2021年新高考数学模拟试卷（36）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（36） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x29，Bx|2x4，则 A（RB）等于（ ） Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样本，则从中

2、年人中应抽取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 4 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 5 （5 分）ABC 是边长为 4 的等边三角形， = 1 3 ，则 =（ ） A2 B10 C12 D14 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 7 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 8 （5 分）设双曲线 2 2

3、 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） 第 2 页（共 18 页） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）我国已成为名副其实的工业大国据统计， 在 500 多种主要工业品中，我国有 220 多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快 推进工业节能与绿色发

4、展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进 工业节能与绿色发展的通知 ，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展如表 是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表： 年号 1 2 3 4 5 年生产利润 y（单位：千 万元） 0.7 0.8 1 1.1 1.4 则下列说法正确的是（ ） （参考公式及数据： ： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ； = ， 5 1（xi） （yi）1.7， 5 1 2 n2=10） A这五年生产利润的方差为 0.06 B每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元 C预测 2020 年该国企的年生产

5、利润为 1.68 千万元 D要使年生产利润突破 2 千万元，至少要等到 2022 年 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B已知 2cos+3cos = 5，2sin+3sin23，则 cos（）= 1 3 C “a3b3“是“ac2bc2“的充要条件 D若二项式（x 1 ） 6（a0）的展开式中的常数项为15 16，则 a2 11 （5 分）将正方形 ABCD 沿对角线 BD 对折，使得平面 ABD平面 BCD，则（ ） AACBD BADC 为等边三角形 CAB 与 CD 所成角为 60 DAB 与平面 BCD 所成角为 60 第 3

6、页（共 18 页） 12 （5 分）关于函数() = 22 (2 + 2) 1的描述正确的是（ ） A其图象可由 = 22的图象向左平移 8个单位得到 Bf（x）在(0， 2)单调递增 Cf（x）在0，有 2 个零点 Df（x）在 2 ，0的最小值为2 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若() + 2(1 ) = 2 + 1 对任意非零实数 x 恒成立，则曲线 yf（x）在点（1， f（1） ）处的切线方程为 14 （5 分）已知 a0，b0，2a+b4，则 3 的最小值为 15 （5 分）已知圆 C：x2+y24x4

7、y+40，抛物线 E：y22px（p0）过点 C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线截得的弦长等于 16 （5 分）已知ABC 是边长为 4 的正三角形，点 D 是 AC 的中点，沿 BD 将 ABCD 折起 使得二面角 ABDC 为 2，则三棱锥 CABD 外接球的体积为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，bcosC 与 ccosB 的等差中项 为 acosB （1）求 B； （2）若 a+c6，ABC 的面积 S= 3，求边 b 18 （12 分）等差数列an的公差为 2，若 a2

8、，a4，a8成等比数列 （1）求an的通项公式； （2）设 Sn是数列an的前 n 项和，求数列 1 的前 n 项和 Tn 19 （12 分）已知梯形 ABCD 中，BCAD，AD4，BCCD2，E 为 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起，使得 ABCE （1）证明：AEAC； （2）若梯形 ABCD 中，ADC= 3，折起后ABD= 3，点 A 在平面 BCDE 上的射影点 H 为线段 BD 上的一个点，求二面角 BADC 的余弦值 第 4 页（共 18 页） 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，

9、若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 21 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0）为奇函数，且在 x1 处取得极值 （1）求 f（x）的单调区间； （2）当 a1 时，f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的 x0，+）恒成立，求实 数 m 的取值范围 22 （12 分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10 月 15 日，第 五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕在此次全国总决赛中，高教 主赛道共评选出 60 个金奖项目（含 5 个港澳台金奖项目） ， “青年红色筑梦之旅”赛道、 职教赛道和国际赛道各评

10、选出 15 个金奖项目某公司迅速引进其中的两个项目，在甲， 乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司 在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为 t根 据国家规定， 综合质量指标值 t90 为优等品； 80t90 为合格品； t80 为不合格品 甲 车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图 （1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值 t 的关系式为 P（t）0.5t，若优等品 的出售价格为 100 元，合格品的出售价格为 80 元，不合格品需要全部销毁，每件产品的 销毁费用为 20 元，将每件产品的利润用综合质量指标值

