2020年高考数学（理科）全国1卷高考模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x3n+2，nN，B2，4，6，8，10，则 AB（ ） A B2 C8 D2，8 2 （5 分）设复数 z 满足关系：z+|2+i，那么 z 等于（ ） A 3 4 +i B3 4 +i C 3 4 i D3 4 i 3（5 分） 已知数列an是公比为 q （q1） 的等比数列， 则数列： 2an； an2； * 1 2+； anan+1；a

2、n+an+1；等比数列的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 4 （5 分）若实数 x，y 满足条件 1 0 2 + 6 + 2 ，则 z2xy 的最大值为（ ） A10 B6 C4 D2 5 （5 分）若 a1，6，则函数 = 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 6 （5 分）已知等边三角形ABC 的边长为 2，其重心为 G，则 =（ ） A2 B 1 4 C 2 3 D3 7 （5 分） “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山， 一人去西藏，一人去云南回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲： “我去了泰山，

3、乙去了西藏 ” 乙： “甲去了西藏，丙去了泰山 ” 丙： “甲去了云南，乙去了泰山 ” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A甲去了西藏 B乙去了泰山 C丙去了西藏 D甲去了云南 8 （5 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） A21 2 B33 C42 D84 第 2 页（共 19 页） 9 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A( 3 2， 3 2) B(， 3 2) ( 3 2， + ) C(， 3 2)

4、 (0， 3 2) D( 3 2 ，0) (3 2， + ) 10 （5 分）普通高中已知函数 yf（x）的周期为 2，当 x0，2时，f（x）（x1）2， 如果 g（x）f（x）log5x，则函数 yg（x）的零点个数为（ ） A1 B3 C5 D7 11 （5 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 4，ACBC2，ACB90， 点 D 是 A1B1的中点，F 是侧面 AA1B1B（含边界）上的动点要使 AB1平面 C1DF，则 线段 C1F 的长的最大值为（ ） A5 B22 C13 D25 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数

5、为 f（x） ，若 对任意 x0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立，则（ ） A4f（2）9f（3） B4f（2）9f（3） C2f（3）3f（2） D3f（3）2f（2） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 f（x）x2e x 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 14 （5 分）在（ax+ 1 ） （x 21）5 的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 15 （5 分）如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆 x2+（y 1） 24的实线部分上运动， 且AB总是平

6、行于y轴， 则AFB周长的取值范围是 16 （5 分）在矩形 ABCD 中，BC4，M 为 BC 的中点，将ABM 和DCM 分别沿 AM， 第 3 页（共 19 页） DM 翻折，使点 B 与 C 重合于点 P若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表 面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 23cos2A+cos2A0，且ABC 为锐角三角形，a7，c6，求 b 的值； （2）若 a= 3，A= 3，求 b+c 的取值范围 18 （12

7、分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，ABEF，AB2EF， EAB90，平面 ABEF平面 ABCD （1）若 G 点是 DC 的中点，求证：FG平面 AED； （2）求证：平面 DAF平面 BAF； （3）若 AEAD1，AB2，求直线 AC 与平面 BCF 成角的正弦值 19 （12 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 2 2 ， 左顶点为 A （2， 0） 过 点 A 作直线 l 交椭圆 C 于另一点 D，交 y 轴于点 E，点 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）已知 P 为 AD 的中点，是否存在定点 Q，对任

8、意的直线 l， 恒成立？若存 在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由； （3）过 O 点作直线 l 的平行线与椭圆 C 相交，M 为其中一个交点，求 | |:|的最大 值 20 （12 分） 第 31 届夏季奥林匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举 行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位： 枚） 第 30 届伦敦 第 29 届北京 第 28 届雅典 第 27 届悉尼 第26届亚特兰大 中国 38 51 32 28 16 第 4 页（共 19 页） 俄罗斯 24 23 27 32 26 （）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两

9、国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通 过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值， 给出结论即可） ； （）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多 （假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ， 规定甲、 乙、 丙必须在两个代表团中选一个， 已知甲、乙猜中国代表团的概率都为4 5，丙猜中国代表团的概率为 3 5，三人各自猜哪个代 表团的结果互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 EX 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx2x，g（x）aln（x+1）+2ex（a+2）x2

10、（1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 x0 时，g（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知直线的参数方程为 = 1 + 3 = 2 4 （t 为参数）它与曲线（y2）2x21 交 于 A，B 两点 （1）求|AB|的长 （2）求点 P（1，2）到线段 AB 中点 C 的距离 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x4|+|x1|3 （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若直线 ykx2 与函数 f（x）的图象有公共点，求 k 的取值

