2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（9）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，B2，3，则（ ） AAB BAB CAB DBA 2 （5 分）已知复数 Z 满足 Z（1+i）2+i（i 为虚数单位） ，则复数 Z 的虚部为（ ） A 1 2 B1 2 C 1 2 D1 2 3 （5 分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样本，并将得到的数据分成10，20） ，20，3

2、0） ，30，40） ，40，50四组，绘制成 如图所示的频率分布直方图，其中支出在40，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 4 （5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一 个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊， 丙同学哪个吉祥物都喜欢， 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 （ ） A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 5 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，

3、直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A 作 抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 6 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，E 为棱 AA1的中点，则直线 C1E 与平面 CB1D1所成角的余弦值为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 6 9 B53 9 C 5 3 D2 3 7 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 2 0 + 1 0 + 1 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A4 B2 C1 D1 3 8 （5 分）若函数

4、 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，则（ ） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 9 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac Dcba 10 （5 分）首项为 2，公比为 3 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ） A3an2Sn2 B3an2

5、Sn+2 Can2Sn2 Dan3Sn4 11（5分） ABC的内角A、 B、 C的对边分别为a， b， c， 且ab， 则(;) ; = （ ） A1 B2 C1 D2 12 （5 分） 已知函数 f （x） 为 R 上的奇函数， 当 x0 时， f （x） = 1 2 （|x+cos|+|x+2cos|+3cos） （） ，若对任意实数 xR，都有 f（x3）f（x）恒成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A5 6 ， B， 2 3 C 5 6 ，5 6 D 2 3 ， 2 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）

6、已知 =（1，3） ， = 5，则 在 方向上的投影为 14 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点和点 P（3a，b）为某个等 腰三角形的三个顶点，则曲线 C 的离心率为 15 （5 分）函数 y3cos（2x 3） ，xR 的减区间为 ，对称中心为 16（5 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面 体的外接球的体积为 第 3 页（共 21 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60

7、分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前 n 项和记为 Sn，a19，an+12Sn+9，nN*，b11，bn+1bn log3an （1）求an的通项公式； （2）求证：对 nN*，总有1 1 1 + 1 2 + + 1 2 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，BAD90，AD 2BC，M 为 PD 的中点 （）证明：CM平面 PAB； （）若PBD 是等边三角形，求二面角 APBM 的余弦值 19（12 分） 已知点 P 在圆 O： x2+y24 上运动， PQx 轴， 垂足为 Q， 点 A 满足 = 1 2 （1）求点

8、 A 的轨迹 E 的方程； （2）过点（0，3 2）的直线 l 与曲线 E 交于 M，N 两点，记OMN 的面积为 S，求 S 的最 大值 20 （12 分）2014 年 7 月 18 日 15 时，超强台风“威马逊”登陆海南省据统计，本次台风 造成全省直接经济损失 119.52 亿元， 适逢暑假， 小明调查住在自己小区的 50 户居民由于 台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图： 经济损失 4000 元以 下 经济损失 4000 元以 上 合计 捐款超过 500 元 30 捐款低于 500 元 6 第 4 页（共 21 页） 合计 （1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查

9、的 50 户居民捐款情况如 上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额是否多 于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ （2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两 人进行维修，李师傅每天早上在 7：00 到 8：00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天 早上在 7：30 到 8：30 分之间的任意时刻来到小区，求连续 3 天内，李师傅比张师傅早 到小区的天数的分布列和数学期望 附：临界值表 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P（K2 k0） 0.15

10、 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 21 （12 分）设函数 f（x）（1+e 2）ex+kx1， （其中 x（0，+） ） ，且函数 f（x）在 x 2 处的切线与直线（e2+2）xy0 平行 （1）求 k 的值； （2）若函数 g（x）xlnx，求证：f（x）g（x）恒成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐 标原点为极

11、点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； 第 5 页（共 21 页） （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 的值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|xa2|+|x2a+3|，g（x）x2+ax+3 （1）当 a1 时，解关于 x 的不等式 f（x）6； （2）若对任意 x1R，都存在 x2R，使得不等式 f（x1）g（x2）成立，求实数 a 的取 值范围 第 6 页（共 21 页） 2020 年高考数学（理科）全

12、国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，3，B2，3，则（ ） AAB BAB CAB DBA 【解答】解：因为 A1，2，3，B2，3， 显然，AB 且 BA， 根据集合交集的定义得，AB2，3A， 所以，AB， 故选：D 2 （5 分）已知复数 Z 满足 Z（1+i）2+i（i 为虚数单位） ，则复数 Z 的虚部为（ ） A 1 2 B1 2 C 1 2 D1 2 【解答】解：由 Z（1+i）2+