11、 t 的函数 Q（t）来表示； （2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为 p，每年可获得利润700 3 万元；乙 车间每条生产线成功生 第 5 页（共 18 页） 产产品的概率为1 2 （ep1） ， 每年可获得利润 300 万元， 记每年两个车间的利润之和为 X， 则当 p 为何值时，X 的期望最大？ 第 6 页（共 18 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（36） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知全集 UR，Ax|x29，Bx|2x4，则 A

12、（RB）等于（ ） Ax|3x2 Bx|3x4 Cx|2x3 Dx|3x2 【解答】解：因为：全集 UR，Ax|x29，Bx|2x4， Ax|3x3；RBx|x4 或 x2 则 A（RB）x|3x2| 故选：D 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 【解答】解：z+2iR，设 z+2iaR， 则 za2i， 则 z =a2i（a+2i）4i 故选：C 3 （5 分）已知某团队有老年人 28 人，中年人 56 人，青年人 84 人，若按老年人，中年人， 青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 12 的样本，则从中年人中应抽

13、取（ ） A2 人 B4 人 C5 人 D3 人 【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取 12 56 28+56+84 =4 人 故选：B 4 （5 分）已知 5 件产品中有 2 件次品，其余 3 件为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件， 至少有一件次品的概率为（ ） A0.4 B0.6 C0.7 D0.8 【解答】解：记 5 件产品的编号分别为 1，2，3，a，b，其中 1，2，3 为合格品， 从 5 件产品中选 2 件的事件的结果有 12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab 共 10 种， 满足条件的基本事件有 1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab 共 7 种，

14、故所求的概率为 = 7 10 = 0.7 故选：C 第 7 页（共 18 页） 5 （5 分）ABC 是边长为 4 的等边三角形， = 1 3 ，则 =（ ） A2 B10 C12 D14 【解答】解：如图所示， ABC 是边长为 4 的等边三角形， = 1 3 ， 所以 = 3 4 = 3 4（ ） ， 所以 =（ + ） = 2 + 3 4（ ） 16+ 3 4 3 4 2 16+ 3 4 44cos60 3 4 16 10 故选：B 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 【解答】解：

15、c= 2 3 42，a= 3 1839 = 2， = 4 244162， 又 a= 3 18 = 1 + 3 6， = 424 = 1 + 4 6， 46 = 1 64，36 = 1 63且 log64log630， 1 64 1 63， log424log318， cba 故选：D 7 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B 第 8 页（共 18 页） C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A

16、8 （5 分）设双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左焦点 F（2，0） ，圆 x2+y2c2与双曲 线的一条渐近线交于点 A，直线 AF 交另一条渐近线于点 B，若 = 1 2 ，则双曲线的 方程为（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2 6 = 1 C 2 6 2 2 = 1 D2 2 3 = 1 【解答】解：由题意，y= x 与 x 2+y2c2 联立，可得 A（a，b） ， AF 的斜率为 :， = 1 2 ， B 为线段 FA 的中点， OBAF， : （ ）1，即 b 2a2+2a， 结合 b2c2a24a2， 解得 a1，b= 3， 则双曲线的方程为 x2 2 3 =1

17、， 故选：D 第 9 页（共 18 页） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）我国已成为名副其实的工业大国据统计， 在 500 多种主要工业品中，我国有 220 多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源为加快 推进工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了关于加快推进 工业节能与绿色发展的通知 ，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展如表 是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表： 年号 1 2 3 4 5 年生产利润 y（单位：千 万元） 0.7

18、0.8 1 1.1 1.4 则下列说法正确的是（ ） （参考公式及数据： ： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ； = ， 5 1（xi） （yi）1.7， 5 1 2 n2=10） A这五年生产利润的方差为 0.06 B每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元 C预测 2020 年该国企的年生产利润为 1.68 千万元 D要使年生产利润突破 2 千万元，至少要等到 2022 年 【解答】 解： 由表中数据， 计算 = 1 5 （1+2+3+4+5） 3， = 1 5 （0.7+0.8+1+1.1+1.4） 1， s2= 1 5 （0.3）2+（0.2）2+02

19、+0.12+0.420.06，所以 A 正确； 计算 = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 = 1.7 10 =0.17， 所以每年的年生产利润比前一年大约增长 0.49 千万元，B 正确； 计算 = =10.1730.49， 第 10 页（共 18 页） y 关于 x 的线性回归方程为 =0.17x+0.49； 题目中具体年份没有说明，所以 C、D 选项无法确定正误 故选：AB 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B已知 2cos+3cos = 5，2sin+3sin23，则 cos（）= 1 3 C “a3b3“是“a