11、范围 第 5 页（共 19 页） 2020 年高考数学（理科）全国年高考数学（理科）全国 1 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x3n+2，nN，B2，4，6，8，10，则 AB（ ） A B2 C8 D2，8 【解答】解：集合 Ax|x3n+2，nN2，5，8，11，14， B2，4，6，8，10， AB2，8 故选：D 2 （5 分）设复数 z 满足关系：z+|2+i，那么 z 等于（ ） A 3 4 +i B3 4 +i

12、C 3 4 i D3 4 i 【解答】解：法 1：设 za+bi（a，bR）由已知 a+bi+2+ 2=2+i 由复数相等可得 + 2+ 2 = 2 = 1 = 3 4 = 1 故 z= 3 4 +i 故选 B 法 2：由已知可得 z|+i取模后平方可得 |z|2（2|z|）2+144|z|+|z|2+1，所以| = 5 4，代入得 = 3 4 + ， 故选 B 法 3：选择支中的复数的模均为(3 4) 2+ 1，又| 0， 而方程右边为 2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数 z 的实部，虚部也必须为正， 故选：B 3（5 分） 已知数列an是公比为 q （q1） 的等比数列， 则数列：

13、2an； an2； * 1 2+； anan+1；an+an+1；等比数列的个数为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：数列an是公比为 q（q1）的等比数列， 则2 +1 2 = 2+1，不是等比数列； +1 2 2 =q2； 第 6 页（共 19 页） * 1 2+是公比为 1 2的等比数列； anan+1是公比为 q2的等比数列； an+an+1不一定是等比数列，例如（1）n 综上：等比数列的个数为 3 故选：B 4 （5 分）若实数 x，y 满足条件 1 0 2 + 6 + 2 ，则 z2xy 的最大值为（ ） A10 B6 C4 D2 【解答】解：先根据实数 x，y 满足条件

14、1 0 2 + 6 + 2 画出可行域如图， 做出基准线 02xy， 由图知，当直线 z2xy 过点 A（3，0）时， z 最大值为：6 故选：B 5 （5 分）若 a1，6，则函数 = 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：函数 y= 2+ 在区间2，+）内单调递增， y1 2 = 2 2 0，在2，+）恒成立， ax2在2，+）恒成立， 第 7 页（共 19 页） a4 a1，6， a1，4， 函数 y= 2+ 在区间2，+）内单调递增的概率是4;1 6;1 = 3 5， 故选：C 6 （5 分）已知等边三角形ABC 的边长为 2

15、，其重心为 G，则 =（ ） A2 B 1 4 C 2 3 D3 【解答】解：等边三角形ABC 的边长为 2，其重心为 G， 则 = 2 3 1 2（ + ） 2 3 : 2 = 1 9 （ + ） （ ） = 1 9 （ + ） （ 2 ）= 1 9 （ 2 2 2）=1 9 （422cos 3 24） = 2 3， 故选：C 7 （5 分） “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山， 一人去西藏，一人去云南回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲： “我去了泰山，乙去了西藏 ” 乙： “甲去了西藏，丙去了泰山 ” 丙： “甲去了云南，乙去了泰山 ” 事实是甲、

16、乙、丙三人的陈述都只对了一半 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A甲去了西藏 B乙去了泰山 C丙去了西藏 D甲去了云南 【解答】解：若甲去了泰山，则乙去了云南，丙去了西藏，则乙，丙的陈述就全错误， 与甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半相矛盾， 若甲去了西藏，则乙去了泰山，丙去了云南，则甲的陈述就全错误，与甲、乙、丙三人 的陈述都只对了一半相矛盾， 若甲去了云南，则乙去了西藏，丙去了泰山，与甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半相 符合， 故选：D 8 （5 分）已知数列an满足 an+12an0，且 a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（ ） 第 8 页（共 19 页） A21 2 B3

17、3 C42 D84 【解答】解：数列an满足 an+12an0，所以数列是等比数列，公比为 2， a1+a3+a521，那么 a3+a5+a7（a1+a3+a5）2221484 故选：D 9 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A( 3 2， 3 2) B(， 3 2) ( 3 2， + ) C(， 3 2) (0， 3 2) D( 3 2 ，0) (3 2， + ) 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x， 则其图象如图： 且 f（3 2）f（ 3 2）0， 则不

