2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（6）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 2 （5 分）已知复数 z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 3 （5 分）如图，已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段 PF2与圆相切于 点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点，

2、则椭圆的离心率为（ ） A 5 3 B 3 5 C 5 4 D 2 5 4 （5 分）2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病 毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 5 （5 分）已知函数() = 2 ， 0 3，0，则( 3 3 ) =（ ） A 2 2 B1 2 Clog32 Dlog32 6 （5 分）若1

3、= 4 ，2= 3 4 是函数 f（x）sin（x+） （0）两个相邻的零点，则 （ ） A2 B3 2 C1 D1 2 7 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 第 2 页（共 19 页） 8 （5 分）等比数列an的前 n 项和= 3+ ，则 a 的值为（ ） A3 B1 C3 D1 9 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 10 （5 分）已知函数 f（x）= + 2，0 2 ， 0，

4、若函数 g（x）f（f（x） ）恰有 8 个零点， 则 a 的值不可能为（ ） A8 B9 C10 D12 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积 为（ ） A25 4 B64 3 C25 D32 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，其导函数为 f（x） ，对任意 xR，f（x）f（x） 恒成立，且 f（1）1，则不等式 ef（x）ex的解集为（ ） A （1，+） B1，+） C （，0） D （，0 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）二项式（3x1）11的

5、二项展开式中第 3 项的二项式系数为 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 15 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1，DC 上靠近点 D 的 三等分点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 第 3 页（共 19 页） 16 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410，则 =1 1 = 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17ABC 的内角 A，B，C 及所对的边分别为 a，b，c，已知，c2 （1）若 cos2Acos2B= 3sinAcosA3sinB

6、cosB 且 ab，求角 C 的大小及 a+b 的取值 范围； （2）若 =1，求ABC 面积的最大值 18某区组织群众性登山健身活动，招募了 N 名师生志愿者，现将所有志愿者按年龄情况 分为 1520，2025，2530，3035，3540，4045 六组，其频率分布直方图如图 所示：已知 3035 之间的志愿者共 8 人 （1）求 N 和 2030 之间的志愿者人数 N1； （2）组织者从 3545 之间的志愿者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机 选取 3 名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为 ，求随机变量 的概率分布列和数 学期望 19 如图， 在四棱柱 ABCDA1B

7、1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 且ADC60， 1= 1= 5，1= 7 第 4 页（共 19 页） （）证明：平面 CDD1平面 ABCD； （）求二面角 D1ADC 的余弦值 20已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 21已知函数 f（x）= （e2.71828为自然对数的底数） （1）若 a0，试讨论 f（x）的单调性

8、； （2）对任意 x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的 一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 第 5 页（共 19 页） 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小

9、值为1 2 （1）求证：a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 第 6 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| 3 1+，Bx|x0，则 AB（ ） Ax|0x3 Bx|0x3 Cx|1x3 Dx|1x3 【解答】解：集合 = *| 3 1+ =x|0x3， Bx|x0， ABx|0x3 故选：A 2 （5 分）已知复数

10、z 满足 z+2iR，z 的共轭复数为，则 z =（ ） A0 B4i C4i D4 【解答】解：z+2iR，设 z+2iaR， 则 za2i， 则 z =a2i（a+2i）4i 故选：C 3 （5 分）如图，已知 F1，F2是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段 PF2与圆相切于 点 Q，且点 Q 为线段 PF2的中点，则椭圆的离心率为（ ） A 5 3 B 3 5 C 5 4 D 2 5 【解答】解：连接 OQ，F1P 如下图所示：椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0） ， 则由切线的性质，则 OQPF2， 又由点 Q 为线段 PF2的中点，O 为 F1F2的中点 OQF1P PF

11、2PF1， 故|PF2|2a2b， 第 7 页（共 19 页） 且|PF1|2b，|F1F2|2c， 则|F1F2|2|PF1|2+|PF2|2 得 4c24b2+4（a22ab+b2） 解得：b= 2 3a 则 c= 5 3 a 故椭圆的离心率为： 5 3 故选：A 4 （5 分）2020 年 1 月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病 毒的 70 名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2 天 3 天 5 天 6 天 7 天 9 天 10 天 12 天 人数 2 4 8 10 16 16 10 4 根据表中数据， 可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 （精确到个位数

