2021年新高考数学模拟试卷（37）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（37） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 3 （5 分）设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则p 为（ ） A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D

2、不是正方形的四边形不是平行四边形 4 （5 分）20102018 年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及 智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状 态根据该折线图，下列结论正确的个数为（ 每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为 20132014； 这 8 年的增长率约为 40%； 2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方 差更小，变化比较平稳 A1 B2 C3 D4 5 （5 分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展， 高度重视农村义务教育”

3、精神， 现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、 乙、 丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去 1 人，则恰好有 2 名大学生分配去甲学校的 第 2 页（共 19 页） 概率为（ ） A2 5 B3 5 C1 5 D 2 15 6 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 7 （5 分） 矩形 ABCD 中， BC2， 沿对角线 AC 将三角形 ADC 折起， 得到四面体 ABCD， 四面体 ABCD 外接球表面积为 16，当四面体 ABCD 的体积取最大值时，四面体 A BCD 的表面积为（ ） A43 + 39 2 B43 + 39 C23 +

4、39 2 D23 + 39 8 （5 分）f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， （x2+1）f（x）+2xf（x）0，且 f （1）0，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （1，+） B （1，0）（1，+） C （，1） D （，1）（0，1） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A若 aR，则（a+1）i 是纯虚数 B随机变量 XN（3，22） ，若 X2+3，则 D（）1 C公共汽车上有 10 位乘客，沿途 5 个车站，乘客下车的可能方式有 105种 D回归方程

5、为 = 0.85 85.71中，变量 y 与 x 具有正的线性相关关系 EP（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.2，则 P（A|B）0.4 10 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双 曲线的左支上，若 2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率可以是（ ） 第 3 页（共 19 页） A3 B7 3 C2 D5 3 11 （5 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2sin2x，给出下列四个选项，正确的有（ ） A函数 f（x）的最小正周期是 B函数 f（x）在区间 8 ， 5 8 上是减函数 C函数 f（x）的图象关于点

6、( 8 ，0)对称 D函数 f（x）的图象可由函数 = 22的图象向右平移 8个单位，再向下平移 1 个 单位得到 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选项中正 确的是（ ） AACB1E BB1C平面 A1BD C三棱锥 C1B1CE 的体积为1 3 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， = (， 2)，且 ( + 2 )，则 m 的值等于 14 （5 分）函数 f（x）= 在点 P（1，

7、f（1） ）处的切线与直线 2x+y30 垂直，则 a 15 （5 分）抛物线 x26y 的焦点到直线 3x+4y10 的距离为 16 （5 分）已知数列an满足对m，nN*，都有 am+anan+m成立，7= 2，函数 () = 2 + 42 2，记 ynf（an） ，则数列yn的前 13 项和为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 18 （12 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项的和

8、，且an为递增数列，已知 a24，S314 （1）求数列an的通项公式； 第 4 页（共 19 页） （2）设 bn（1）n 2:1 22+1，求数列bn的前 2n 项之和 T2n 19 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点， 且 AEA1B1， （1）证明：AB平面 A1ACC1 （2） 棱 A1B1上是否存在一点 D， 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 14 14 若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）xasinx，g（x）x+mlnx （）求证：当|a|1

9、时，对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立； （）求函数 g（x）的极值； （）当 a= 1 2时，若存在 x1，x2（0，+）且 x1x2，满足 f（x1）+g（x1）f（x2） +g（x2） ，求证： 12 2 4 9 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 22 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉

10、出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 第 5 页（共 19 页） 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个

11、接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 第 6 页（共 19 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（37） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1

12、，2 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 3:2 = 1 ，则 =（ ） A1+5i B15i C15i D1+5i 【解答】 解： 因为 3:2 = 1 ， 所以 zi （1i） （3+2i） 5i， 所以 = 1 5， 1 + 5， 故选：D 3 （5 分）设命题 p：所有正方形都是平行四边形，则p 为（ ） A所有正方形都不是平行四边形 B有的平行四边形不是正方形 C有的正方形不是平行四边形 D不是正方形的四边形不是平行四边形 【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论 故p，有的正方形不是平行四边形 故选：C 4 （5 分）20102018 年之间，受益于基础

