华文大教育联盟2019年高三第二次质量检测数学（文）试题含详解.docx

1、 华文大教育联盟华文大教育联盟 2019 届高三第二次质量检测考试届高三第二次质量检测考试 文文科数学科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡上交. 一一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知集合25Mxx， 2 log2Nxx，则MN（ ） A

2、.1,2,3,4,5 B.2,3,4 C.05xx D.24xx 2.若a，b都是实数，且1 1 ab ii ，则ab的值是（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 3.国家统计局统计了我国近 10 年（2009 年2018 年）的GDP（GDP是国民经济核算的核心指标，也是 衡量一个国家或地区总体经济状况的重要指标）增速的情况，并绘制了下面的折线统计图. 根据该折线统计图，下面说法错误的是（ ） A.这 10 年中有 3 年GDP的增速在9.00%以上 B.从 2010 年开始GDP的增速逐年下滑 C.这 10 年GDP仍保持6.5%以上的中高速增长 D.2013 年2018 年GDP的增速相

3、对于 2009 年2012 年，波动性较小 4.已知向量1,am，2,3b ，且向量a，b满足 abb，则m（ ） A.2 B.3 C.5 D.4 5.一个盒中有形状、大小、质地完全相同的 5 张扑克牌，其中 3 张红桃，1 张黑桃，1 张梅花.现从盒中一次 性随机抽出 2 张扑克牌，则这 2 张扑克牌花色不同的概率为（ ） A. 4 5 B. 7 10 C. 3 5 D. 1 2 6.已知双曲线的左、右焦点分别为 1 ,0Fc， 2 ,0F c，过点 2 F作x轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一 象限的交点为P，线段 2 PF的中点M到原点的距离为2c，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A.2y

4、x B. 1 2 yx C.4yx D. 1 4 yx 7.在ABC中，内角A，B，C满足 222 1 sinsinsinsinsin0 2 BCBCA，则cos2A（ ） A. 7 8 B. 7 8 C. 3 4 D. 7 16 8.如图，执行程序框图，若输出结果为 140，则判断框内应填（ ） A.7?n B.7?n C.6?n D.6?n 9.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N分别是棱 11 BC， 1 C C的中点，则异面直线 1 BD与MN所 成的角的大小是（ ） A.30 B.45 C.60 D.90 10.已知函数 sincos0,0 2 f xxx 的最小正

5、周期为，且 fxf x， 则（ ） A. f x在 3 , 44 内单调递减 B. f x在0, 2 内单调递减 C. f x在 3 , 44 内单调递增 D. f x在0, 2 内单调递增 11.已知椭圆C的方程为 22 22 10 xy ab ab ，焦距为2c，直线l： 2 4 yx与椭圆C相交于A，B两 点，若2ABc，则椭圆C的离心率为（ ） A. 3 2 B. 3 4 C. 1 2 D. 1 4 12. 已 知 函 数 f x满 足 ： 2fxfx， 当1x时 ， 2 2,1, 2 , 4,2, x x f x xx 若 不 等 式 6fxxa恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A

6、.13a B.13a C.12a D.12a 二、填空题二、填空题 13.已知函数 2 2lnf xxxa的最小值为 2，则a_. 14.设变量x，y满足约束条件 40, 220, 10, xy xy x 则目标函数2zxy的最大值为_. 15.已知tan2 4 ，则 2 sin2cos_. 16.如图，在三棱锥PABC中，侧面PAB垂直于底面ABC，ABC与PAB都是边长为2 3的正三 角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作题为必考题，每个试

7、题考生都必须作 答答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题（一）必考题 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，239 nn Sa. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 3 1log n nn ba ，求数列 n b的前n项和 n T. 18.光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴 政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表： 年份 2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年 2018 年 年份代码x 1 2 3 4

8、5 6 7 8 新增光伏装机量y兆瓦 0.4 0.8 1.6 3.1 5.1 7.1 9.7 12.2 某位同学分别用两种模型： 2 ybxa， y d x c进行拟合， 得到相应的回归方程并进行残差分析， 残差图如下（注：残差等于 ii yy） ： 经过计算得 8 1 72.8 ii i xxyy ， 8 2 1 42 i i xx ， 8 1 686.8 ii i ttyy ， 8 2 1 3570 i i tt ， 其中 2 ii tx， 8 1 1 8 i i tt . （1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由. （2）根据（1）的判断结果及表中数据建立