12、）（ ） A6 天 B7 天 C8 天 D9 天 【解答】解：因为 = 22+34+58+610+716+916+1010+124 70 7， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为 7 天， 故选：B 5 （5 分）已知函数() = 2 ， 0 3，0，则( 3 3 ) =（ ） A 2 2 B1 2 Clog32 Dlog32 【解答】解：因为() = 2 ， 0 3，0， 则( 3 3 ) =f（log 3 3 3 ）f（ 1 2）= 2 1 2= 2 2 故选：A 第 8 页（共 19 页） 6 （5 分）若1= 4 ，2= 3 4 是函数 f（x）sin（x+） （0）两个相邻的零点

13、，则 （ ） A2 B3 2 C1 D1 2 【解答】 解： 由于1= 4 ，2= 3 4 是函数 f （x） sin （x+） （0） 两个相邻的零点， 所以 2 = 3 4 4 = 2，解得 T， 所以 = 2 = 2 故选：A 7 （5 分）在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ，则 =（ ） A 4 5 + B4 5 C + 4 5 D 3 4 + 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中，若 = 4 ， 所以 = 4 5 ，则 = + = + 4 5 = 4 5 + 故选：A 8 （5 分）等比数列an的前 n 项和= 3+ ，则 a 的值为（ ） A3 B1 C3 D1 【解答】解

14、：根据题意，等比数列an的前 n 项和= 3+ ， 则 a131+a3+a， a2S2S1（32+a）（3+a）6， a3S3S2（33+a）（32+a）18， 则有（3+a）1836，解可得 a1； 故选：D 9 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 【解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，设双曲线 C 的方程为 2 2 2 6 = ， （t0） ， 第 9 页（共 19 页） 又由双曲线 C 经过点 P（2，3） ，则有 2 1

15、2 =t，则 t= 3 2， 则双曲线的 C 的方程为 2 2 2 6 = 3 2，即： 2 3 2 9 =1，其焦距 c23，a= 3， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：D 10 （5 分）已知函数 f（x）= + 2，0 2 ， 0，若函数 g（x）f（f（x） ）恰有 8 个零点， 则 a 的值不可能为（ ） A8 B9 C10 D12 【解答】解：易知，当 a0 时，方程 f（x）0 只有 1 个实根， 从而 g（x）f（f（x） ）不可能有 8 个零点， 则 a0，f（x）0 的实根为2a，0，a 令 f（x）t，则 f（f（x） ）f（t）0， 则 t2a，0，a 数形结合

16、可知， 直线 ya 与 f（x）的图象有 2 个交点， 直线 y0 与 f（x）的图象有 3 个交点， 所以由题意可得直线 y2a 与 f（x）的图象有 3 个交点， 则必有2 2 4 ，又 a0， 所以 a8 故选：A 11 （5 分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积 为（ ） 第 10 页（共 19 页） A25 4 B64 3 C25 D32 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是三棱锥，底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA底面 ABC， 设底面三角形 ABC 的外心为 G， 过 G 作底面的垂线 GO， 且使 GO= 1

17、 2AP 则 O 为三棱锥 PABC 外接球的球心，连接 OB， GB= 23 3 ，OG2，三棱锥外接球的半径 ROB=4 + (2 3 3 )2= 43 3 该几何体外接球的表面积为 4 (4 3 3 )2= 64 3 故选：B 12 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，其导函数为 f（x） ，对任意 xR，f（x）f（x） 恒成立，且 f（1）1，则不等式 ef（x）ex的解集为（ ） A （1，+） B1，+） C （，0） D （，0 【解答】解：f（x）f（x） ，()() 0， ()() ()2 0， 令 g（x）= () ，则 g（x）= ()() ()2 0， g（x

18、）在 R 上是增函数 ef（x）ex， () 1 ，即 g（x）g（1）= 1 第 11 页（共 19 页） x1 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）二项式（3x1）11的二项展开式中第 3 项的二项式系数为 55 【解答】解：二项式（3x1）11的二项展开式的通项公式 Tr+1= 11 （3x）11 r （1）r， 令 r2，可得中第 3 项的二项式系数为11 = 11 2 =55， 故答案为：55 14 （5 分）已知实数 x，y 满足 4， + 2 + 6 0， 4， 则 = +4 4的最大值为 2 7

19、 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示， = +4 4表示平面区 域内的点（x，y）与 D（4，4）连线的斜率，观察可知， +4 4 ，联立 = 4， + 2 + 6 = 0，解得 = 2 3， = 8 3 ，即( 2 3 ， 8 3)，故 = +4 4的最大值为 8 3+4 2 34 = 4 3 2 3 12 3 = 2 7 故答案为： 2 7 15 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别是 DD1，DC 上靠近点 D 的 三等分点，则异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 3 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：依次作线段 AA1

