2020年江苏省高考数学模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（4） 一填空题（共一填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，Ba，a2+3若 AB1，则实数 a 的值为 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z= 1 1+ +mi 是实数，则实数 m 的值为 3 （5 分）运行如图所示的伪代码，其结果为 4 （5 分）某人到甲、乙两市各 7 个小区调查空置车位情况，调查得到的小区空置车位的个 数绘成了如图的茎叶图， 设调查中甲市空置车位数的中位数为 a， 乙市空置车位数的中位 数为 b

2、，则 ab 5（5 分） 从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不同的社区活动服务者， 要求男、 女生各 1 人，那么不同的安排有 种（用数字作答） ； 6 （5 分）若双曲线的渐近线方程为 y3x，它的焦距为210，则该双曲线的标准方程 为 7 （5 分）若圆锥的表面积为 27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的 半径为 8 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）f（x+2） ，当 x0，2时，f（x） ex，则 f（7） 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x+） （0）图象的一条对称轴是直线 x= 6，则 f （2）的值为 1

3、0 （5 分）在等比数列an中，a4a532，log2a1+loga2+log2a8 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知三个点 A（2，1） ，B（1，2） ，C（3，1） ， 第 2 页（共 18 页） 点 P（x，y）满足（ ）（ ）1，则 | |2 的最大值为 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：kxy+5k0 与圆 C：x2+y210x0 交于点 A，B，M 为弦 AB 的中点，则点 M 的横坐标的取值范围是 13 （5 分）已知 a，b，c 为锐角ABC 内角 A、B、C 的对边，且满足 c2a2+ab，则 的取 值范围是 14 （5 分）已知函数

4、 f（x）= 1 ( 1)2+ 1 2 1 ( + 1)2+ 1 2 的图象与函数 g（x）kx3+ 1 2的图象有 三个交点 A，B，C，且 + = 0 ，记三个交点的横坐标之和为 a，纵坐标之和为 b， 则 () 1 2 = 二解答题（共二解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 为棱 PD 的中点， PA平面 ABCD （1）求证：PB平面 AEC； （2）若四边形 ABCD 是矩形且 PAAD，求证：AE平面 PCD 16 （14 分）在ABC 中，已知 AC3，cosB= 7 14，A=

5、3 （1）求 AB 的长； （2）求 cos（C 6）的值 17 （14 分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护 气体假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种气体的体积比保护罩的 容积少 0.5 立方米，且每立方米气体费用 1 千元；需支付一定的保险费用，且支付的 保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险费用为 8 千元 第 3 页（共 18 页） （1）求博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 V 之间的函数关系式； （2）求博物馆支付总费用的最小值 18 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1

6、2，左、右焦点分别为 F1， F2，点 D 在椭圆 C 上，DF1F2的周长为 6 （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线 1 经过点 A（2，1） ，且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若|AM|， 1 2|OA|， |AN|（O 为坐标原点）成等比数列，判断直线 1 的斜率是否为定值 19 （16 分）已知函数 f（x）lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y+4 0 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 f（x）的单调区间； （3）若在区间1，4内，恒有 f（x）x2+lnx+kx 成立，求实数 k 的取值范围 20 （16 分）已知无穷数列an的

7、前 n 项中的最大项为 An，最小项为 Bn，设 bnAn+Bn （1）若 an2n1，求数列bn的通项公式； （2）若 an= 21 2 ，求数列bn的前 n 项和 Sn； （3）若数列bn是等差数列，求证：数列an是等差数列 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分）已知 a，b，c，dR，矩阵 = 2 0 的逆矩阵;1= 1 1若曲线 C 在矩 阵 A 对应的变换作用下得到曲线 y2x+1，求曲线 C 的方程 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10

8、 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B 两种套餐的集团用户进行 调查，准备从本市 n（nN*）

9、个 第 4 页（共 18 页） 人数超过 1000人的大集团和 8 个人数低于200 人的小集团中随机抽取若干个集团进行调 查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为 4 15 （1）求 n 的值； （2）若取出的 2 个集团是同一类集团，求全为大集团的概率； （3）若一次抽取 4 个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X 的分布列和期望 24 （10 分）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 22， 求直线 l 的方程 第 5 页（

10、共 18 页） 2020 年江苏省高考数学模拟试卷（年江苏省高考数学模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 14 小题，满分小题，满分 70 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A1，2，Ba，a2+3若 AB1，则实数 a 的值为 1 【解答】解：集合 A1，2，Ba，a2+3AB1， a1 或 a2+31， 当 a1 时，A1，2，B1，4，成立； a2+31 无解 综上，a1 故答案为：1 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，若复数 z= 1 1+ +mi 是实数，则实数 m 的值为 【解答】解：复数 z= 1 1+ +mi