13、设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及 智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状 态根据该折线图，下列结论正确的个数为（ 每年市场规模量逐年增加；增长最快的一年为 20132014； 这 8 年的增长率约为 40%； 2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每年的市场规模，数据方 差更小，变化比较平稳 第 7 页（共 19 页） A1 B2 C3 D4 【解答】解：对于，除 2012 年外，每年市场规模量逐年增加，即错误， 对于，增长最快的一年为 20132014，且增量为 6.7（十亿美元） ，即正确， 对于，这

14、8 年的增长率约为 40%，因为 45.3（1+40%）63.4263.5，即正确， 对于，分析数据可得：2014 年至 2018 年每年的市场规模相对于 2010 年至 2014 年每 年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，即正确， 即正确， 故选：C 5 （5 分）青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展， 高度重视农村义务教育” 精神， 现有 5 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、 乙、 丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去 1 人，则恰好有 2 名大学生分配去甲学校的 概率为（ ） A2 5 B3 5 C1 5 D 2 15 【解答】解：现有 5

15、 名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学 校去支教，每个学校至少去 1 人， 基本事件总数 n（5 14133 2 2 + 5 23211 2 2 ） 3 3 =150， 恰好有 2 名大学生分配去甲学校包含的基本事件个数 m= 5 2321122 =60， 恰好有 2 名大学生分配去甲学校的概率为 P= = 60 150 = 2 5 故选：A 6 （5 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） 第 8 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排

16、除 D， 故选：C 7 （5 分） 矩形 ABCD 中， BC2， 沿对角线 AC 将三角形 ADC 折起， 得到四面体 ABCD， 四面体 ABCD 外接球表面积为 16，当四面体 ABCD 的体积取最大值时，四面体 A BCD 的表面积为（ ） A43 + 39 2 B43 + 39 C23 + 39 2 D23 + 39 【解答】解：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半， 所以长宽分别为 2 和 1 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起二面角，得到四面体 ABCD， 则四面体 ABCD 的外接球的球心 O 为 AC 中点，半径 R= 1 2AC， 所求四面体 ABCD 的外接

17、球的表面积为 4R216；R2AC4AB23 矩形 ABCD 中，AB23，BC2，沿 AC 将三角形 ADC 折起， 当平面 ADC平面 ABC 时，得到的四面体 ABCD 的体积最大，如图所示； 过点 D 作 DO平面 ABC，垂足为 O， 第 9 页（共 19 页） 则点 D 到平面 ABC 的距离为 dOD= = 223 4 = 3， 过点 O 作 OMAB，作 ONBC，垂足分别为 M、N，连接 DM，DN； 则 BMAB，DNBC； 所以 AO1，OC3， 所以 OM= 1 2，ON= 33 2 ； 所以 DM= 2+ 2= 13 2 ， DN= 2+ 2= 39 2 ； 又 SA

18、DCSABC= 1 2 2 3 22 3， SACD= 1 2ABDM= 1 2 2 3 13 2 = 39 2 ， SBCD= 1 2BCDN= 1 2 2 39 2 = 39 2 ； 所以四面体 ABCD 的表面积为： S2SABC+SACD+SBCD4 3 + 39； 故选：B 8 （5 分）f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， （x2+1）f（x）+2xf（x）0，且 f （1）0，则不等式 f（x）0 的解集是（ ） A （1，+） B （1，0）（1，+） C （，1） D （，1）（0，1） 【解答】解：令 F（x）（x2+1）f（x） ， 则 F（x）（x2+1）f

19、（x）+2xf（x） ， 当 x0 时， （x2+1）f（x）+2xf（x）0， 当 x0 时，F（x）0， F（x）（x2+1）f（x）在（0，+）上单调递减， f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）0， f（1）0， 当 0x1 时，F（x）（x2+1）f（x）0， f（x）0； 又 F（x）（x2+1）f（x）（x2+1）f（x）F（x） ， 第 10 页（共 19 页） F（x）（x2+1）f（x）为奇函数，又 x0 时，F（x）（x2+1）f（x）在（0，+） 上单调递减， x0 时，F（x）（x2+1）f（x）在（，0）上单调递减， f（1）0， 当 x1 时，F（x）（x2+