18、等式 f（x）0 的解集为（， 3 2）（0， 3 2） ； 故选：C 10 （5 分）普通高中已知函数 yf（x）的周期为 2，当 x0，2时，f（x）（x1）2， 如果 g（x）f（x）log5x，则函数 yg（x）的零点个数为（ ） A1 B3 C5 D7 【解答】 第 9 页（共 19 页） 解：根据题意，函数 g（x）f（x）log5x， 若 g（x）f（x）log5x0，则有 f（x）log5x， 分别作出函数 yf（x）与 ylog5x 的图象， 分析可得：两个函数图象有 5 个交点，则函数 yg（x）的零点个数为 5， 故选：C 11 （5 分）如图，直三棱柱 ABCA1B1C

19、1中，侧棱长为 4，ACBC2，ACB90， 点 D 是 A1B1的中点，F 是侧面 AA1B1B（含边界）上的动点要使 AB1平面 C1DF，则 线段 C1F 的长的最大值为（ ） A5 B22 C13 D25 【解答】解：直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为 4，ACBC2，ACB90， 点 D 是 A1B1的中点，F 是侧面 AA1B1B（含边界）上的动点 以 C1为原点，C1A1为 x 轴，C1B1为 y 轴，C1C 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设 F（0，a，b） ，0a2，0b4， 由题意得 A（2，0，4） ，B1（0，2，0） ，C1（0，0，0） ，D（1，1，0）

20、 ， 1 =（2，2，4） ，1 =（1，1，0） ，1 =（0，a，b） ， AB1平面 C1DF， 1 1 = 1 + 1 + 0 = 0 1 1 = 0 + 2 = 0 ，解得 a2b，F（0，2b，b） ， 0a2，0b4，a2b， 第 10 页（共 19 页） 0b1， 线段 C1F 的长的最大值为： |1 |= 42+ 2= 5 故选：A 12 （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若 对任意 x0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立，则（ ） A4f（2）9f（3） B4f（2）9f（3） C2f（3）3f（2） D3f（

21、3）2f（2） 【解答】解：根据题意，令 g（x）x2f（x） ，其导数 g（x）2xf（x）+x2f（x） ， 又由对任意 x0 都有 2f（x）+xf（x）0 成立， 则当 x0 时，有 g（x）x2f（x）+xf（x）0 成立，即函数 g（x）在（0，+） 上为增函数， 又由函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，则 f（x）f（x） ， 则有 g（x）（x）2f（x）x2f（x）g（x） ，即函数 g（x）为偶函数， 则有 g（2）g（2） ，且 g（2）g（3） ， 则有 g（2）g（3） ， 即有 4f（2）9f（3） ； 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满

22、分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线 f（x）x2e x 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 xey0 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：f（x）2xe xx2ex，(1) =1 ，(1) = 1 故切线为： 1 = 1 ( 1)，即 xey0 故答案为：xey0 14 （5 分）在（ax+ 1 ） （x 21）5 的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a 5 【解答】解：（x21）5的展开式的通项公式为 Tr+1C 5 （x2）5r （1）r（1） rC 5 x102r，r0，1，5， （ax+ 1 ） （x 21）5 的展开式中含 x3的系数为 a

23、（1）4C 5 4 +C 5 3 （1）35a 10 又5a1015，a5 故答案为：5 15 （5 分）如图，点 F 是抛物线 C：x24y 的焦点，点 A，B 分别在抛物线 C 和圆 x2+（y 1） 24 的实线部分上运动， 且 AB 总是平行于 y 轴， 则AFB 周长的取值范围是 （4， 6） 【解答】解：抛物线 x24y 的焦点为（0，1） ，准线方程为 y1， 圆（y1）2+x24 的圆心为（0，1） ， 与抛物线的焦点重合，且半径 r2， |FB|2，|AF|yA+1，|AB|yByA， 三角形 ABF 的周长2+yA+1+yByAyB+3， 1yB3， 三角形 ABF 的周长

24、的取值范围是（4，6） 故答案为： （4，6） 第 12 页（共 19 页） 16 （5 分）在矩形 ABCD 中，BC4，M 为 BC 的中点，将ABM 和DCM 分别沿 AM， DM 翻折，使点 B 与 C 重合于点 P若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表 面积为 68 【解答】解：由题意可知，MPPA，MPPD，PMPAA， 所以可得 PM面 PAD， 设ADP 外接圆的半径为 r， 由正弦定理可得 =2r， 即 4 150 =2r， 所以 r4， 设三棱锥 MPAD 外接球的半径 R， 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则 R2（ 2 ）2+r2

25、1+1617， 所以外接球的表面积为 S4R268 故答案为：68 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 23cos2A+cos2A0，且ABC 为锐角三角形，a7，c6，求 b 的值； （2）若 a= 3，A= 3，求 b+c 的取值范围 【解答】解： （1）23cos2A+cos2A23cos2A+2cos2A10， 2 = 1 25，又A 为锐角， = 1 5， 而 a2b2+c22bccosA，即2 12 5 13 = 0， 解得 b5（舍负）

