2020年全国普通高等学校统一招生考试（新课标I卷）押题猜想卷 理科数学（解析版）.doc

1、2020 年全国普通高等学校统一招生考试（新课标 I 卷）押题猜想卷 数 学（理） 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1已知复数 1 i z i （i为虚数单位） ，则复数z的虚部是（ ） A1 B-1 Ci Di 【答案】B 【解析】 1 i z i 1 1 i 1 i ， 复数z的虚部是1， 故选：B 2已知集合 2 230Ax xx ， 2 log0Bxx ，则AB （ ） A 12xx B02xx C13xx D01xx 【答案】C 【解析】 由题意 2 23013

2、Ax xxxx ， 2 log01Bxxx x ， 则 13113ABxxx xxx . 故选：C. 3某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余= 月收入一月支出） （ ） A上半年的平均月收入为 45 万元 B月收入的方差大于月支出的方差 C月收入的中位数为 70 D月结余的众数为 30 【答案】C 【解析】 由图可得，上半年的平均月收入为 406030305060 45 6 万元，故 A 正确 由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故 B 正确 由图可得，1 12月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70

3、、70、80、90、80 所以月收入的中位数为： 6070 65 2 ，故 C 错误 由图可得，1 12月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、50、30 所以月结余的众数为 30，故 D 正确 故选：C 4我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重 二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时，其 重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖

4、截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为（ ） A 6 5 斤 B 4 3 斤 C 3 2 斤 D 5 4 斤 【答案】C 【解析】 把每段重量依次用 i a（1,2,20)i 表示，数列 n a是等差数列， 由题意 1234 17181920 4 2 aaaa aaaa ，两式相加得 120 13 (42) 42 aa， 1011120 3 2 aaaa 故选：C 5若点 P 在函数 3 ( )3f xxx 的图象上，且函数 3 ( )3f xxx的图象在点 P 处的切线平行于直线 21yx，则点 P 的坐标为（ ） A(1,3) B( 1,3) C(1,3)和( 1,3) D(1)3

5、， 【答案】B 【解析】 设P点坐标为( , )P m n，则 3 3nmm 2 ( )31xfx 由于在点P处的切线平行于直线21yx 故 2 312m ，1m，代入 3 3nmm， 故点P坐标为(1,3)和( 1,3) 又点(1,3)在直线21yx，此时切线与21yx重合，排除 故点P坐标为( 1,3) 故选：B 6如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BDDC，若ADABAC ，则 （ ） A 1 2 B 1 3 C2 D 2 3 【答案】B 【解析】 分析：从 A 点开始沿着三角形的边转到 D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把BD写成BC的实数 倍，从而得到AD 13 44

6、ABAC，从而确定出 13 , 44 ，最后求得结果. 详解： 3 4 ADABBDABBC 3 () 4 ABACAB 13 44 ABAC， 所以 13 , 44 ，从而求得 1 3 ，故选 B. 7某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， 1 M为正视图一边的中点，且几何体表面上的点 M、 A、B 在正视图上的对应点分别为 1 M、 1 A、 1 B，在此几何体中，平面过点 M 且与直线AB垂直.则平面 截该几何体所得截面图形的面积为（ ） A 6 2 B 6 4 C 3 2 D 3 4 【答案】A 【解析】 如图，原几何体是一个正三棱柱ADEFBG，M上AF中点，取AD中点N，连接

7、,MN NE EM，连 接DF，由三视图知ADBF是正方形， DFAB，又,M N分别是,AF AD中点，/MNDF， ABMN， 正三棱柱中，BD 平面ADE，EN 平面ADE，故ENBD， 又ENAD，ADBDD，则可得EN 平面ADBF，AD 平面ADBF，ENAB， 又MNENN，AB 平面MNE，MNE即为截面， 同理由EN 平面ADBF得ENMN，由三视图得 2MN ，3EN ， 16 23 22 S 故选：A 8已知抛物线C： 2 8yx的交点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线C相交于M，N两点， 若 3PFMF ，则|MN （ ） A 21 2 B 32 3 C10