20、1）f（x）0，从而 f（x）0； 由得：0x1 或 x1 时 f（x）0 不等式 f（x）0 的解集是（0，1）（，1） 故选：D 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）给出下列命题，其中正确的命题有（ ） A若 aR，则（a+1）i 是纯虚数 B随机变量 XN（3，22） ，若 X2+3，则 D（）1 C公共汽车上有 10 位乘客，沿途 5 个车站，乘客下车的可能方式有 105种 D回归方程为 = 0.85 85.71中，变量 y 与 x 具有正的线性相关关系 EP（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.2，则 P（

21、A|B）0.4 【解答】解：A：若 aR，当 a1 时， （a+1）i 是实数；故 A 错； B：随机变量 XN（3，22） ，EX3，DX4；若 X2+3= 3 2 ，则 D（）D （ 2 3 2）= ( 1 2) 2D（X）=1 4 41；B 对； C：根据题意，公共汽车沿途 5 个车站，则每个乘客有 5 种下车的方式，则 10 位乘客共 有 510种下车的可能方式；故 C 对； D：因为 = 0.85 85.71中，0.850，故量 y 与 x 具有正的线性相关关系，即 D 对； E：因为 P（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.2，则 P（A|B）= () () = 0.2 0.

22、3 = 2 3， 故 E 错 故选：CD 10 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在双 曲线的左支上，若 2|MF2|5|MF1|，则双曲线的离心率可以是（ ） A3 B7 3 C2 D5 3 第 11 页（共 19 页） 【解答】解：由双曲线的定义可得|MF2|MF1|= 3 2|MF1|2a， 根据点 M 在双曲线的左支上，可得|MF1|= 4 3 ca， e= 7 3， 双曲线离心率的最大值为7 3，观察选项，选项 BCD 符合题意 故选：BCD 11 （5 分）已知函数 f（x）2sinxcosx2sin2x，给出下列四个选项

23、，正确的有（ ） A函数 f（x）的最小正周期是 B函数 f（x）在区间 8 ， 5 8 上是减函数 C函数 f（x）的图象关于点( 8 ，0)对称 D函数 f（x）的图象可由函数 = 22的图象向右平移 8个单位，再向下平移 1 个 单位得到 【解答】解：f（x）sin2x2sin2x+11sin 2x+cos 2x1= 2sin（2x+ 4）1 对于 A：因为 2，则 f（x）的最小正周期 T，结论正确 对于 B： 当 x 8 ， 5 8 时， 2x+ 4 2 ， 3 2 ， 则 sinx 在 8 ， 5 8 上是减函数， 结论正确 对于 C：因为 f（ 8）1，得到函数 f（x）图象的一

24、个对称中心为（ 8，1） ，结 论不正确 对于 D：函数 f（x）的图象可由函数 y= 2sin2x 的图象向左平移 8个单位再向下平移 1 个单位得到，结论不正确 故正确结论有 A，B， 故选：AB 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 是 DD1的中点，则下列选项中正 确的是（ ） AACB1E BB1C平面 A1BD C三棱锥 C1B1CE 的体积为1 3 D异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 45 第 12 页（共 19 页） 【解答】解：如图， ACBD，ACBB1，AC平面 BB1D1D， 又 B1E平面 BB1D1D，ACB1E，故 A 正确；

25、 B1CA1D，A1D平面 A1BD，B1C平面 A1BD，B1C平面 A1BD，故 B 正确； 三棱锥 C1B1CE 的体积为1;1= 1;1= 1 3 1 2 1 1 = 1 6，故 C 错误； BDB1D1，CB1D1是异面直线 B1C 与 BD 所成的角，又CB1D1是等边三角形， 异面直线 B1C 与 BD 所成的角为 60，故 D 错误 故选：AB 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知向量 =（1，1） ， = (， 2)，且 ( + 2 )，则 m 的值等于 2 【解答】解：根据题意，向量 =（1，1）

26、 ， = (， 2)， 则 +2 =（1+2m，3） ， 若 ( + 2 )，则有 1+2m3，解可得：m2； 故答案为：2 14 （5 分）函数 f（x）= 在点 P（1，f（1） ）处的切线与直线 2x+y30 垂直，则 a 2 【解答】解：由题意得：() = ()2 = 又切线与直线 2x+y30 垂直，故切线斜率 k= 1 2 (1) = = 1 2， = 2 故答案为： 2 第 13 页（共 19 页） 15 （5 分）抛物线 x26y 的焦点到直线 3x+4y10 的距离为 1 【解答】解：抛物线 x26y 的焦点为（0，3 2） ，所以点（0， 3 2）到直线 3x+4y10 的