26、，b5； （2）方法一： （正弦定理） 由正弦定理可得 + = 2( + ) = 2( + (2 3 ) = 23( + 6)， 0 2 3 ， 6 B+ 6 5 6 ， 1 2 ( + 6) 1， 第 13 页（共 19 页） + (3，23- 方法二： （余弦定理） 由余弦定理 a2b2+c22bccosA 可得 b2+c23bc， 即( + )2 3 = 3 3 4( + ) 2， + 23，又由两边之和大于第三边可得 + 3， + (3，23- 18 （12 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是矩形，ABEF，AB2EF， EAB90，平面 ABEF平面 ABCD

27、 （1）若 G 点是 DC 的中点，求证：FG平面 AED； （2）求证：平面 DAF平面 BAF； （3）若 AEAD1，AB2，求直线 AC 与平面 BCF 成角的正弦值 【解答】证明： （1）如图，点是 DC 中点，ABCD2EF，ABEF， EFDG，且 EFDG， 四边形 DEFG 是平行四边形，FGDE， 又 FG面 AED，ED面 AED， FG面 AED （2）平面 ABEF平面 ABCD， 平面 ABEF平面 ABCDAB，ADAB， AD平面 ABF， 又 AD平面 DAF，面 DAF面 BAF 解： （3）在直角梯形 EABF 中，AEAD1，AB2，AB2EF， AFB

28、F= 2，且 AF2+BF2AB2，AFBF， 由（2）知 AD平面 ABF，ADBC， BC平面 ABF，BCAF， 又BCBFB，AF面 BCF，即ACF 为直线 AC 与平面 BCF 成角， 第 14 页（共 19 页） 又AC= 5，sinACF= = 2 5 = 10 5 ， 直线 AC 与平面 BCF 成角的正弦值为 10 5 19 （12 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率 = 2 2 ， 左顶点为 A （2， 0） 过 点 A 作直线 l 交椭圆 C 于另一点 D，交 y 轴于点 E，点 O 为坐标原点 （1）求椭圆 C 的方程： （2）已知 P 为

29、 AD 的中点，是否存在定点 Q，对任意的直线 l， 恒成立？若存 在，求出点 Q 的坐标；若不存在说明理由； （3）过 O 点作直线 l 的平行线与椭圆 C 相交，M 为其中一个交点，求 | |:|的最大 值 【解答】解： （1）由题意，左顶点为 A（2，0） ，故 a2 又 = 2 2 ， = 2 b2a2c2422， 椭圆 C 的标准方程为 2 4 + 2 2 = 1 （2）由题意，可知直线 l 的斜率必存在，设斜率为 k，则直线 l：yk（x+2） 联立 2 4 + 2 2 = 1 = ( + 2) ， 消去 y，整理得（2k2+1）x2+8k2x+8k240， 则1+ 2= 82 2

30、2+1，x1x2= 4(221) 22+1 设 P 点坐标为（xP，yP） ，则= 42 22+1， 点 P 为 AD 的中点，= 42 22+1， = (+ 2) = 2 22+1 第 15 页（共 19 页） 点 P 的坐标为（ ;42 22:1， 2 22:1） 依题意，点 E 的坐标为（0，2k） 假设存在定点 Q（m，n）使得 ，则 = 0， =（ ;42 22:1， 2 22:1） ， =（m，n2k） 若 k0， = 0显然恒成立； 若 k0，因为 = 0，即 ;42 22:1m+ 2 22+1 （n2k）0， 整理，得（2m+2）kn0 恒成立 2 + 2 = 0 = 0 即

31、= 1 = 0 定点 Q 的坐标为（1，0） 综上所述，存在这样的定点 Q，且坐标为（1，0） （3）由题意，可知 OMl，则 OM 的方程可设为 ykx 联立 2 4 + 2 2 = 1 = ， 可得 M 点的横坐标为 = 2 22+1 由 OMl，可得 |:| | = |;|:|;| | = ;2 | = 42+2 22+1 :4 2 22+1 = 22:3 22:1 = (22+ 1 + 2 22:1) 22 当且仅当 2 22:1 =22+ 1即 = 2 2 时取等号， 当 = 2 2 时，|:| | 的最小值为22 所以，原式最大值为 2 4 20 （12 分） 第 31 届夏季奥林