8、D11 【答案】B 【解析】 抛物线C： 2 8yx的焦点为 F(2,0)，准线为:2l x 如下图 设 1122 ,M x yN x yM N到准线的距离分别为, MN dd， 由抛物线的定义可知 12 2,2 MN MFdxNFdx， 于是 12 4MNMFNFxx 作 MHl 于 H， 3PFMF ， 22PMMFMH， 60PMH ， 根据对称性可得直线 AB 的斜率为3 直线 PF 的方程为32yx . 由 2 32 8 yx yx 消去 y 整理得 2 320120xx， 12 20 3 xx 于是 12 2032 44 33 MNxx 故选 B 9已知函数 1 2 ,0 ( )

9、21,0 x ex f x xxx ，若关于x的方程 2 3 ( )0()(ff xaxaR有 8 个不等的实 数根，则a的取值范围是（ ） A 1 0, 4 B 1 ,3 3 C(1,2) D 9 2, 4 【答案】D 【解析】 绘制函数 1 2 ,0 21,0 x ex f x xxx 的图象如图所示， 令 f xt，由题意可知，方程 2 30tta在区间 1,2上有两个不同的实数根， 令 2 312g tttat ，由题意可知： 11 30 2460 399 0 242 ga ga ga ，据此可得： 9 2 4 a. 即a的取值范围是 9 2, 4 . 本题选择 D 选项. 10圆周率

10、是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母表示.早在公元 480 年左右，南北朝时期的数学家 祖冲之就得出精确到小数点后 7 位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第 7 位的人， 这比欧洲早了约 1000 年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计的值：在区间0,1内随机取 2m个数，构成m个数对, x y，设x，y能与 1 构成钝角三角形三边的数对, x y有n对，则通过随机模 拟的方法得到的的近似值为（ ） A 2mn m B 2mn n C 24mn m D 2 2 mn n 【答案】C 【解析】 依题有 01 01 x y ，试验的全部结果构成以 1 为边长的正方形

11、，其面积为 1. 因为x，y能与 1 构成钝角三角形， 由余弦定理的及三角形知识得 22 1 1 xy xy ， 构成如图阴影部分， 其面积为 1 42 ， 由几何概型概率计算公式得 1 42 1 n m ， 解得 24mn m . 故选：C 11已知双曲线 22 22 C:1(0,b0) xy a ab 的左、右焦点分别为 1 0Fc ， 2 0F c，点N的坐标为 2 3 c, 2 b a 若双曲线C左支上的任意一点M均满足 2 4MFMNb+，则双曲线C的离心率的取值范围 为( ) A 13 , 5 3 B( 5, 13) C 13 1,( 5,) 3 D(1, 5)( 13,) 【答案

12、】C 【解析】 由已知可得 21 2MFMFa，若 2 | 4MFMNb， 即 1| | 24MFMNab，左支上的点M均满足 2 | 4MFMNb， 如图所示，当点M位于H点时， 1 |MFMN最小， 故 2 3 24 2 b ab a ，即 22 348baab , 22 3840,(2)(23 )0babaabab, 23ab或 22 2,49abab或 2222 4,913abca或 22 13 5,1 3 c ca a 或 5, c a 双曲线 C的离心率的取值范围为 13 1,( 5,) 3 . 12如图，三棱锥PABC中，PA 平面ABC， 2 BAC ，Q为PA中点，下列说法中

13、 （1）PBAPCABPC； （2）记二面角,PBCA QBCA的平面角分别为 1212 ,2 ; （3）记,ABC QBCPBC的面积分别为 22 01202 2 1 ,4S S S SSS; （4）coscoscosPBCPBQQBC, 正确说法的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】 (1)PA平面 ABC，根据最小角定理可得PBAPBC，PCAPCB， PBAPCABPCPBCPCBBPC，故(1)错； (2)如图,过 A 作 AMBC 于 M,因为 PA平面 ABC， 所以 APBC， 又A MA P A ， 所以 BC平面 APM， 所以 PMBC， 则 12