20、，AB 上靠近点 A 的三等分点 G，H，连接 A1B，BC1， 则 EFGH，GHA1B，则 EFA1B， 所以BA1C1是异面直线 EF 与 A1C1所成角 在A1BC1中，A1BBC1A1C1， A1BC1是等边三角形，11= 3 异面直线 EF 与 A1C1所成角的大小是 3 故答案为： 3 16 （5 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410，则 =1 1 = 2 +1 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410，S42（a2+a3）10， 可得 a22，数列的首项为 1，公差为 1， Sn= (+1) 2 ， 1 = 2 (+1) = 2(1

21、1 +1)， 则 =1 1 =21 1 2 + 1 2 1 3 + 1 3 1 4 + + 1 1 +12（1 1 +1）= 2 +1 故答案为： 2 +1 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 17ABC 的内角 A，B，C 及所对的边分别为 a，b，c，已知，c2 （1）若 cos2Acos2B= 3sinAcosA3sinBcosB 且 ab，求角 C 的大小及 a+b 的取值 范围； （2）若 =1，求ABC 面积的最大值 【解答】解： （1）cos2Acos2B= 3sinAcosA3sinBcosB， 1+2 2 1+2 2 = 3 2 sin2A 3 2 sin2B， 则

22、3 2 sin2A 1 2cos2A= 3 2 sin2B 1 2cos2B， 第 13 页（共 19 页） sin（2A 6）sin（2B 6） ， 由 ab 得 AB，又 A+B（0，） ， 2A 6 +2B 6 =，即 A+B= 2 3 ， C（A+B）= 3； 由 c2 和正弦定理得， = = = 2 3 2 = 43 3 ， a= 43 3 sinA，b= 43 3 sinB， a+b= 43 3 （sinA+sinB）= 43 3 sinA+sin（2 3 A） = 43 3 sinA+（ 3 2 cosA+ 1 2sinA） = 43 3 （3 2sinA+ 3 2 cosA）4

23、sin（A+ 6） ， 由 0A 2 3 得， 6 A+ 6 5 6 ， 1 2 sin（A+ 6）1，则 24sin（A+ 6）4，即 2a+b4， a+b 的取值范围为（2，4； （2） =1，abcosC1， 由余弦定理得，c2a2+b22abcosCa2+b22， 又 c2，则 a2+b262ab，得 ab3，当且仅当 ab 时等号成立， 由 abcosC1 得 cosC= 1 ， 则 sinC= 1 2 = ()21 ， ABC 的面积 S= 1 2 = 1 2() 2 1 1 29 1 = 2， 故ABC 的面积的最大值是2 18某区组织群众性登山健身活动，招募了 N 名师生志愿者

24、，现将所有志愿者按年龄情况 分为 1520，2025，2530，3035，3540，4045 六组，其频率分布直方图如图 所示：已知 3035 之间的志愿者共 8 人 （1）求 N 和 2030 之间的志愿者人数 N1； 第 14 页（共 19 页） （2）组织者从 3545 之间的志愿者（其中共有 4 名女教师，其余全为男教师）中随机 选取 3 名担任后勤保障工作，记其中女教师的数量为 ，求随机变量 的概率分布列和数 学期望 【解答】 解：（1） 3035 之间的频率为 0.0450.2， 由于 3035 之间的志愿者共 8 人， N= 8 0.2 =40； 2030 之间的频率为 1（0.

25、01+0.04+0.02+0.01）50.6，N10.64024； （2）3545 之间共有 5（0.01+0.02）406 人，其中 4 名女教师，2 名男教师， 从中选取三人，则女教师的数量为 的取值可为 1，2，3， 所以 P（1）= 4 1 2 2 6 3 = 1 5；P（2）= 4 2 2 1 6 3 = 3 5；P（3）= 4 3 6 3 = 1 5； 所以，分布列为 1 2 3 P（k） 1 5 3 5 1 5 所以，数学期望为 E1 1 5 + 2 3 5 + 3 1 5 =2 19 如图， 在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 且AD

26、C60， 1= 1= 5，1= 7 （）证明：平面 CDD1平面 ABCD； （）求二面角 D1ADC 的余弦值 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：令 CD 的中点为 O，连接 OA，OD1，AC， 1= 1= 5， = 2， D1ODC 且1 = 12 2= 2 又底面 ABCD 为边长为 2 的菱形，且ADC60， AO= 3， 又1= 7， 12= 12+ 2，D1OOA， 又OA，DC平面 ABCD，OADCO， 又D1O平面 CDD1， 平面 CDD1平面 ABCD （2）过 O 作直线 OHAD 于 H，连接 D1H， D1O平面 ABCD， D1OAD，AD平面

