2021年新高考数学模拟试卷（34）.docx

1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（34） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）设 x，yR，若复数: ;是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ayx B = 1 Cyx D = 1 3 （5 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）

2、已知( 6) = 3 5，则( + 3) =（ ） A3 5 B 3 5 C4 5 D 4 5 5 （5 分）将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若 每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概 率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 9 6 （5 分）数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称 它们为六边形数，那么第 10 个六边形数为（ ） A153 B190 C231 D276 7（5 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O 剪

3、去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA，OB 重合，则以 A（B）C，D，O 为顶点的四面体 的外接球的体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A86 B24 C6 D48 8 （5 分）已知函数() = 4 2+2 1的图象与 g（x）2sinx 的图象在8，10有 k 个交 点，分别记作（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xk，yk） ，则 1 (+ ) =（ ） A9 B10 C19 D20 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列说法错误的是（ ） A垂直于同一个平面的两条直线平行 B 若两个

4、平面垂直， 则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 C一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行 D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 10 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的实轴长为 6，焦距为 10，右焦点为 F， 则下列结论正确的是（ ） AC 的渐近线上的点到 F 距离的最小值为 4 BC 的离心率为5 4 CC 上的点到 F 距离的最小值为 2 D过 F 的最短的弦长为32 3 11 （5 分）已知直线 l：2kx2ykp0 与抛物线 C：y22px（p0）相交于 A，B 两点， 点 M（1，1）是抛

5、物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的 是（ ） Ap2 Bk2 C|AB|5 DMAB 的面积为55 12 （5 分）设 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，f（x） ，g（x）为其 导函数，当 x0 时，f（x） g（x）+f（x） g（x）0 且 g（3）0，则使得不等式 第 3 页（共 21 页） f（x） g（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，3） B （3，0） C （0，3） D （3，+） 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（1+ax）2（

6、1x）5的展开式中，所有 x 的奇数次幂项的系数和为64，则 实数 a 的值为 14 （5 分）若函数 f（x）sinx+cosx 在0，a上单调递增，则 a 的取值范围为 15 （5 分）在ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，记ABC 的面积为 S，且 2 3 = ， = 4 5，则 cosC 的值为 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABC 和ABD 都是边长为 22的等边三角形，该四面体 的外接球表面积为 12，则该四面体 ABCD 的体积为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分） 已知数列an是等比数列， 数列

7、bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 18（12分） 如图所示， 在锐角三角形ABC中， B= 4， AC3， AB= 36 2 ， 作CDBC且 = 3 （1）求 BC 与 AD 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，D、E、F、G 分别为 AA1， AC、A1C1、BB1，的中点，且 = = 5， = 23，1= 15 （1）证明：AF平面 BEC1； （2）证明：ACFG； （3）求直线 BD 与平面 BEC1所

8、成角的正弦值 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分） 已知离心率为 2 2 的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0） 的左顶点为 A， 左焦点为 F， 及点 P（4，0） ，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列 （1）求椭圆 C 的方程 （2）斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记 = ，线段 MN 上的点 Q 满足 = ，试求OPQ（O 为坐标原点）面积的取值范围 21 （12 分） 脐橙营养丰富， 含有人体所必需的各类营养成份， 若规定单个脐橙重量 （单位： 千克）在0.1，0.3）的脐橙是“普通果” ，重量在0.3，0.5）的磨橙是“精

9、品果” ，重量在 0.5，0.7的脐橙是“特级果” ，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质， 随机摘取 100 个脐橙进行检测，其重量分别在0.1，0.2） ，0.2，0.3） ，0.3，0.4） ，0.4， 0.5） ，0.5，0.6） ，0.6，0.7中，经统计得到如图所示频率分布直方图 （1）将频率视为概率，用样本估计总体现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取 5 个 脐橙，求恰有 3 个是“精品果”的概率 （2）现从摘取的 100 个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为0.4，0.5） ，0.5，0.6）的 脐橙中随机抽取 10 个，再从这 10 个抽取 3 个，记随机变量 X

10、 表示重量在0.5，0.6）内 的脐橙个数，求 X 的分布列及数学期望 22 （12 分）已知函数 f（x）ax+x2lnx 第 5 页（共 21 页） （1）证明：当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点； （2）设 a 为正整数，若不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立，求 a 的最大值 第 6 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（34） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ）

11、A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （5 分）设 x，yR，若复数: ;是纯虚数，则点 P（x，y）一定满足（ ） Ayx B = 1 Cyx D = 1 【解答】解：由: ; = (:)(:) (;)(:) = ;1 2:1 + : 2:1 是纯虚数， 1 = 0 + 0 ，得 x0，y= 1 故选：B 3 （5 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 ab，取 a1，b2，则|a|b|，则“ab”