9、y关于x的回归方程，并预测该地区 2020 年新增光伏装机量是 多少.（在计算回归系数时精确到 0.01） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 n ii i n i i xxyy b xx ，aybx. 19.如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，2PDDCBC，/AB DC，2ABCD， 90BCD. （1）求证：ADPB； （2）求点C到平面PAB的距离. 20.已知抛物线C： 2 20ypx p的焦点为F，点1,Pa在此抛物线上，2PF ，不过原点的直线l 与抛物线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M过坐标原点. （1）求抛物线C的方程； （2）证明

10、：直线l恒过定点； （3）若线段AB中点的纵坐标为 2，求此时直线l和圆M的方程. 21.已知函数 x f xexa aR . （1）当0a时，求证： f xx； （2）讨论函数 f x在R上的零点个数，并求出相对应的a的取值范围. （二）选考题：请考生在第（二）选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答. 22.选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 cos , sin x y （为参数） ，直线l的参数方程为 2cos, sin xt yt （t为参数）. （1）求曲线C和直线l的普通方程； （2）直线l与曲线C交于A，B两点，若1

11、AB ，求直线l的方程. 23.选修 45：不等式选讲 已知函数 2f xxx. （1）解不等式 4f x ； （2）若不等式 10mxf xm 对于xR恒成立，求m的取值范围. 参考答案参考答案 1.D 解析：因为04Nxx，所以应选 D. 2.C 解析：去分母，得11aibiii，即1bab ii ，根据复数相等的充要条件，得 1ab.故选 C. 3.B 解析： 由题图可知， 这 10 年中有 3 年GDP的增速在9.00%以上， 则选项 A 正确； 2017 年相比于 2016 年GDP的增速上升，则选项 B 错误；这 10 年GDP增速均超过6.5%，则选项 C 正确；显然选项 D 正

12、确. 4.C 解 析 ： 由 题 意 ， 知3,3abm， 又 因 为 abb， 所 以 0abb， 即 32330m ，即6 390m ，所以5m.故选 C. 5.B 解析：从 5 张扑克牌中随机抽出 2 张扑克牌的情况共有 10 种，其中花色相同的有 3 种，花色不同的 有 7 种，所以这 2 张扑克牌花色不同的概率为 7 10 .故选 B. 6.A 解析：设双曲线的渐近线方程为0,0 b yx ab a ，易求点P的坐标为, bc c a ，中点M的坐 标为, 2 bc c a .因为 2 222 2 2 bc OMcc a ，所以 22 4ab，即2 b a .故选 A. 7.B 解析

13、：由 222 1 sinsinsinsinsin0 2 BCBCA，可得 222 1 2 bcabc ， 所以 222 1 cos 244 bcabc A bcbc ，所以 2 2 17 cos22cos121 48 AA . 故选 B. 8.D 解析：1n ，1T ；2n， 2 125T ；3n， 2 5314T ；4n， 2 14430T ； 5n， 2 30555T ；6n， 2 55691T ；7n， 2 917140T .故选 D. 9.D 解析： 连接 1 BC， 1 BC（图略） .因为 11 BCBC， 111 DCBC， 所以 1 BC 平面 11 BC D， 即 11 BC

14、BD. 又因为 1 /MN BC，所以 1 MNBD.故选 D. 10.B 解析： 由题意可得， 1 sin 22 2 f xx， 且最小正周期为， 所以1.因为 fxf x， 所 以 f x为 偶 函 数 ， 所 以2 2 k ，kZ，0, 2 ， 所 以 4 ， 即 11 sin 2cos2 222 f xxx .故选 B. 11.A 解析：设第一象限的交点为,A x y，直线 2 4 yx的倾斜角为. 由 2 tan 4 ，得 1 sin 3 ， 2 2 cos 3 ，即 2 21 , 33 Acc . 把点A的坐标代入椭圆方程，得 42 81890ee， 22 43230ee，所以 3