11、= 1 (1+)(1) + = 1 2 + ( 1 2)是实数， m 1 2 = 0，即 m= 1 2 故答案为：1 2 3 （5 分）运行如图所示的伪代码，其结果为 19 【解答】解：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知： 该程序的作用是累加并输出 S1+2+6+10 的值， 所以 S1+2+6+1019 故答案为：19 4 （5 分）某人到甲、乙两市各 7 个小区调查空置车位情况，调查得到的小区空置车位的个 数绘成了如图的茎叶图， 设调查中甲市空置车位数的中位数为 a， 乙市空置车位数的中位 数为 b，则 ab 3 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：由茎叶图得

12、甲市空置车位数的中位数 a79， 乙市空置车位数的中位数 b76， ab79763 故答案为：3 5（5 分） 从 3 名男生和 4 名女生中选出 2 人分别担任 2 项不同的社区活动服务者， 要求男、 女生各 1 人，那么不同的安排有 24 种（用数字作答） ； 【解答】解：先选一名男生，有 3 种方法；再选一名女生，由 4 种方法， 根据分步计数原理求得选取男、女生各 1 名，不同的选派方案种数为 3412， 因为担任 2 项不同的社区活动， 所以不同的安排有：12 2 2 =24 故答案为：24 6 （5 分）若双曲线的渐近线方程为 y3x，它的焦距为210，则该双曲线的标准方程为 2

13、2 9 = 1 【解答】解：双曲线的焦距为 210，可得 c= 10，双曲线的焦点坐标在 x 轴上时， 渐近线方程为 y3x，可得 =3，a2+b210，所以 a1，b3， 当双曲线的焦点坐标在 y 轴上时，可得 =3，a2+b210，所以 b1，a3， 所以所求双曲线方程为：2 2 9 = 1 故答案为：2 2 9 = 1 7 （5 分）若圆锥的表面积为 27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面圆的 半径为 3 【解答】解：设圆锥母线长 R，底面圆半径为 r， 侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为 R，半圆弧长为 2r， R2r， 第 7 页（共 18 页） R2r， 表面积是侧面积

14、与底面积的和， S表= 1 2R 2+r2， R2r， S表3r227， 解得 r3， 圆锥的底面半径为 3 故答案为：3 8 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，且满足 f（x）f（x+2） ，当 x0，2时，f（x） ex，则 f（7） e 【解答】解：因为 f（x）f（x+2） ，周期 T2， 当 x0，2时，f（x）ex， f（7）f（1）e 故答案为：e 9 （5 分）已知函数 f（x）sin（2x+） （0）图象的一条对称轴是直线 x= 6，则 f （2）的值为 1 2 【解答】解：函数 f（x）sin（2x+） （0）图象的一条对称轴是直线 x= 6， 所以( 6) =

15、( 3 + ) = 1， 即 3 + = + 2（kZ） ，解得 = + 6（kZ） ，由于 0 故 k0 时，= 6 所以 f（x）sin（2x+ 6） ， 则(2) = ( 3) =sin 5 6 = 1 2 故答案为：1 2 10 （5 分）在等比数列an中，a4a532，log2a1+loga2+log2a8 20 【解答】解：正项等比数列an中， log2a1+log2a2+log2a8 log2a1a8a2a7a3a6a4a5log2（a4a5）4 第 8 页（共 18 页） log232420， 故答案为：20 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知三个点 A（2，1

16、） ，B（1，2） ，C（3，1） ， 点 P（x，y）满足（ ）（ ）1，则 | |2 的最大值为 52 4 【解答】解：依题意，由（ ）（ ）1 得， （2x+y） （x2y）1， 令2 + = 2 = ，解得 = 2+ 5 = 2 5 ，且 mn1， | |2 = 3; 2:2 = : 42+4+2 25 : 24+42 25 = 5(:) 2:2 = 5(:) (:)2;2 = 5(:) (:)2:2， 需要求出 | |2 的最大值，不妨设 m+n0， 则 | |2 = 5 : 2 + 5 22 = 52 4 ，当且仅当 = 6+2 2 = 26 2 或 = 26 2 = 6+2 2