12、是“|a|b|”不充分条 件； 若|a|b|，取 a2，b1，则 ab，则“|a|b|”是ab”不必要条件； 则 aR，bR “ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件， 故选：D 4 （5 分）已知( 6) = 3 5，则( + 3) =（ ） A3 5 B 3 5 C4 5 D 4 5 【解答】解：已知( 6) = 3 5，则( + 3) =cos 2 （+ 3）cos（ 6 ）cos （ 6）= 3 5， 故选：A 5 （5 分）将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活动，若 第 7 页（共 21 页） 每个学生被分到三个小组的概率都相等，则这个班的甲，乙

13、两同学分到同一个小组的概 率为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 9 【解答】解：将某校高一 3 班全体学生分成三个小组分别到三个不同的地方参加植树活 动， 每个学生被分到三个小组的概率都相等， 这个班的甲，乙两同学分配的基本事件总数 n339， 这个班的甲，乙两同学分到同一个小组包含的基本事件个数 m3， 则这个班的甲，乙两同学分到同一个小组的概率为 p= = 3 9 = 1 3 故选：C 6 （5 分）数列 1，6，15，28，45，中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称 它们为六边形数，那么第 10 个六边形数为（ ） A153 B190 C231 D276 【解答】解：

14、因为：1， 61+5， 151+5+9， 281+5+9+13， 451+5+9+13+19； 即这些六边形数是由首项为 1，公差为 4 的等差数列的和组成的； 所以：cn1n+ (1) 2 42n2n； 第 10 个六边形数为：210210190 故选：B 7（5 分） 如图所示， 在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中， AC 与 BD 相交于 O 剪去AOB， 将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA，OB 重合，则以 A（B）C，D，O 为顶点的四面体 的外接球的体积为（ ） 第 8 页（共 21 页） A86 B24 C6 D48 【解答】 解： 翻折后的几何体为底面边长为 4，

15、侧棱长为 22的正三棱锥 OACD， 如图， 取 CD 中点 E，连结 AE，作 OF平面 ABC，交 AE 于 F，则 F 是ACD 的重心， 由题意知AE= 16 4 =2 3 ，AF= 2 3 = 43 3 ， OF= 2 2=(22)2 (4 3 3 )2= 26 3 ， 设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R，则 G 在直线 OF 上， 且 OGAGR， 由 AG2AF2+GF2，得： R2（43 3 ）2+（R 26 3 ）2，解得 R= 6， 以 A（B） 、C、D、O 为顶点的四面体的外接球的体积为 V= 4 3R 386 故选：A 8 （5 分）已知函数() = 4 2

16、+2 1的图象与 g（x）2sinx 的图象在8，10有 k 个交 点，分别记作（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xk，yk） ，则 1 (+ ) =（ ） A9 B10 C19 D20 【解答】解：() = 4 2+2 1，其定义域为 R，该函数在 R 上为减函数， 又 f（1+x）+f（1x）= 4 2+21+ 1 + 4 2+21 1 第 9 页（共 21 页） = 2 1+2 + 22 2+1 2 = 2(1+2) 1+2 2 = 0， f（x）的图象关于（1，0）对称； 又 g（x）2sinx 的周期 T= 2 = 2，且 g（1）0， g（x）的图象也关于（1，0）对称，

17、在同一坐标系中作出两个函数的图象如图， 在8，10内有 9 个周期， 故 1 (+ ) =92+119 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分）下列说法错误的是（ ） A垂直于同一个平面的两条直线平行 B 若两个平面垂直， 则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 C一个平面内的两条直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行 D一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 【解答】解：由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A 对； 由面面垂直的性质定理知，若两个平面

18、垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线 的直线与另一个平面垂直，B 对； 一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行， 则这两个平面可能平行， 相交， C 错； 一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面可能垂直，平行，相 交，D 错 故选：CD 第 10 页（共 21 页） 10 （5 分）若双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的实轴长为 6，焦距为 10，右焦点为 F， 则下列结论正确的是（ ） AC 的渐近线上的点到 F 距离的最小值为 4 BC 的离心率为5 4 CC 上的点到 F 距离的最小值为 2 D过 F 的最短的弦长为32 3 【解答】解：由题意可得

19、2a6，2c10，所以 a3，c5，b= 2 2=4，右焦点 F （5，0） ，渐近线的方程为 4x3y0， 所以C的渐近线上的点到F距离的最小值F到渐近线的距离d= =b4， 所以A正确， 离心率 e= = 5 3，所以 B 不正确； 双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小，532，所以 C 正确； 过焦点最短的弦长为垂直与 x 轴的直线与双曲线的弦长，2 2 = 32 3 ，故 D 正确， 故选：ACD 11 （5 分）已知直线 l：2kx2ykp0 与抛物线 C：y22px（p0）相交于 A，B 两点， 点 M（1，1）是抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆的公共点，则下列结论正确的 是