15、 2 e . 12.A 解析：由 2fxf x，知函数 f x的图象关于直线1x 对称，作出函数 f x的示意图. 当2x时， 2fxx，由26x，得3x ， 所以过切点3,5的切线方程为563yx ，即613yx，数形结合可知选 A. 13.1 解析： 2 21 2 2 x fxx xx . 因为0x，所以当0,1x时， 0fx，当1,x时， 0fx， 即 f x在0,1内单调递减，在1,内单调递增， 所以 min 112f xfa ，所以1a . 14.6 解析：根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示.因为2zxy，所以2yxz.由图可得， 当直线2yxz经过点2, 2A时，z取得最大值

16、，即 max 2 226z . 15. 7 10 解行：因为 tantan 2 144 tantan3 441 2 1tantan 44 ， 所以 2 2 2222 2sincoscos2tan12 3 17 sin2cos sincostan13110 . 16.20 解析： 如图， 设ABC与PAB的重心分别为点M，N， 过点M，N分别作面ABC与面PAB 的垂线， 两条垂线交于点O， 点O即为该三棱锥的外接球的球心.取AB的中点为Q， 连接PO，PQ，CQ. 在直角三角形PNO中， 2 2 3 PNPQ， 1 1 3 NOCQ，得5PO ，故外接球的表面积为20. 17.解： （1）当1

17、n 时， 11 239Sa. 因为 11 Sa，所以 11 239aa，所以 1 9a . 因为239 nn Sa，所以 11 239 nn Sa . 由，得 11 233 nnn aaa ，即 1 3 nn aa . 又因为 1 9a ，所以0 n a ， 所以 1 3 n n a a ，即数列 n a是以 9 为首项，公比为 3 的等比数列. 所以 11 9 33 nn n a . （2）由（1） ，知 3 1log11 nn nn ban ， 故当n为偶数时， 23451 2 n n Tnn ； 当n为奇数时， 13 2345111 22 n nn Tnnnn . 所以 , 2 3 ,.

18、 2 n n n T n n 为偶数 为奇数 18.解： （1）选择模型. 理由如下：根据残差图可以看出，模型的估计值和真实值相对比较接近，模型的残差相对较大一些， 所以模型的拟合效果相对较好. （2）由（1） ，知y关于x的回归方程为 2 ybxa，令 2 tx，则ybta. 由所给数据可得 8 1 11 149 162536496425.5 88 i i tt ， 8 1 11 0.40.8 1.63.1 5.1 7.1 9.7 12.25 88 i i yy ， 8 1 8 2 1 686.8 0.19 3570 ii i i i ttyy b tt ， 5 0.19 25.50.16a

19、ybt . 所以y关于x的回归方程为 2 0.190.16yx. 预测该地区 2020 年新增光伏装机量为 2 0.19 100.1619.16y （兆瓦）. 19.（1）证明：如图，取AB的中点为M，连接PM，DM，BD. 因为2ABCD，AMMB，2DCBC，/CD AB，90BCD， 所以四边形BCDM为正方形. 所以2DMBCAMMB，所以2 2AD，2 2BD，4AB ， 所以 222 ABBDAD， 所以ADBD 所以PD 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PDAD. 又因为BDPDD， 所以AD 平面PBD，所以ADPB. （2）解：连接AC，设点C到平面PAB的距离为h，则

20、 1118 4 2 2 3263 C PABP ABC VVABBCPD . 因为ABPD，ABDM，且PDDMD， 所以AB 平面PDM，所以ABPM. 在RtPDM中， 222 8PMPDDM，即2 2PM ， 所以 11 4 2 24 2 22 PAB SABPM ， 所以 14 2 33 C PABPAB VShh . 所以 84 2 33 h，所以2h. 所以点C到平面PAB的距离为2. 20.（1）解：由题意得12 2 p ，解得2p ，所以抛物线C的方程为 2 4yx. （2） 证明： 当直线l斜率存在时， 设直线l的方程为ykxm， 11 ,A x y， 22 ,B x y.易