32、匹克运动会将于 2016 年 8 月 5 日21 日在巴西里约热内卢举 行下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位： 枚） 第 30 届伦敦 第 29 届北京 第 28 届雅典 第 27 届悉尼 第26届亚特兰大 中国 38 51 32 28 16 第 16 页（共 19 页） 俄罗斯 24 23 27 32 26 （）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通 过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值， 给出结论即可） ； （）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多 （

33、假设两国代表团获得的金牌数不会相等） ， 规定甲、 乙、 丙必须在两个代表团中选一个， 已知甲、乙猜中国代表团的概率都为4 5，丙猜中国代表团的概率为 3 5，三人各自猜哪个代 表团的结果互不影响现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为 X， 求 X 的分布列及数学期望 EX 【解答】解： （）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下 通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌 数的平均值； 俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（6 分） （）由已知得 X 的可能取值为 0，1，2，3， 设事件 A、B、C 分别表示甲、乙、丙

34、猜中国代表团， 则 P（X0）P（）P（）P（）（1 4 5） 2（13 5）= 2 125， P（X1）= () + () + () = 2 1 4 5 (1 4 5)(1 3 5) +（1 4 5） 23 5 = 19 125， P（X2）= () + () + () （4 5） 2（13 5）+2 1（4 5） （1 4 5） （ 3 5）= 56 125， 第 17 页（共 19 页） P（X3）P（A）P（B）P（C）（4 5） 2（3 5）= 48 125， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 2 125 19 125 56 125 48 125 （10 分） EX= 0

35、 2 125 + 1 19 125 + 2 56 125 + 3 48 125 = 11 5 （12 分） 21 （12 分）已知函数 f（x）alnx2x，g（x）aln（x+1）+2ex（a+2）x2 （1）讨论函数 f（x）的单调性； （2）若 x0 时，g（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）由题知 f（x）= 2 = 2+ （x0） ， 当 a0 时，恒有 f（x）0，得 f（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，由 f（x）0，得 x= 2，在(0， 2)上，有 f（x）0，f（x）单调递增； 在( 2 ，+ )上，有 f（x）0，f（x）单调递减 （

36、2）由题知 g（x）= +1 + 2 2 = 2(+1)(+2)(+1)+ +1 （x0） ， 由 x0 时，恒有 exx+11，知 g（x） 2(+1)2(+2)(+1)+ +1 = 2,( 21)- +1 ， 当 2 10，即 a2 时，g（x）0 恒成立，即 g（x）在 x0 上单调递增， g（x）g（0）0（合题意） ； 当 2 10 时，即 a2 时，此时导函数有正有负，且有 g（0）0， 由 g（x）= +1 + 2a2，得 g（x）= (+1)2 + 2，且 g（x）在 x0 上 单调递增， 当 a2 时， 10，;10=1，g（0）2a0，( 1) = 2;11 0， 故 g（

37、x）在(0， 1)上存在唯一的零点 x0，当 x0，x0）时，g（x）0， 即 g（x）在 x（0，x0）上递减，此时 g（x）g（0）0，知 g（x）在 x（0， x0）上递减， 此时 g（x）g（0）0 与已知矛盾（不合题意） ； 第 18 页（共 19 页） 综合上述：满足条件的实数 a 的取值范围 a2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）已知直线的参数方程为 = 1 + 3 = 2 4 （t 为参数）它与曲线（y2）2x21 交 于 A，B 两点 （1）求|AB|的长 （2）求点 P（1，2）到线段 AB

38、中点 C 的距离 【解答】解： （1）直线 l 的标准参数方程为 = 1 3 5 = 2 + 4 5 （t 为参数） ， 代入曲线方程并化简得 7t230t500 设 A、B 对应的参数分别为 t1、t2， 则 t1+t2= 30 7 ，t1t2= 50 7 |AB|t1t2|= (1+ 2)2 412=(30 7 )2+ 200 7 = 1033 7 ； （2）根据中点坐标的性质可得 AB 中点 C 对应的参数为1:2 2 = 15 7 由 t 的几何意义可得点 P（1，2）到线段 AB 中点 C 的距离为15 7 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x4|+|x1|3 （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若直线 ykx2 与函数 f（x）的图象有公共点，求 k 的取值范围 【解答】解： （1）由 f（x）2，得 1 2 2 2或 14 0 2 或 4 2 8 2， 解得 0x5，故不等式 f（x）2 的解集为0，5 （2）f（x）|x4|+|x1|3= 2 2， 1 0，14 2 8， 4 ， 作出函数 f（x）的图象，如图所示， 第 19 页（共 19 页） 直线 ykx2 过定点 C（0，2） ， 当此直线经过点 B（4，0）时， = 1 2； 当此直线与直线 AD 平行时，k2 故由图可知， (， 2) ,1 2， + )