14、,PMAQMA， 过 M 作PMA 的角平分线交 PA 于点 E,则1 MAAE MPPE , 点 E 在点 Q 的下方,故 21 1 2 ,则 12 2， 故(2)错； (3)如图, 0 1 2 SBC AM， 1 1 2 SBC QM, 2 1 2 SBC PM， 2222 1 2222 02 1 +,4 4 1 4 4 SSBCPMSBCQAMM，而 2 222221111 +,+2+ 2444 MQMA MPMQMA MPMAMPMA MPMAMP， 所以 222 4+MAMQMP，所以 22 0 2 12 4SSS，故(3)正确； (4)在 Rt PBM中，cos BM PBC BP

15、 ，在Rt QBC中cos BM QBC BQ ，在PBQ中， 222 cos 2 PBBQPQ PBQ PB BQ ， 222222 2 coscos 22 BMPBBQPQBMPBBQPQ QBCPBQ BQPB BQPBBQ ， 而 2222222 2PBBQPQBQPBPQBQ，又 PQB 是钝角，所以cos0PBQ ，所以 2220 PBPQBQ， 222 2 1 2 PBBQPQ BQ ， 222 2 2 BMPBBQPQBM BPBQBP ， 所以coscoscosPBCPBQQBC.故(4)正确； 故选：C. 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小

16、题，每题 5 分，共 20 分. 13若实数 x，y 满足约束条件 1 1 4 x y xy ，则2xy的最小值为_. 【答案】5 【解析】 约束条件 1 1 4 x y xy 表示的可行域为： 令2xyz，即 1 22 z yx ， 由图可得当直线 1 22 z yx 过点3,1时，z最小，最小值为 5 故答案为：5 14记 n S为等比数列 n a的前n项和， 1 1a ，且 44 1Sa，则公比q _. 【答案】2 或1 【解析】 易知 n a的公比1q ，由 45 1Sa，得 4 1 4 1 1 1 1 aq a q q ， 结合 1 1a 整理，得 4 120qq.又1q ，所以 2

17、q = 或1q . 故答案为：2 或1. 15从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求 甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安 排种数为_.(用数字作答) 【答案】5040. 【解析】 分两类， 一类是甲乙都参加， 另一类是甲乙中选一人， 方法数为 32145 64265 144036005040NA AC C A. 填 5040. 16关于函数( )cos(2)cos(2 ) 36 f xxx ，有下列说法： ( )yf x的最大值为 2； ( )yf x是以为最小正周期的周期函数

18、； ( )yf x在区间( 13 , 2424 )上单调递减； 将函数2cos2yx的图象向左平移 24 个单位后，将与已知函数的图象重合 其中正确说法的序号是_ 【答案】 【解析】 由题意可得： ( )cos(2)cos(2)cos(2)sin(2)2cos(2) 3233312 f xxxxxx ， 故 max ( )2f x，故正确； 22 2 T ,故正确； 可得当222 12 kxk ，函数单调递减，解得 13 2424 kxk ， 故正确； 2cos2yx的图象向左平移 24 可得2cos2()( ) 24 yxf x ，故不正确； 故答案为：. 三、解答题：共 70 分.解答应写

19、出文字说明、证明过程或演算步骤.1721 题为必考题，每个 考生都必须作答.22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17在平面四边形ABCD中，已知 3 4 ABC ，ABAD，1AB （1）若5AC ，求ABC的面积； （2）若 2 5 sin 5 CAD，4AD，求CD的长 【答案】 （1） 1 2 ； （2）13. 【解析】 （1）在ABC中， 222 ACABBC2AB BC COSABC 即 2 51 BC2 BC 2 BC2BC 40 ,解得BC 2 . 所以 ABC 1121 SAB BC sinABC12 2222 . （2）因

20、为 0 2 5 BAD90 ,sinCAD 5 ,所以 2 5 cosBAC 5 ， 5 sinBAC 5 , sinBCAsinBAC 4 所以 2 cosBACsinBAC 2 22 5510 25510 . 在ABC中， ACAB sinABCsinBCA , AB sinABC AC5 sinBCA . 222 CDACAD2AC AD cosCAD所以 5 5 1625413 5 所以CD13. 18在Rt ABC中，90ABC ， 1 tan 2 ACB.已知EF，分别是BCAC，的中点.将CEF沿EF 折起，使C到 C 的位置且二面角CEFB 的大小是 60 ，连接CBCA，如图