20、c2bc2“的充要条件 D若二项式（x 1 ） 6（a0）的展开式中的常数项为15 16，则 a2 【解答】解：A 错，命题 p：x0，2xx2的否定为x0，2xx2 B 对，由 2cos+3sin= 5，2sin+3cos23，两式平方相加得 cos（）= 1 3； C 错，当 c0 时， “a3b3“不是“ac2bc2“的充分条件； D 对，由通项公式计算可得常数项是第 5 项，即 C 6 4（1 ） 4=15 16，又 a0，则 a2 故选：BD 11 （5 分）将正方形 ABCD 沿对角线 BD 对折，使得平面 ABD平面 BCD，则（ ） AACBD BADC 为等边三角形 CAB

21、与 CD 所成角为 60 DAB 与平面 BCD 所成角为 60 【解答】解：将正方形 ABCD 沿对角线 BD 对折，使得平面 ABD平面 BCD， 构建棱长均为 a 的正四棱锥 CABED， 由正四棱锥的性质知： 在 A 中，连结 AE、BD，交于点 O，连结 CO， 则 AEBD，COBD，AEBDO，BD平面 AEC， AC平面 ACE，ACBD，故 A 正确； 在 B 中，ADC 是等边三角形，故 B 正确； 在 C 中，ABDE，DEC 是等边三角形，AB 与 CD 所成角为 60，故 C 正确； 在 D 中，AB 与平面 BCD 所成角为ABO45，故 D 错误 故选：ABC 第

22、 11 页（共 18 页） 12 （5 分）关于函数() = 22 (2 + 2) 1的描述正确的是（ ） A其图象可由 = 22的图象向左平移 8个单位得到 Bf（x）在(0， 2)单调递增 Cf（x）在0，有 2 个零点 Df（x）在 2 ，0的最小值为2 【解答】解：() = 22 (2 + 2) 1 =cos2x+sin2x= 2sin（2x+ 4） ， A. = 22的图象向左平移 8个单位得到，y= 2sin2（x+ 8）= 2sin（2x+ 4） ，故 A 正确， B当 0x 2，则 02x， 4 2x+ 4 5 4 ，此时函数 f（x）不单调，故 B 错误， C由 2x+ 4

23、=k，得 x= 2 8， 当 k0 时，x= 8，当 x1 时，x= 3 8 ，当 x2 时，x= 7 8 ，当 x3 时，x= 11 8 ，即 f （x）在0，有 2 个零点，3 8 ，7 8 ，故 C 正确， D 2 x0，则2x0， 3 4 2x+ 4 4，则当 2x+ 4 = 2时，函数 f（x）取 得最小值，最小值为 y= 2sin（ 2）= 2，故 D 正确 故选：ACD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若() + 2(1 ) = 2 + 1 对任意非零实数 x 恒成立，则曲线 yf（x）在点（1， f（

24、1） ）处的切线方程为 x+y20 第 12 页（共 18 页） 【解答】解：() + 2(1 ) = 2 + 1 (1 ) + 2() = 2 + 联立，消去 f（1 ）得 f（x）= 1 () = 1 2，f（1）1，f（1）1 故切线方程为 y1（x1） ，即 x+y20 故答案为：x+y20 14 （5 分）已知 a0，b0，2a+b4，则 3 的最小值为 3 2 【解答】解：a0，b0，2a+b4， 由基本不等式可得，4 22， ab2，当且仅当 b2a 即 b2，a1 时取等号 则 3 的最小值为 3 2 故答案为：3 2 15 （5 分）已知圆 C：x2+y24x4y+40，抛物

25、线 E：y22px（p0）过点 C，其焦点为 F，则直线 CF 被抛物线截得的弦长等于 25 8 【解答】解：圆 C 的标准方程为（x2）2+（y2）24，圆心 C 为（2，2） ，半径为 2， 抛物线 E：y22px 过点 C，222p2，解得 p1， 抛物线的方程为 y22x，焦点 F 的坐标为(1 2，0)， 由 C（2，2） ，F(1 2，0)可知，直线 CF 的方程为 = 4 3 ( 1 2)， 联立 = 4 3 ( 1 2) 2= 2 得 8x217x+20，解得1= 2，2= 1 8， 由抛物线的定义可知，所求的弦长为1+ 2+ = 2 + 1 8 + 1 = 25 8 ， 故答