13、i， 得 Z= 2+ 1+ = (2+)(1) (1+)(1) = 3 1+1 = 3 2 1 2i， 所以 Z 的虚部为 1 2 故选：A 3 （5 分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为 n 的样本，并将得到的数据分成10，20） ，20，30） ，30，40） ，40，50四组，绘制成 如图所示的频率分布直方图，其中支出在40，50的同学有 24 人，则 n（ ） A80 B60 C100 D50 【解答】解：本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力 由频率分布直方图可得，支出在40，50的频率为 1（0.01+0.024+0.036）100.3 第

14、7 页（共 21 页） 根据题意得24 = 0.3，解得 n80 故选：A 4 （5 分）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、 牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）的一种，现有十二生肖的吉祥物各一 个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛、马和羊，乙同学喜欢牛、 兔、 狗和羊， 丙同学哪个吉祥物都喜欢， 则让三位同学选取的礼物都满意的概率是 （ ） A 1 66 B 1 55 C 5 66 D 5 11 【解答】解：根据题意，分 3 种情况讨论： 如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选，

15、此时的选法有3 1 10 1 =30 种； 如果同学甲选羊，那么同学乙只能选兔、狗和牛中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种中 任意选，此时的选法有3 1 10 1 =30 种； 如果同学甲选马，那么同学乙能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的 10 种 中任意选，此时的选法有4 1 10 1 =40 种 则不同的选法共有 30+30+40100 种， 而总数有：12 3 =121110 种 故让三位同学选取的礼物都满意的概率是：P= 100 121110 = 5 66 故选：C 5 （5 分）已知抛物线 y24x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A，B 两点，过 A

16、作 抛物线准线的垂线，垂足为 M，MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点 P，线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，则|PQ|（ ） A2 B4 C6 D8 【解答】解：由题意，抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 画出图形，可知 PFAB，AMAF，设 AB：yk（x1）与抛物线方程联立，可得可得 k2x2（2k2+4）x+k20，所以 x1+x2= 22+4 2 ，x1x21， 线段 AB 的中点为 Q若|AB|8，x1+x2+p8，即2 2:4 2 +28，解得 k1，所以中点 Q 的横坐标： 2:2 2 =3，Q（3，2） ， PF：yx+1，与 x1 的解得 P（1，2） ，

17、 第 8 页（共 21 页） 所以 PQ4 故选：B 6 （5 分）长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，E 为棱 AA1的中点，则直线 C1E 与平面 CB1D1所成角的余弦值为（ ） A 6 9 B53 9 C 5 3 D2 3 【解答】解：以 A 为坐标原点，AD，AB，AA1分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 则 C（1，1，0） ，B1（0，1，2） ，D1（1，0，2） ，C1（1，1，2） ，E（0，0，1） ， 设平面 CB1D1的法向量为 = (，)，1 = (1，0，2)，1 = (0， 1，2)， 由 1 = + 2 = 0 1 =

18、 + 2 = 0 ，可取 = (2，2，1)， 设直线 C1E 与平面 CB1D1所成角为 ，又1 = (1， 1， 1)，则 = 1 ， = |221| 4+4+13 = 53 9 ， 故 = 6 9 ，即直线 C1E 与平面 CB1D1所成角的余弦值为 6 9 故选：A 第 9 页（共 21 页） 7 （5 分）已知 x，y 满足约束条件 2 0 + 1 0 + 1 0 ，则 z2x+y 的最小值为（ ） A4 B2 C1 D1 3 【解答】解：先根据 x，y 满足线性约束条件 2 0 + 1 0 + 1 0 画出可行域， 平移直线 02x+y，当直线 z2x+y 过点 B（0，1）时，z

19、 取最小值为 1 故选：C 8 （5 分）若函数 yf（x） ，yg（x）定义域为 R，且都不恒为零，则（ ） A若 yf（g（x） ）为周期函数，则 yg（x）为周期函数 B若 yf（g（x） ）为偶函数，则 yg（x）为偶函数 C若 yf（x） ，yg（x）均为单调递增函数，则 yf（x） g（x）为单调递增函数 第 10 页（共 21 页） D若 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 yf（g（x） ）为奇函数 【解答】解：令 f（x）sinx，g（x）2x，函数 sin2x 是周期函数，但 yg（x）不是周 期函数，故 A 错误； 令 f（x）x2+1，g（x）2x，则 f（g（x）