17、时取等号 故答案为：52 4 12 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：kxy+5k0 与圆 C：x2+y210x0 交于点 A，B，M 为弦 AB 的中点，则点 M 的横坐标的取值范围是 （5 2，5 【解答】解：直线 l：kxy+5k0 过定点 P（5，0） ，且 CMMP， 点 M 在以 CP 为直径的圆周上，设 M（x，y） ，则 x2+y225， 联立 2 + 2= 25 2+ 2 10 = 0，解得 x= 5 2 又点 M 在圆 C 内部， 点 M 的横坐标的取值范围是（5 2，5 故答案为： （5 2，5 第 9 页（共 18 页） 13 （5 分）已知 a，b，c

18、 为锐角ABC 内角 A、B、C 的对边，且满足 c2a2+ab，则 的取 值范围是 （1，2） 【解答】解：由余弦定理得 c2a2+b22abcosCa2+ab， ab2acosC， 由正弦定理得 sinAsinB2sinAcosC， sinBsin（A+C）sinAcosC+cosAsinC， sinAcosAsinCsinAcosCsin（CA） ， 又ABC 为锐角三角形， ACA，可得：C2A， 0C 2， 0A 4， 0B3A 2， A 6，即 6 A 4 3 C2A 2，cosC（0， 1 2） ， 由可得 =2cosC+1（1，2） 故答案为： （1，2） 14 （5 分）已知

19、函数 f（x）= 1 ( 1)2+ 1 2 1 ( + 1)2+ 1 2 的图象与函数 g（x）kx3+ 1 2的图象有 三个交点 A，B，C，且 + = 0 ，记三个交点的横坐标之和为 a，纵坐标之和为 b， 则 () 1 2 = 3 8 + 3 【解答】解：由题可知，两个函数均单调且都关于(0， 1 2)对称，又 + = 0 ，故 = ，则点 A、C 关于点 B 对称， 第 10 页（共 18 页） (0， 1 2)， = 0， = 3 2， 又函数() = 1 ( 1) 2，0 2 1 ( + 1)2， 2 0表示圆心在（1，0） ，半径为 1 的上半部分 与圆心为（1，0） ，半径为

20、1 的下半部分， () 1 2 = 3 2 0 ()，所求积分为以圆心在（1，0） ，半径为 1 的上半部分与直 线 = 3 2，x 轴所围成的图形的面积，如图所示，其中， = = 1， = 1 2， = 1 1 4 = 3 2 ， = 3 ， = 2 3 ， = 1 2 1 2 3 2 = 3 8 ，扇形= 1 2 12 2 3 = 3， 所求积分为 3 8 + 3 故答案为： 3 8 + 3 二解答题（共二解答题（共 6 小题，满分小题，满分 90 分）分） 15 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，E 为棱 PD 的中点， PA平面 ABCD （1）

21、求证：PB平面 AEC； （2）若四边形 ABCD 是矩形且 PAAD，求证：AE平面 PCD 第 11 页（共 18 页） 【解答】证明： （1）连接 BD 交 AC 于 O，连结 OE， 因为 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 BD 的中点， 因为 E 为 PD 的中点，所以 OEPB， 又因为 PB平面 AEC，OE平面 AEC， 所以 PB平面 AEC （2）因为 PAAD 且 E 是 PD 的中点，所以 AEPD， 又因为 PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD， 因为四边形 ABCD 是矩形，所以 CDAD， 因为 PA，AD平面 PAD，且 PAADA， 所以

22、 CD平面 PAD，又因为 AE平面 PAD，所以 CDAE， 因为 PD，CD平面 PDC 且 PDCDD， 所以 AE平面 PCD 16 （14 分）在ABC 中，已知 AC3，cosB= 7 14，A= 3 （1）求 AB 的长； （2）求 cos（C 6）的值 【解答】解： （1）在ABC 中，cosB= 7 14， 第 12 页（共 18 页） sinB= 1 2 = 321 14 ， 又A+B+C，A= 3， sinCsin（A+B）sin（ 3 +B）sin 3cosB+cos 3sinB= 21 7 ， 由正弦定理 = ，可得：AB= =2 （2）A+B+C， cosCcos（

23、A+B）cos（ 3 +B）sin 3sinBcos 3cosB= 27 7 ， cos（C 6）cosCcos 6 +sinCsin 6 = 321 14 17 （14 分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护 气体假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：罩内该种气体的体积比保护罩的 容积少 0.5 立方米，且每立方米气体费用 1 千元；需支付一定的保险费用，且支付的 保险费用与保护罩容积成反比，当容积为 2 立方米时，支付的保险费用为 8 千元 （1）求博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 V 之间的函数关系式； （2）求博物馆支付总费用的最小值 【解答】解：