27、 距离 d= |30+43 21| 32+42 = 5 5 = 1 故答案为：1 16 （5 分）已知数列an满足对m，nN*，都有 am+anan+m成立，7= 2，函数 () = 2 + 42 2，记 ynf（an） ，则数列yn的前 13 项和为 26 【解答】解：对m，nN*，都有 am+anan+m成立， 可令 m1 即有 an+1ana1，为常数，可得数列an为等差数列， 函数() = 2 + 42 2 =sin2x+2（1+cosx） ， 由 f（x）+f（x）sin2x+2（1+cosx）+sin2（x）+2（1+cos（x） ）4， 可得 f（x）的图象关于点（ 2，2）对称

28、， a1+a13a2+a12a6+a82a7， f（a1）+f（a13）f（a2）+f（a12）f（a6）+f（a8）4，f（a7）2， 可得数列yn的前 13 项和为 46+226 故答案为：26 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，且满足 = 3; （1）求 sin2A； （2）若 a1，ABC 的面积为2，求 b+c 的值 【解答】解： （1） = 3;， 由正弦定理可得：cosA（3sinBsinC）sinAcosC， 可得：3sinBcosAsinAcosC+cosAsinC

29、sin（A+C）sinB， sinB0， 可得 cosA= 1 3， A（0，） ， sinA= 1 2 = 22 3 ，sin2A2sinAcosA= 42 9 第 14 页（共 19 页） （2）SABC= 1 2bcsinA= 2， bc3， 又cosA= 1 3 = 2+22 2 ， b2+c2（b+c）22bc3，即（b+c）29， b+c3 18 （12 分）记 Sn为等比数列an的前 n 项的和，且an为递增数列，已知 a24，S314 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn（1）n 2:1 22+1，求数列bn的前 2n 项之和 T2n 【解答】解： （1）由题意，可知

30、S3a1+a2+a3a1+4+a314，即 a1+a310 a1a3a2216， 根据韦达定理，可得 a1，a3是方程 x210x+160 的两根， 解得 x12，x28 数列an为递增数列， a12，a38 设等比数列an的公比为 q，则 q= 2 1 = 4 2 =2 an22n 12n，nN* （2）由（1）知， bn（1）n 2:1 22+1 =（1）n 2:1 2222+1 （1）n:(:1) (:1) =（1）n （1 + 1 :1） 则 T2nb1+b2+b3+b2n1+b2n （1+ 1 2）+（ 1 2 + 1 3）（ 1 3 + 1 4）+（ 1 2;1 + 1 2）+（

31、1 2 + 1 2:1） 1 1 2 + 1 2 + 1 3 1 3 1 4 + 1 21 1 2 + 1 2 + 1 2+1 1+ 1 2+1 = 2 2+1 19 （12 分）直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F 分别是 CC1，BC 的中点， 第 15 页（共 19 页） 且 AEA1B1， （1）证明：AB平面 A1ACC1 （2） 棱 A1B1上是否存在一点 D， 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 14 14 若存在，说明点 D 的位置，若不存在，说明理由 【解答】 （1）证明：AEA1B1，A1B1AB， ABAE 又ABAA1，AEAA

32、1A， AB平面 A1ACC1 （2）解：AB平面 A1ACC1 又AC平面 A1ACC1， ABAC 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz 则 A（0，0，0） ，E（0，1，1 2） ，F（ 1 2， 1 2，0） ，A1（0，0，1） ，B1（1，0，1） 假设存在，1 =11 ，且 0，1， D（，0，1） 设平面 DEF 的法向量为 n（x，y，z） ， 则 = 0 = 0 ， =（ 1 2， 1 2， 1 2） ， =（1 2 ，1 2，1） ， 1 2 + 1 2 + 1 2 = 0 (1 2 ) + 1 2 = 0 ， 第 16 页（共 19 页） 即 = 3

33、2(1) = 1+2 2(1) ， 令 z2（1） ， n（3，1+2，2（1） ） 由题可知平面 ABC 的一个法向量 m（0，0，1） 平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 14 14 ， |cos（m，n）|= | | | |= 14 14 ， 即 |2(1;)| 9:(1:2)2:4(1;)2 = 14 14 ， = 1 2或 = 7 4（舍） ， 当点 D 为 A1B1中点时，满足要求 20 （12 分）已知函数 f（x）xasinx，g（x）x+mlnx （）求证：当|a|1 时，对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立； （）求函数 g（x）的极值； （）当 a