20、 ）4x2+1 为偶函数，但 yg（x）不是偶函 数，故 B 错误； 令 f（x）x，g（x）x3，yf（x） ，yg（x）均为 R 上的单调递增函数，但 yf（x） g（x）x4在 R 上不单调，故 C 错误； 由 yf（x） ，yg（x）均为奇函数，则 f（x）f（x） ，g（x）g（x） ，且两 函数定义域均关于原点对称， 则 f（g（x） ）f（g（x） ）f（g（x） ） ，且定义域关于原点对称，函数 yf（g（x） ） 为奇函数，故 D 正确 故选：D 9 （5 分）已知 a= 3 1 2， = 23， = 32，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bacb Cbac D

21、cba 【解答】 解： 3 1 230= 1， 1 2 = 222322 = 1， 3233 = 1 2， abc 故选：A 10 （5 分）首项为 2，公比为 3 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则（ ） A3an2Sn2 B3an2Sn+2 Can2Sn2 Dan3Sn4 【解答】解：因为 a12，q3， 所以 Sn= 1 1 = 23 13 ， 所以 3an2Sn+2， 故选：B 11（5分） ABC的内角A、 B、 C的对边分别为a， b， c， 且ab， 则(;) ; = （ ） A1 B2 C1 D2 【解答】解：ab，可得：sinAsinB，sin2Asin2B， (;)

22、; = (+)() 22 第 11 页（共 21 页） = (+)() 22 = 1 2(22) 22 = 22 2(22) = 22 2(12 2 12 2 ) = 22 22 1 故选：A 12 （5 分） 已知函数 f （x） 为 R 上的奇函数， 当 x0 时， f （x） = 1 2 （|x+cos|+|x+2cos|+3cos） （） ，若对任意实数 xR，都有 f（x3）f（x）恒成立，则实数 a 的取值范 围是（ ） A5 6 ， B， 2 3 C 5 6 ，5 6 D 2 3 ， 2 3 【解答】解：当 x0 时，f（x）= 1 2（|x+cos|+|x+2cos|+3cos

23、） （） ， 当 0xcos 时，f（x）= 1 2（xcosx2cos+3cos）x； 当cosx2cos 时，f（x）= 1 2（x+cosx2cos+3cos）cos； 当 x2cos 时，f（x）= 1 2（x+cos+x+2cos+3cos）x+3cos 由于函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，xR，f（x3）f（x） ， 6cos3， cos 1 2， 解得 2 3 ，2 3 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 =（1，3） ， = 5，则 在 方向上的投影为 5 2 【解答】解： =（1

24、，3） ，则| |= (1)2+(3)2=2， 又 = 5， 第 12 页（共 21 页） 所以 在 方向上的投影为 | |cos= | |= 5 2 = 5 2 故答案为： 5 2 14 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点和点 P（3a，b）为某个等 腰三角形的三个顶点，则曲线 C 的离心率为 4 【解答】解：设 F1（c，0） ，F2（c，0） ，显然 PF1PF2 若|F1F2|PF2|，则（3ac）2+b24c2， 得 4a23acc20，即 e2+3e40，解得 e1，4（1，+）舍 若|F1F2|PF1|， 则（3a+c）2+b24c2，即 4a2+

25、3acc20，即 e23e40，得 e4，1， 因为 e（1，+） ， 所以 e4 故答案为：4 15 （5 分）函数 y3cos（2x 3） ，xR 的减区间为 + 6 ， + 2 3 ( ) ，对称 中心为 ( 2 + 5 12 ，0)( ) 【解答】解：余弦函数的减区间为： 2k，2k+（kz） 函数 y3cos（2x 3） ，xR 减区间满足 2x 32k，2k+（kz） 解得：xk+ 6，k+ 2 3 （kz） 余弦函数的对称中心为： （k+ 2，0） 函数 y3cos（2x 3） ，xR 减区间满足 2x 3 =k+ 2 对称中心为： （ 2 + 5 12，0） 第 13 页（共

26、21 页） 故答案为：k+ 6，k+ 2 3 （kz） （ 2 + 5 12，0） （kz） 16（5 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面 体的外接球的体积为 86 【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 的正三棱锥 OACD，如图， 取 CD 中点 E，连结 AE，作 OF平面 ABC，交 AE 于 F，则 F 是ACD 的重心， 由题意知 AE= 16 4 =23，AF= 2 3 = 43 3 ，OF=(22