26、案为：25 8 16 （5 分）已知ABC 是边长为 4 的正三角形，点 D 是 AC 的中点，沿 BD 将 ABCD 折起 使得二面角 ABDC 为 2，则三棱锥 CABD 外接球的体积为 205 3 【解答】解：由题意折起的二面角 ABDC 为 2，放在长方体中，由正三角形边长为 4 第 13 页（共 18 页） 可得， D 为 AC 的中点可得，ADDC2，BD23， 长方体中同一个顶点的三条棱长分别为 2，2，23， 又由于长方体的对角线为外接球的直径 2R， 所以 2R= 4 + 4 + 12 =25， 所以 R= 5， 所以外接球的体积 V= 43 3 = 4 3 (5)3= 20

27、5 3 ， 故答案为：205 3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，bcosC 与 ccosB 的等差中项 为 acosB （1）求 B； （2）若 a+c6，ABC 的面积 S= 3，求边 b 【解答】解： （1）由题意可得，bcosC+ccosB2acosB， 由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB2sinAcosB，即 sin（B+C）sinA2sinAcosB， 所以 cosB= 1 2， 所以 B= 1 3； （2）又 S= 3 4 = 3， 所以 ac4， 由余弦

28、定理可得，1 2 = 2:2;2 2 = 36;2;2 2 ， 解可得，b26 18 （12 分）等差数列an的公差为 2，若 a2，a4，a8成等比数列 （1）求an的通项公式； 第 14 页（共 18 页） （2）设 Sn是数列an的前 n 项和，求数列 1 的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设等差数列an的首项为 a1， 由题意得 a42a2a8，即（a1+6）2（a1+2） （ a1+14） ，解得 a12 an的通项公式 an2n； （2）由（1）得 Sn= 1 2（a1+an）n（n+1） ， 1 = 1 (:1) = 1 1 :1 于是 Tn（1 1 2）+（ 1 2 1

29、 3）+（ 1 3 1 4）+（ 1 1 :1） 1 1 +1 = +1 19 （12 分）已知梯形 ABCD 中，BCAD，AD4，BCCD2，E 为 AD 的中点，沿 BE 将ABE 折起，使得 ABCE （1）证明：AEAC； （2）若梯形 ABCD 中，ADC= 3，折起后ABD= 3，点 A 在平面 BCDE 上的射影点 H 为线段 BD 上的一个点，求二面角 BADC 的余弦值 【解答】 （1）证明：梯形 ABCD 中，BCAD，AD4，BCCD2，E 为 AD 的中点， 四边形 BCDE 是菱形，BDCE， 沿 BE 将ABE 折起，使得 ABCE又 BDABB， CE平面 AB

30、D， 设 BDCEO，连接 AO，则 O 是 CE 中点， AO平面 ABD，AOCE， AEAC （2）解：梯形 ABCD 中，ADC= 3， CDE 为等边三角形， 四边形 ABCE 是菱形 第 15 页（共 18 页） AEABBCCDDEBEEC2 折起后ABD= 3，BH= 1 2AB1 过点 H 作 HMOC，交 BC 于点 M HB、HM、HA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 H（0，0，0） ，B（1，0，0） ，A（0，0，3） ，C（13，1，0） ，D（123，0，0） ， =（123，0，3） ， =（13，1，3） ， 设平面 ADC 的法向量为 =（x，y，

31、z） ，则 = =0，（123）x3z 0， （13）x+y3z0， 取 =（3，3，123） 取平面 ABD 的法向量为 =（0，1，0） cos ， = 3 3+9+(123)2 = 3 2543 二面角 BADC 的平面角为锐角， 二面角 BADC 的余弦值为 3 25;43 20 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)过点 M（1，1）离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形 ABCD 内接于椭圆，求菱形 ABCD 面积的最小值 第 16 页（共 18 页） 【解答】解： （1）由题意， 1 2 + 1 2 = 1 = 2 2 2= 2+ 2 ，解得2=