21、： （1）证明：平面AFC平面ABC （2）求平面AFC与平面BEC所成二面角的大小. 【答案】 （1）证明见解析（2）45 【解析】 （1）F是AC的中点，AF CF . 设 AC 的中点为G，连接FG. 设 BC 的中点为H，连接GH，EH. 易证：CEEF ，BEEF， BEC即为二面角CEFB 的平面角. 60BEC，而E为BC的中点. 易知BE EC ，BEC为等边三角形，EH BC . EF CE ，EFBE，CEBEE ，EF 平面BEC. 而EFAB，AB 平面BEC，ABEH，即EHAB. 由，BCABB，EH 平面ABC. GH，分别为ACBC，的中点. 四边形EHGF为平

22、行四边形. FGEH，FG平面ABC，又FG 平面AFC. 平面AFC平面ABC. （2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB . 则00 2A， ，000B， ，2 01F， ，200E， ，130C ， ， 显然平面BEC的法向量001m， ， 设平面AFC的法向量为nxyz， ，1 32AC ， ， ，2 01AF ， ， 20 320 xz xyz ，1 3 2n ， ，. 2 cos, 2 m n m n m n ， 由图形观察可知，平面AFC与平面BEC所成的二面角的平面角为锐角. 平面AFC与平面BEC所成的二面角大小为 45 . 19已知椭圆 22 22 :10 xy Cab a

23、b 经过点 2,1P，离心率为 2 2 . （1）求椭圆C的方程； （2）过点P作两条互相垂直的弦,PA PB分别与椭圆C交于点,A B，求点P到直线AB距离的最大值. 【答案】 （1） 22 1 63 xy （2） 4 2 3 【解析】 （1）由题意，得 22 41 1 2 2 ab c a ，结合 222 abc，得 2 6a ， 2 3b ， 所以椭圆C的方程为 22 1 63 xy ； （2）当直线AB的斜率存在时，设其方程为y kxm ， 代入椭圆方程，整理得 222 124260kxkmxm ， 由得 22 630km， 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2

24、4 12 km xx k ， 2 12 2 26 1 2 m x x k ， 因为PAPB，所以1 PAPB kk ，所以 12 12 11 1 22 yy xx ， 即 12121 212 124y yyyx xxx ， 其中 22 12121 212 y ykxmkxmk x xmk xxm， 1212 2yyk xxm， 代入整理得 22 483210kmkmm ，即21 2310kmkm， 当210km 时，直线AB过点P，不合题意； 所以2310km ，此时满足， 则直线AB的方程为 21 33 yk x ，直线过定点 21 , 33 M ， 所以当PMAB时， 点P到直线AB的最大

25、距离 22 214 2 21 333 dPM ； 当直线AB的斜率不存在时，设其方程为xn，由 12 xxn， 12 yy ， 代入 12121 212 124y yyyx xxx 可得 22 1 144ynn ， 结合 22 1 1 63 yn 可得 2 3 n 或2n（舍去） ， 当 2 3 n 时，点P到直线 2 3 x 的距离为 4 3 ， 综上，点P到直线AB的最大距离为 4 2 3 . 20某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅 为一户）. 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用水范围（吨） 0,12 12,16 16, 为了

26、了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨） ，得到统计表 如下： 居民用水户编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 用水量（吨） 7 8 8 9 10 11 13 14 15 20 （1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分 按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨， 则应交水费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望； （3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全

27、市依次随机抽取10户，若抽到k户月用 水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值. 【答案】 （1）75 元（2）见解析， 9 10 （3）6 【解析】 （1）若某居民用水17吨，则需交费12 44 5 1 775 （元） ； （2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有3户，则可取0,1,2,3， 3 7 3 10 7 0 24 C P C ， 21 73 3 10 21 1 40 C C P C ， 12 73 3 10 7 2 40 C C P C ， 3 3 3 10 1 3 120 C P C . 故的分布列是 0 1 2 3 P 7 24 21 40 7 40 1 120

