM=，2(21,)2BN=，所以32AM BN=，5 分 当直线l与 x 轴不重合时，设直线l的方程为1xmy=，代入2221xy+=消去 x 得22(22)10mymy+=，因为直线l与 C 交于点11(,)A

9、x y，22(,)B xy，所以1 2212y ym=+，6 分 因为()()AM BNAFFMBFFNAF BFFM FN=+=+，7 分 所以22121 21 221(1)(1)(1)2mAF BFxxy ymy ym+=+=+=+，8 分（1）当 m0 时，同理可得22221()11121()2mmFM FNmm+=+，9 分 222211221mmAM BNmm+=+2242223(1)31(1)2225225mmmmm+=+，10 分 因为2212mm+，所以AM BN 的取值范围是34(,23，11 分（2）当0m=时，32AM BN=，综上知AM BN 的取值范围是34,23.1

10、2 分 21解：（）()e1xfxa=，1 分 因为0 x=是函数()f x的一个极值点，所以0(0)e110faa=，得1a=，2 分 所以()e1xfx=，因此()f x在(,0)上单减，在(0,)+上单增，3 分 所以当0 x=时，()f x有最小值0(0)e21f=；4 分 方法一：（）因为()eln(2)ln2xg xaxa=+，所以1()e2xg xax=+，则()g x在(2,)+上单增，5 分 记11maxln,02xa=，当1ln02a时，1111()e2xg xax=+11ln2ln21111ee0102222ln2aaaaa=+，当1ln02a=+，则11ln21111(

11、)ee0202xag xaax=+，6 分 记21min2,0 xa=，当120a时，20022111()eee0120222xg xaaaxa=+；当120a时，212022111()eee01122222xag xaaaxaa=+；7 分 所以存在唯一的0(2,)x +，使得0()0g x=，当02xx 时，0()0g x时，0()0g x，所以函数()g x在0(2,)x上单减，在0(,)x+上单增，8 分 若函数()g x有两个零点，只需0()0g x，即000()eln(2)ln20 xg xaxa=+，设1()2lnh tttt=+，则()h t为增函数，(1)0h=，所以当1t

12、时，()0h t，则021x+，即01x ，10 分 令()e(2)(1)xxxx=+，()e(3)0 xxx=+，则()x在(1,)+上单增，由01x 得01()(1)ex=，11 分 所以001(0,e)e(2)xax=+，所以 a 的取值范围是(0,e)12 分 方法二：（）若()()ln(2)g xf xxx=+有两个零点，即lnelnln(2)2xaxaxx+=+有两个解，即lnln(2)elnln(2)exaxxax+=+有两个解，5 分 利用同构式，设函数()exh xx=+，6 分 问题等价于方程(ln)(ln(2)h xahx+=+有两个解，7 分()e10 xh x=+恒成

13、立，即()exh xx=+单调递增，所以lnln(2)xax+=+，问题等价于方程lnln(2)xax+=+有两个解，8 分 即ln(2)(2)2ln0 xxa+=有两个解，设2tx=+，2lnam=，即ln0ttm+=有两个解，令()lntttm=+，问题转化为函数()t有两个零点，9 分 因为1()1tt=，当(0,1)t时，()0t，当(1,)t+时，()0t，解得1m，即2ln1a，解得0ea，11 分 由于(e)2e0mmm=，所以14m=或74 10 分 23解：（）因为()|2|f xxxm=+|2()|2|xxmm+=+，1 分 若对x R，()3f x 恒成立，则|2|3m+，2 分 所以5m，或1m，4 分 所以实数 m 的取值范围是(,51,)+；5 分（）由（）知，()f x的最小值为|2|m+，所以|2|5m+=，6 分 所以3m=或7，因为0m，所以3m=，即343abc+=，7 分 由柯西不等式得222222(25)(114)aabbc+222222()(2)(114)abbc=+8 分 2()1214abbc+9 分 2(34)9abc=+=，所以2221252aabbc+（当且仅当112a=，112b=，23c=时等号）10 分