27、)2 (4 3 3 )2= 26 3 ， 设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R，则 G 在直线 OF 上， 且 OGAGR， 由 AG2AF2+GF2，得： R2（43 3 ）2+（ 26 3 R）2，解得 R= 6， 以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面体的外接球表面积为 V= 4 3R 386 故答案为：86 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）数列an的前 n 项和记为 Sn，a19，an+12Sn+9，nN*，b11，bn+1bn log3an 第 14 页（共 21 页） （1）求an的通项公式

28、； （2）求证：对 nN*，总有1 1 1 + 1 2 + + 1 2 【解答】解： （1）由 an+12Sn+9可得 an2Sn1+9（n2） ， 两式相减得 an+1an2an，an+13an， 又 a22S1+927，a23a1 故an是首项为 9，公比为 3 的等比数列，= 3:1， （2）:1 = 33:1= + 1 当 n2 时，= ( ;1) + (;1 ;2) + + (2 1) + 1= + + (2 1) + 1 = (1+) 2 又 n1 符合上式，= (1+) 2 ， 1 = 2 (:1) ， 则 1 1 + 1 2 + + 1 = 2(1 1 2 + 1 2 1 3

29、+ + 1 1 :1) = 2(1 1 :1)， 2(1 1 +1)2，2(1 1 +1) 2(1 1 2) = 1， 1 1 1 + 1 2 + + 1 2 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，BAD90，AD 2BC，M 为 PD 的中点 （）证明：CM平面 PAB； （）若PBD 是等边三角形，求二面角 APBM 的余弦值 【解答】解： （）证明：如图，取 AD 中点 N，连结 MN，CN， M 为 PD 的中点，MNAP， AD2BC，ANBC， BCAD，四边形 ABCN 是平行四边形，ABCN， CNNMN，BAAPA，平面 CMN平面 P

30、AB， 第 15 页（共 21 页） CM平面 MNC，CM平面 PAB （）解：以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， PBD 为等边三角形，ABADAP， 设 AB2，则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，D（0，2，0） ， =（2，2，0） ， =（2，0，2） ， 设平面 BDP 的法向理 =（x，y，z） ， 则 = 2 + 2 = 0 = 2 + 2 = 0 ，令 z1，得 =（1，1，1） ， AD平面 PAB，平面 PAB 的法向量 =（0，1，0） ， cos= | | | |= 1 31 = 3 3 二面角 APB

31、M 的余弦值为 3 3 19（12 分） 已知点 P 在圆 O： x2+y24 上运动， PQx 轴， 垂足为 Q， 点 A 满足 = 1 2 （1）求点 A 的轨迹 E 的方程； （2）过点（0，3 2）的直线 l 与曲线 E 交于 M，N 两点，记OMN 的面积为 S，求 S 的最 大值 【解答】解： （1）设点 A（x，y） ，P（x0，y0） ， 由 PQx 轴，Q 为垂足，点 A 满足 = 1 2 ， 可知 A 为 PQ 的中点，则0 = 0= 2， 又由点 P 在圆 O：x2+y24 上，可得02+ 02= 4， 将0 = 0= 2代入上式，得 x 2+4y24，即2 4 + 2=

32、 1， 点 A（x，y）的轨迹方程为 2 4 + 2= 1； 第 16 页（共 21 页） （2）由题意可知，直线 l 的斜率存在，设直线方程为 ykx+ 3 2 联立 = + 3 2 2+ 42 4 = 0 ，得（1+4k2）x2+12kx+50 由144k220（1+4k2）0，解得 k 5 4 或 k 5 4 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则1+ 2= 12 1+42，12 = 5 1+42 |MN|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 1 + 2 ( 12 1+42) 2 20 1+42 = 21+21625 1+42 原点 O 到直线的距离 d= 3 21+2 =

33、1 2 21+21625 1+42 3 21+2 = 3 2 1625 42+1 令 t4k2+1，由 k2 5 16，得 t 9 4，则 0 1 4 9 则= 3 2 49 = 3 2 9 2 + 4 ，当 1 = 2 9，即 k 14 4 时，S 取最大值 1 20 （12 分）2014 年 7 月 18 日 15 时，超强台风“威马逊”登陆海南省据统计，本次台风 造成全省直接经济损失 119.52 亿元， 适逢暑假， 小明调查住在自己小区的 50 户居民由于 台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图： 经济损失 4000 元以 下 经济损失 4000 元以 上 合计 捐款超过 500