21、知0k ，0m. 联立方程组得 2 4 , , yx ykxm 从而可得方程 222 240k xkmxm. 由题意可知 2 22 2440kmk m ， 12 2 42km xx k ， 2 12 2 m x x k ， 所以 22 12121212 4m y ykxmkxmk x xkm xxm k . 因为以AB为直径的圆M过坐标原点， 所以0OA OB，即 1212 0x xy y，所以 2 2 4 0 mm kk ，所以4mk. 所以直线l的方程为4ykxk，即4yk x，显然直线l恒过定点4,0. 当直线l的斜率不存在时，易求得点A，B的坐标分别为4,4，4, 4，直线l也过点4,

22、0. 综合可知：直线l恒过定点4,0. （3）解：显然直线l的斜率存在.设线段AB中点的坐标为 0,2 x，由（2）得 2 12 2 48k xx k ， 121212 4 448yyk xk xk xxk k ， 所以 2 0 2 24 , 2 2. k x k k 解得1k ， 0 6x ， 所以直线l的方程为4yx. 因为线段AB的中点坐标6,2即为圆M的圆心坐标， 所以设圆M的方程为 22 2 62xyr. 把0,0代入，得 2 40r . 所以圆M的方程为 22 6240xy. 21.（1）证明：当0a时， x f xex. 令 2 xx g xf xxexxex ，则 2 x g

23、xe. 令 0g x，得ln2x . 当ln2x时， 0gx；当ln2x 时， 0g x， 所以 g x在,ln2内是减函数，在ln2,内是增函数， 所以ln2x 是 g x的极小值点，也是最小值点， 即 ln2 min ln22ln22ln0 2 e g xge， 故当0a时， f xx成立. （2）解： 1 x fxe，由 0fx，得0x. 当0x时， 0fx；当0x时， 0fx， 所以 f x在,0内是减函数，在0,内是增函数， 所以0x是函数 f x的极小值点，也是最小值点， 即 min 01f xfa . 当10a，即1a 时， f x在R上没有零点. 当10a，即1a 时， f x

24、在R上只有一个零点. 当10a，即1a 时，因为0 aa faeaae ， 所以 f x在,0内只有一个零点； 由（1） ，得2 x ex，令xa，则得2 a ea， 所以 20 aa f aeaaea ，于是 f x在0,内有一个零点； 因此，当1a 时， f x在R上有两个零点. 综上，当1a 时，函数 f x在R上没有零点；当1a 时，函数 f x在R上有一个零点；当1a 时， 函数 f x在R上有两个零点. 22.解： （1）由曲线C和直线l的参数方程可知，曲线C的普通方程为 22 1xy，直线l的普通方程： 当cos0时为2x，当cos0时为tan2yx. （2）把2cosxt ，s

25、inyt代入 22 1xy，得 2 4 cos30tt. 因为 2 16cos120 ，所以 2 3 cos 4 . 因为 12 4costt ， 1 2 3t t ， 12 1ABtt， 所以 22 2 12121 2 416cos121ttttt t. 所以 2 13 cos 16 ，所以 2 2 2 sin3 tan cos13 ， 所以 39 tan 13 ，即直线l的斜率为 39 13 ， 所以直线l的方程为 392 39 1313 yx或 392 39 1313 yx . 23.解： （1）由题意，知 22,0, 2,02, 22,2. xx f xx xx 当0x时，由224x

26、，得1x，所以1,0x ， 当02x时，24成立，所以0,2x， 当2x时，由224x，得3x，所以2,3x， 综上可知，不等式 4f x 的解集为1,3. （2）由题意，知0m，由（1）得当0x时，122mxx 恒成立，即 1 2m x 恒成立. 因为 1 20 x ，所以0m时不等式恒成立. 当0x时，12恒成立，所以0m时不等式恒成立. 当02x时，12mx 恒成立，即 1 m x 恒成立，而 11 2x ，所以 1 0 2 m时不等式恒成立. 当2x时，122mxx 恒成立，即 3 2m x 恒成立，而 13 22 2x ， 所以 1 0 2 m不等式恒成立. 综上，m的取值范围为 1 0, 2 .