24、 （1）设 = ，把 x2，y8000 代入，得 k16000（3 分） = 1000( 0.5) + 16000 = 1000 + 16000 500（V0.5）（8 分） （2） = 1000 + 16000 500 7500（11 分） 当且仅当1000 = 16000 ，即 V4 立方米时不等式取得等号 所以，博物馆支付总费用的最小值为 7500 元（14 分） 18 （16 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的离心率为1 2，左、右焦点分别为 F1， F2，点 D 在椭圆 C 上，DF1F2的周长为 6 （）求椭圆 C 的方程； （）已知直线 1 经过点 A（2，

25、1） ，且与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若|AM|， 1 2|OA|， |AN|（O 为坐标原点）成等比数列，判断直线 1 的斜率是否为定值 【解答】解： （）由题意可得 e= = 1 2，2a+2c6，b 2a2c2，解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 =1； 第 13 页（共 18 页） （）设直线 1：yk（x2）+1 联立 = ( 2) + 1 32+ 42= 12 ，整理可得： （3+4k2）x2（16k28k）x+16k216k80 由0，可得 k 1 2 1+ 2= 1628 3+42 ，1 2= 162168 3+42 |AM|，1 2|OA|

26、，|AN|（O 为坐标原点）成等比数列， |AM|AN|= 1 4OA 2=5 4 又|AM|AN|= 1 + 2|2 1| 1 + 2|2 2| =（1+k2）|（2x1） （2x2）|（1+k2） |42（x1+x2）+x1x2|= 5 4 整理得：(16 2168 3+42 2 1628 3+42 + 4)(1 + 2) = 5 4 4:4 2 3:42 = 5 4，k 1 2， 1 2， = 1 2 线 1 的斜率为定值1 2 19 （16 分）已知函数 f（x）lnxbx+c，f（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 x+y+4 0 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数

27、 f（x）的单调区间； （3）若在区间1，4内，恒有 f（x）x2+lnx+kx 成立，求实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）() = 1 b，x0， 由题意可得，f（1）1b1，f（1）cb5， 解可得，b2，c3， 故 f（x）lnx2x+3， 第 14 页（共 18 页） （2）() = 1 2= 12 ， 易得，当 0 1 2时，f（x）0，函数单调递增，当 x 1 2时，f（x）0，函数单 调递减， 故函数的单调递增区间（0，1 2） ，单调递减区间（ 1 2 ，+ ） ； （3）由 f（x）x2+lnx+kx 可得 k（x+ 3 ）2 在1，4上恒成立， 令 g（x）（x+

28、3 ）2，x1，4， 由基本不等式可得 x+ 3 23， 故 g（x） 23 2， 所以 k 23 2 20 （16 分）已知无穷数列an的前 n 项中的最大项为 An，最小项为 Bn，设 bnAn+Bn （1）若 an2n1，求数列bn的通项公式； （2）若 an= 21 2 ，求数列bn的前 n 项和 Sn； （3）若数列bn是等差数列，求证：数列an是等差数列 【解答】 解： （1） 由 an2n1， 可得数列an是递增数列， 所以 An2n1， Bna11 bnAn+Bn2n（2 分） （2）由 an= 21 2 ，可得 an+1an= 32 2+1 ， 当 n1，a2a1 当 n2，

29、an+1an0，即 a2a3a4 又 a1= 1 2，a2= 3 4，a3= 5 8a1，a4= 7 16 a1， 所以 b11，b2= 5 4，b3= 5 4， 当 n4 时，bn= 3 4 + 21 2 ， 所以 S11，S2= 9 4，S3= 7 2 当 n4 时，令 bn= 3 4 + 21 2 = 3 4 + (1)+ 21 + 2 ， 则 k2，b3，即 bn= 3 4 + 2+1 21 2+3 2 第 15 页（共 18 页） 所以 Sn= 7 2 + 3 4（n3）+（ 9 23 11 24）+（ 11 24 13 25）+（ 2:1 21 2:3 2 ） = 7 2 + 3