34、= 1 2时，若存在 x1，x2（0，+）且 x1x2，满足 f（x1）+g（x1）f（x2） +g（x2） ，求证： 12 2 4 9 【解答】解： （1）f（x）xasinx，f（x）1acosx 1cosx1，|a|1，f（x）1acosx0， f（x）xasinx 在（0，+）上为增函数， 当 x（0，+）时，恒有 f（x）f（0）0 成立 （2）由 g（x）x+mlnx，() = 1 + = + (0) 第 17 页（共 19 页） 当 m0 时，g（x）0，g（x）在（0，+）上为增函数，无极值； 当 m0，0xm，g（x）0；xm，g（x）0， g（x）在（0，m）上为减函数，在

35、（m，+）上为增函数， xm，g（x）有极小值m+mln（m） ，无极大值， 综上，当 m0 时，g（x）无极值； 当 m0 时，g（x）有极小值m+mln（m） ，无极大值 （3）当 = 1 2，() = 1 2 在（0，+）上为增函数， 由（2）知，当 m0 时，g（x）在（0，+）上为增函数， 此时 f（x）+g（x）在（0，+）上为增函数， 不可能存在 x1，x2（0，+） ，满足 f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2）且 x1x2 有 m0，不防设 0x1x2，则由 f（x1）+g（x1）f（x2）+g（x2） ， 得21 1 2 1+ 1= 22 1 2 2+ 2， (2 1

36、) = 2(2 1) 1 2( 2 1) 由 x1sinx1x2sinx2，得 1 2 (2 1) 1 2(2 1) 由式，得(2 1)2(2 1) 1 2 (2 1)， 即(2 1) 3 2 (2 1)0， 又 lnx1lnx2，lnx2lnx10， 3 2 21 21 0 要证12 2 4 9，即证 29 412， m0，0x1x2，即证 3 211 由式，知只需证明 2;1 2;1 12，即证 2 1;1 2 1 2 1， 设 = 2 1 1，只需证;1 ，即证：;1 0(1)， 令() = 1 (1)，则() = (1)2 2 0(1)， h（t）在（1，+）上为增函数，h（t）h（1

37、）0 2;1 2;1 12成立， 由知， 3 2120， 第 18 页（共 19 页） 12 2 4 9成立 21 （12 分）已知椭圆 C： 2 2 + 2= 1（a1）的离心率是 2 2 （）求椭圆 C 的方程； （）已知 F1，F2分别是椭圆 C 的左、右焦点，过 F2作斜率为 k 的直线 l，交椭圆 C 于 A，B 两点，直线 F1A，F1B 分别交 y 轴于不同的两点 M，N如果MF1N 为锐角，求 k 的取值范围 【解答】解： （）由题意， = 2 2 2= 1 2= 2+ 2 ，解得 a22 椭圆 C 的方程为 2 2 + 2= 1； （）由已知直线 l 的斜率不为 0，设直线

38、l 的方程为 yk（x1） ， 直线 l 与椭圆 C 的交点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = ( 1) 2 2 + 2= 1 ，得（2k2+1）x24k2x+2k220 由已知，0 恒成立，且1+ 2= 42 22+1，12 = 222 22+1， 直线 F1A 的方程为 = 1 1+1 ( + 1)，令 x0，得 M（0， 1 1:1） ， 同理可得 N（0， 2 2:1） 1 1 = 1 + 12 (1+1)(2+1) = 1 + 2(11)(21) (1+1)(2+1) = (1+2)12+(12)(1+2)+1+2 12+1+2+1 ， 将代入并化简得：1 1 =

39、721 821， 依题意，MF1N 为锐角，则1 1 = 721 821 0， 解得：k2 1 7或 k 21 8 综上，直线 l 的斜率的取值范围为（， 7 7 ）（ 2 4 ，0）（0， 2 4 ）（ 7 7 ，+ ） 22 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 第 19 页（共 19 页） 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设

40、计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 概率均为1 4， 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P（C）1P（C）1（1 5 32）（1