28、 所以 721719 0123 24404012010 E ； （3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X满足 3 10, 5 XB ， 于是为 10 10 32 55 kk k P XkC ，0,1,210k ， 由 101101 1 1010 101101 1 1010 3232 5555 3232 5555 kkkk kk kkkk kk CC CC ， 化简得 1 1010 1 1010 23 32 kk kk CC CC ，解得 2833 55 k. 因为 * kN，所以6k . 21已知函数 2 ( )ln( ,)f xxaxbx a bR. （1）当1a时，设

29、 1 x， 2 x为( )f x的两个不同极值点，证明： 12 3ln2f xf x ； （2）设 1 x， 2 x为( )f x的两个不同零点，证明： 1212 3f xxxx. 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 (1)当1a时， 2 ( )lnf xxxbx， 2 121 ( )2(0) xbx fxxbx xx ， 12 ,x x为( )f x的两个不同极值点， 12 ,x x为方程 2 210xbx 的两不等正根， 22 1122 21,21bxxbxx， 且由韦达定理 12 1 2 x x ， 22 12111222 lnlnf xf xxxbxxxbx 2

30、2 1212 ln2x xxx 1212 ln22ln23x xx x ， 12 3 ln2f xf x . （2）要证明 1212 3f xxxx， 即 2 12121212 ln3xxa xxb xxxx， 下面分别证明 1212 ln1xxxx和 2 1212 2a xxb xx ， 两式相加即得结论. （i） 1212 ln1xxxx， 令 12 0txx， 即证ln10tt . 令函数( )ln1g ttt ，则 11 ( )1 t g t tt ， ( )g t在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减， ( )(1)0g tg. （ii）再证明 2 1212 2a xxb xx ，

31、 即 2 1212 2a xxb xx. 12 ,x x为( )f x的两个不同零点，不妨设 12 0xx， 2 111 ln xaxbx 2 222 ln xaxbx -可得 1 121212 2 ln x a xxxxb xx x ， 两边同时乘以 12 12 xx xx ， 可得 1 12 2 2 1212 12 ln x xx x a xxb xx xx ， 即 11 2 22 1212 1 2 1ln 1 xx xx a xxb xx x x . 令 1 2 (0,1) x m x ，则 2 1212 (1) ln 1 mm a xxb xx m . 即证 (1) ln 2 1 mm

32、 m ， 即 2(1)4 ln2 11 m m mm ， 即证 4 ln20 1 m m . 令函数 4 ( )ln2 1 h mm m ， 则 2 22 14(1) ( )0 (1)(1) m m mmm h m ， ( )h m 在(0,1)单调递增， ( )(1)0h mh. 由（i） （ii）可得 2 12121212 ln3xxa xxb xxxx， 1212 3f xxxx. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在请考生在 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 22在直角坐标系xOy中，半圆 C

33、 的参数方程为 1cos sin x y （为参数，0） ，以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （）求 C 的极坐标方程； （）直线l的极坐标方程是(sin3cos )5 3，射线 OM： 3 与半圆 C 的交点为 O、P，与 直线l的交点为 Q，求线段 PQ 的长. 【答案】 （1）2cos ,0, 2 ； （2）4. 【解析】 （）半圆 C 的普通方程为 22 (1)1(01)xyy，又 cos ,sinxy ， 所以半圆 C 的极坐标方程是2cos ,0, 2 （5 分） （）设 11 (,) 为点 P 的极坐标，则有 11 1 2cos 3 ，解得 1 1 1 3 ，

34、 设 22 (,) 为点 Q 的极坐标，则有 222 2 (sin3cos)5 3 3 解得 2 2 5 3 ， 由于 12 ，所以 12 4PQ，所以 PQ 的长为 4 （10 分） 23已知函数 22 1f xmx，mR，且 1 0 2 fx 的解集为11xx . （1）求m的值； （2）若, ,a b c都为正数，且 111 24 m abc ，证明：249abc. 【答案】 （1）1m（2）证明见解析 【解析】 （1）由 1 0 2 fx 得220mx得mxm， 因为 1 0 2 fx 的解集为11xx ， 所以1m. （2）由（1）得 111 1 24abc ， 1112442 241 1 19 242424 bacacb abc abcabacbc . 当且仅当24abc时，等号成立. 所以249abc成立.