30、4（n3）+ 9 23 2+3 2 = 19 8 + 3 4 2+3 2 综上所述，S11，S2= 9 4，S3= 7 2， 当 n4 时，Sn= 19 8 + 3 4 2+3 2 （3）证明：设等差数列bn的公差为 d，则 bn+1bnAn+1An+Bn+1Bnd， 由题意：An+1An，Bn+1Bn， d0，An+1An，对任意 nN*都成立， 即 An+1an+1Anan，所以数列an是递增数列 所以 Anan，Bna1， 所以 dAn+1An+Bn+1Bnan+1an， 所以数列an是公差为 d 的等差数列；（10 分） 当 d0 时，Bn+1Bn，对任意 nN*都成立， 进而 Bn+

31、1an+1Bnan， 所以数列an是递减数列Ana1，Bnan， 所以 dAn+1An+Bn+1Bnan+1an， 所以数列an是公差为 d 的等差数列；（14 分） 当 d0 时，An+1An+Bn+1Bn0， 因为 An+1An与 Bn+1Bn中至少有一个为 0，所以二者都为 0， 进而数列an为常数列， 综上所述，数列an为等差数列（16 分） 三解答题（共三解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 21 （10 分）已知 a，b，c，dR，矩阵 = 2 0 的逆矩阵;1= 1 1若曲线 C 在矩 阵 A 对应的变换作用下得到曲线 y2x+1，求曲

32、线 C 的方程 【解答】 解： 由题意得， AA 1= 10 01， 即 2 0 1 1 = 2 2 = 1 0 01， a2d1，ac20，bd0，b1 a1，b1，c2，d0 即矩阵 A= 1 2 01 第 16 页（共 18 页） 设 P （x， y） 为曲线 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换作用下变为点 P （x， y） ， 则 = 12 01 即 = 2 = ， 由已知条件可知，点 P（x，y） ，满足方程 y2x+1，整理得：2x5y+10， 所以曲线 C 的方程为 2x5y+10 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）

33、分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极

34、坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 10 分）分） 23 （10 分）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A，B 两种套餐的集团用户进行 调查，准备从本市 n

35、（nN*）个 人数超过 1000人的大集团和 8 个人数低于200 人的小集团中随机抽取若干个集团进行调 查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为 4 15 （1）求 n 的值； （2）若取出的 2 个集团是同一类集团，求全为大集团的概率； 第 17 页（共 18 页） （3）若一次抽取 4 个集团，假设取出小集团的个数为 X，求 X 的分布列和期望 【解答】解： （1）由题意知共有 n+8 个集团，取出 2 个集团的方法总数是:8 2 ，其中全 是小集团的情况有8 2， 故全是小集团的概率是 8 2 +8 2 = 87 (:8)(:7) = 4 15， （n+8） （n+7）21015

36、14， n+714， 解得 n7； （2）若 2 个全是大集团，共有7 2 =21 种情况； 若 2 个全是小集团，共有8 2 =28 种情况； 故全为大集团的概率为 7 2 8 2:72 = 21 28:21 = 3 7； （3）由题意知，随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，4； 计算 P（X0）= 8 0 7 4 15 4 = 1 39，P（X1）= 8 1 7 3 15 4 = 8 39，P（X2）= 8 2 7 2 15 4 = 28 65， P（X3）= 8 3 7 1 15 4 = 56 195，P（X4）= 8 4 7 0 15 4 = 2 39； 故 X 的分布列为：

37、X 0 1 2 3 4 P 1 39 8 39 28 65 56 195 2 39 数学期望为 E（X）0 1 39 +1 8 39 +2 28 65 +3 56 195 +4 2 39 = 32 15 24 （10 分）已知抛物线 C 的顶点为坐标原点 O，对称轴为 x 轴，其准线过点（2，1） （1）求抛物线 C 的方程 （2）过抛物线焦点 F 作直线 l，使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 22， 求直线 l 的方程 【解答】解： （1）由题意可得抛物线的方程为：y22px，则由题意准线方程为：x2， 即 2 = 2，所以 p4， 所以抛物线的方程为：y28x； （2）由（1）可得抛物线的焦点 F（2，0） ，由题意显然直线 l 的斜率不为 0，设直线 l 的方程为：xmy+2， 第 18 页（共 18 页） 要使得抛物线 C 上恰有三个点到直线 l 的距离都为 22，则设直线的左侧与直线平行的 直线 l为：xmy+t， 由题意可得这条直线恰好与抛物线相切，且两条平行线间的距离为 22， 所以可得 = + 2= 8 可得 y28mx8t0，64m2+32t0，即 t2m2，* 且 22 = |2| 1+2，将*代入可得：2 = 1 + 2，解得：m1， 所以直线 l 的方程为：xy+2，即 x+y20 或 xy20