32、 3，2= 3 2 椭圆的方程为 2 3 + 22 3 = 1； （2）菱形 ABCD 内接于椭圆， 由对称性可设直线 AC：yk1x，直线 BD：yk2x 联立 2 + 22= 3 = 1 ，得方程（212+ 1）x230， 2= 2= 3 212+1， |OA|OC|=1 + 12 3 212+1 同理，|OB|OD|=1 + 22 3 222+1 又ACBD，|OB|OD|=1 + 1 12 3 2 12+1 ，其中 k10 从而菱形 ABCD 的面积 S 为： S2|OA|OB|21 + 12 3 212+11 + 1 12 3 2 12+1 ， 整理得 S6 1 2+ 1 (1+ 1

33、 1) 2 4，其中 k10 当且仅当 1 1 = 1时取“” ， 当 k11 或 k11 时，菱形 ABCD 的面积最小，该最小值为 4 21 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx2+cx+d（a0）为奇函数，且在 x1 处取得极值 （1）求 f（x）的单调区间； （2）当 a1 时，f（x）+（m+2）xx2（ex1）对于任意的 x0，+）恒成立，求实 数 m 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）ax3+bx2+cx+d 为奇函数，bd0； f（x）3ax2+c，f（x）在 x1 处取得极值，f（1）3a+c0，c3a； f（x）3a（x21） ， 第 17 页（共 18 页）

34、a0 时，f（x）在（，1）递增， （1，1）递减， （1，+）递增 （2）当 a1 时，f（x）+（m+2）xx2（ex1） ； x33x+（m+2）xx2（ex1） ；（m+2）xx2（ex1）x3+3x； 当 x0 时，mR； 当 x0 时，m+2xexxx2+3mx（exx1）+1， 设 h（x）exx1，x0，h（x）ex10，h（x） 在（0，+）递增， h（x）h（0）0； g（x）x（exx1）+11，从而 m1； 实数 m 的取值范围为（，1 22 （12 分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10 月 15 日，第 五届中国“互联网+”大学生创新创业大

35、赛全国总决赛闭幕在此次全国总决赛中，高教 主赛道共评选出 60 个金奖项目（含 5 个港澳台金奖项目） ， “青年红色筑梦之旅”赛道、 职教赛道和国际赛道各评选出 15 个金奖项目某公司迅速引进其中的两个项目，在甲， 乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司 在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为 t根 据国家规定， 综合质量指标值 t90 为优等品； 80t90 为合格品； t80 为不合格品 甲 车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图 （1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值 t 的关系式为 P（t）0.5

36、t，若优等品 的出售价格为 100 元，合格品的出售价格为 80 元，不合格品需要全部销毁，每件产品的 销毁费用为 20 元，将每件产品的利润用综合质量指标值 t 的函数 Q（t）来表示； （2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为 p，每年可获得利润700 3 万元；乙 车间每条生产线成功生 产产品的概率为1 2 （ep1） ， 每年可获得利润 300 万元， 记每年两个车间的利润之和为 X， 则当 p 为何值时，X 的期望最大？ 第 18 页（共 18 页） 【解答】解： （1）当 75t80 时，Q（t）0.5t20； 当 80t90 时，Q（t）800.5t； 当 90t100

37、时，Q（t）1000.5t () = 0.5 20，75 80 80 0.5，80 90 100 0.5，90 100 （2）随机变量 X 的可能取值为700 3 ，300，1600 3 ，600，2500 3 ， P（X= 700 3 ）= 1 1 2 ( 1)2， P（X300）= (1 ) 2 1 1 2 ( 1) 1 1 2 ( 1)， P（X= 1600 3 ）= 2 1 1 2( 1) 1 1 2 ( 1)， P（X600）= (1 ) 1 2( 1)2， P（X= 2500 3 ）= 1 2( 1)2 由 P（X= 700 3 ）+P（X300）+P（X= 1600 3 ）+P（X600）+P（X= 2500 3 ）1，化简 整理后得 ep14p 数学期望 E（X）= 700 3 1 1 2( 1)2+300 (1 ) 2 1 1 2 ( 1) 1 1 2( 1) + 1600 3 2 1 1 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) +600 (1 ) 1 2 ( 1)2+ 2500 3 1 2 ( 1)2=300（ep1）+ 700 3 p3004p+ 700 3 p= 4300 3 0p1，当 p1 时，E（X）最大，为4300 3 万元