34、元 30 捐款低于 500 元 6 合计 第 17 页（共 21 页） （1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的 50 户居民捐款情况如 上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有 95%以上的把握认为捐款数额是否多 于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关？ （2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两 人进行维修，李师傅每天早上在 7：00 到 8：00 之间的任意时刻来到小区，张师傅每天 早上在 7：30 到 8：30 分之间的任意时刻来到小区，求连续 3 天内，李师傅比张师傅早 到小区的天数的分布列和数学期望 附：

35、临界值表 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P（K2 k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 参考公式：2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 【解答】解： （1）根据频率分布直方图，计算经济损失 4000 元以下的人数为 50 （0.00015+0.00020）200035（人） ， 则经济损失 4000 元以上的有 15 人，填写列联表如下； 经济损失 4000 元以下 经济损失 4000 元以上 合计 捐款超过 500 元 30 9 39 捐款低于 500 元 5 6

36、 11 合计 35 15 50 计算 K2= 50(30695)2 39113515 4.0463.841， 所以有 95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否到 4000 第 18 页（共 21 页） 元有关； （2）设李师傅、张师傅到小区的时间分别为 x，y，则（x，y）可以看成平面中的点， 试验的全部结果所构成的区域为（x，y）|7x8，7.5y8.5，且区域面积为 1； 李师傅比张师傅早到小区所构成的区域为（x，y）|yx，7x8，7.5y8.5，对应 面积为 1 1 2 1 2 1 2 = 7 8， 所以对应的概率为7 8； 所以连续 3 天内，李师傅比

37、张师傅早到小区的天数 XB（3，7 8） ， 则 P（X0）= 3 0(1 7 8) 3 = 1 512， P（X1）= 3 17 8(1 7 8) 2 = 21 512， P（X2）= 3 2(7 8) 2 （17 8）= 147 512， P（X3）= 3 3(7 8) 3 = 343 512； 所以随机变量 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 512 21 512 147 512 343 512 数学期望为 E（X）np3 7 8 = 21 8 21 （12 分）设函数 f（x）（1+e 2）ex+kx1， （其中 x（0，+） ） ，且函数 f（x）在 x 2 处的切线与直线

38、（e2+2）xy0 平行 （1）求 k 的值； （2）若函数 g（x）xlnx，求证：f（x）g（x）恒成立 【解答】解： （1）f（x）（1+e 2）ex+kx1，x（0，+） ， 第 19 页（共 21 页） f（x）（1+e 2）ex+k，x（0，+） ， 函数 f（x）在 x2 处的切线与直线（e2+2）xy0 平行， f（2）e2+1+ke2+2，解得 k1 （2）由（1）得 f（x）（1+e 2）ex+x1， 设 F（x）f（x）g（x）（1+e 2）ex+x+xlnx1，原问题转化为证明函数 F（x） 0 恒成立， F（x）（1+e 2）ex+lnx+2，x0， 令 h（x）F（

39、x）（1+e 2）ex+lnx+2，则 h（x）（1+e2）ex+1 0 在（0，+） 上恒成立， h（x）在（0，+）上单调递增 h（e 4）（1+e4）40；当 x0 时，h（x）， x0（0，e 4） ，使得 h（x 0）0 即(1 + ;2)0+ 0+ 2 = 0， 当 x（0，x0）时，h（x）0，即 F（x）0，函数 F（x）单调递减； 当 x（x0，+）时，h（x）0，即 F（x）0，函数 F（x）单调递增； F（x）minF（x0）= (1 + ;2)0+ 0+ 00 1 =x0+x0lnx0lnx03， 令 t（x0）x0+x0lnx0lnx03，x0（0，e 4） ，则(

40、0) = 0 1 0 + 2， ylnx 和 y= 1 在（0，e 4）上均为增函数， t（x0）在（0，e 4）上单调递增， 又 t（e 4）e40， t（x0）t（e 4）0，即 t（x 0）在（0，e 4）上单调递减， t（x0）t（e 4）e4+e4lne4lne4313 4 0， 故 f（x）g（x）恒成立 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，以坐 标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2 （1）若 a2，求曲线 C 与 l 的交点坐标； （2） 过曲线C上任意一点P作与l夹角为45的直线， 交l于点A， 且|PA|的最大值10， 求a 的值 第 20 页（共 21 页） 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程为2= 12 3+2，整理得 3 2+2sin212，转换 为直角坐标方程为 2 4 + 2 3 = 1 当 a2 时，直线 l 的参数方程为 = + 2 = （t 为参数） ，整理