27、 OHD1， ADHD1， D1HO 为二面角 D1ADC 所成的平面角， 又OD1，ODA60， = 3 2 ，1 = 19 2 ， 1= 57 19 第 16 页（共 19 页） 20已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆心 E 的 轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程； （2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 【解答】解： （1）因为动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切， 所以点 E 到点 M 的

28、距离比点 E 到直线 = 1 2的距离大 1 2， 因为圆：( 1)2+ 2= 1 4的半径为 1 2， 所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离， 所以圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0） 所以曲线 C 的方程 y24x （2）设 P（x0，y0） ，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 由 2 = 4 = ( + 2)得 ky 24y+8k0， 由 0 16 3220得 2 2 2 2 且 k0 1+ 2= 4 ，y1y28， = 01 01 = 01 02 4 1 2 4 = 4 0+1，同理 = 4 0+2 由APB90，得 4 0+1 4 0+2 =

29、1， 即02+ 0(1+ 2) + 12= 16， 所以02+ 4 0+ 24 = 0， 由= (4 ) 2 96 0，得 6 6 6 6 且 k0， 第 17 页（共 19 页） 又 2 2 2 2 且 k0， 所以 k 的取值范围为, 6 6 ，0) (0， 6 6 - 21已知函数 f（x）= （e2.71828为自然对数的底数） （1）若 a0，试讨论 f（x）的单调性； （2）对任意 x（0，+）均有（x2+1）exax3x2ax0，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）的定义域为x|x0，() = 2 = (1) 2 ， 当 a0 时，令 f（x）0 解得 x1；令

30、 f（x）0 解得 x1 且 x0； 当 a0 时，令 f（x）0 解得 x1 且 x0；令 f（x）0 解得 x1； 当 a0 时，f（x）在（1，+）上单调递增，在（，0） ， （0，1）单调递减； 当 a0 时，f（x）在（，0） ， （0，1）上单调递增，在（1，+）单调递减； （2）因为 x（0，+） ，所以 x3+x0，故 (2+1)2 3+ = 2+1在（0，+） 上恒成立， 设() = 2+1 (0)，则 ag（x）min， () = (1) 2 12 (2+1)2 = ( 1), 2 + +1 (2+1)2-，令 g（x）0，则 x1， 函数 g（x）在（0，1）上单调递减，

31、在（1，+）上单调递增， ()= (1) = 1 2， 1 2，即实数 a 的取值范围为(， 1 2- 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22如图，在极坐标系 Ox 中，过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆的 一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ，曲线 M2是优弧 （）求曲线 M1的极坐标方程； （） 设点 P （1， ） 为曲线 M1上任意一点， 点 Q （2， 3） 在曲线 M2 上， 若|OP|+|OQ| 6，求 的值 第 18 页（共 19 页） 【解答】解： （）过极点的直线 l 与以点 A（2，0）为圆心、半径为 2 的圆上任意一点

32、 （，） ，整理得 4cos 由于的圆的一个交点为 B（2， 3） ，曲线 M1 是劣弧 ， 所以 M1的方程为 = 4( 3 2) （）点 P（1，）为曲线 M1上任意一点， 所以1= 4 ( 3 2)， 点 Q（2， 3）在曲线 M2 上， 所以2= 4( 3)（ 2 3 3） 整理得2= 4( 3)( 6 3) 由于|OP|+|OQ|6， 所以 1+26， 整理得4 + 4( 3) =6，即：43( + 3) = 6， 由于 3 2且 6 3 解得 = 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|的最小值为1 2 （1）求证：

33、a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，求实数 t 的最大值 【解答】解： （1）证明：a0，b0，函数 f（x）|2x+a|+|xb|x+ 2|+|x+ 2|+|xb| | 2 + 2|+|x+ 2 x+b|0+|b+ 2|b+ 2， 第 19 页（共 19 页） 当且仅当 xb 时，上式取得等号，可得 f（x）的最小值为 b+ 2， 则 b+ 2 = 1 2，即 a+2b1； （2）若 2a+btab 恒成立，由 a，b0，可得 t 1 + 2 恒成立， 由1 + 2 =（a+2b） （1 + 2 ）5+ 2 + 2 5+22 2 =9， 当且仅当 ab= 1 3，上式取得等号， 则 t9，可得 t 的最大值为 9