20、（ ） Ap2 Bk2 C|AB|5 DMAB 的面积为55 【解答】解：直线 l：2kx2ykp0 整理可得 k（2xp）2y0，恒过（ 2，0） ，即过 抛物线的焦点 F， 所以抛物准线方程为 x= 2，点 M（1，1）是抛物线 C 的准线与以 AB 为直径的圆 的公共点，M 在抛物线的准线上，所以 2 = 1，解得 p2， 所以 A 正确，焦点坐标为（1，0） ，直线 l 整理可得 yk（x1） ， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与抛物线的方程 = ( 1) 2= 4 ，整理可得：k2x2 （2k2+4）x+k20， x1x21，x1+x2= 22+4 2 ，y1+

21、y2k（x1+x22）= 4 ，y1y2412 = 4， 第 11 页（共 21 页） 由题意可得 =0，即（x1+1，y1+1） （x2+1，y2+1）0 整理可得 x1x2+（x1+x2）+1+y1y2+（y1+y2）+10，代入可得 1+ 22+4 2 +14+ 4 +10， 解得： 4 2 + 4 +10，解得 k2，所以 B 正确， 所以 x1x21，x1+x23， 所以弦长|AB|= 1 + 2(1+ 2)2 412= 5 5 =5，所以 C 正确； 直线 AB 的方程为：y2（x1） ，即 2x+y20，所以 M 到直线 AB 的距离 d= |212| 5 = 5， 所以 SMA

22、B= 1 2|AB|d= 1 2 5 5 = 55 2 ，所以 D 不正确， 故选：ABC 12 （5 分）设 f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，f（x） ，g（x）为其 导函数，当 x0 时，f（x） g（x）+f（x） g（x）0 且 g（3）0，则使得不等式 f（x） g（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，3） B （3，0） C （0，3） D （3，+） 【解答】解：f（x） ，g（x）分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数， f（x）f（x） ，g（x）g（x） ， 令 h（x）f（x） g（x） ， 则 h（x）h（x） ， 故 h（x）f（x

23、） g（x）为 R 上的奇函数， 当 x0 时，f（x） g（x）+f（x） g（x）0， 即 x0 时，h（x）f（x） g（x）+f（x） g（x）0， h（x）f（x） g（x）在区间（，0）上单调递减， 奇函数 h（x）在区间（0，+）上也单调递减， 第 12 页（共 21 页） 又 g（3）0， h（3）h（3）0， 当 x（3，0）（3，+）时，h（x）f（x） g（x）0， 故选：BD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在（1+ax）2（1x）5的展开式中，所有 x 的奇数次幂项的系数和为64，则 实数

24、a 的值为 3 或1 【解答】解：设（1+ax）2（1x）5a0+a1x+a7x7， 当 x1 时，a0+a1+a70， 当 x1 时，a0a1+a7（1a）232， 所以 a1+a3+a7a0+a2+a616（1a）264， 得|a1|2， 故 a3 或者1， 故答案为：3 或者1 14 （5 分）若函数 f（x）sinx+cosx 在0，a上单调递增，则 a 的取值范围为 （0， 4 【解答】 解： 函数 f （x） sinx+cosx= 2sin （x+ 4） 在0， a上单调递增， 而 x+ 4 4， a+ 4， a+ 4 2，即 0a 4， 故答案为： （0， 4 第 13 页（共

25、21 页） 15 （5 分）在ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，记ABC 的面积为 S，且 2 3 = ， = 4 5，则 cosC 的值为 33;4 10 【解答】解：由 = 4 5，A（0，）可得 = 3 5， 由 2 3 = 得 2 3 1 2 =cacosB， 得 tanB= 3，B= 3， cosCcos（A+B） sinAsinBcosAcosB = 3 5 3 2 4 5 1 2 = 334 10 ， 故答案为：33;4 10 16 （5 分）在四面体 ABCD 中，ABC 和ABD 都是边长为 22的等边三角形，该四面体 的外接球表面积为 12，则该四面

26、体 ABCD 的体积为 8 3 【解答】解：如图， 设三角形 ABD 的中心为 G，三角形 ABC 的中心为 H， 分别过 G 与 H 作平面 ABD 与平面 ABC 的垂线相交于 O， 则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，连接 OA， 由该四面体的外接球表面积为 12，得 OA= 3， 在 RtOGA 中，又 GA= 26 3 ，OG=3 8 3 = 3 3 在 RtOGE 中，OG= 3 3 ，GE= 6 3 ，则 OE1， 第 14 页（共 21 页） sinOEG= 3 3 ，cosOEG= 6 3 ， sinCEG2 3 3 6 3 = 22 3 C 到底面 ABD 的距离

27、dCEsinCEG= 6 22 3 = 43 3 则该四面体 ABCD 的体积为 V= 1 3 1 2 22 6 43 3 = 8 3 故答案为：8 3 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分） 已知数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1 （1）求an的通项公式； （2）求bn的前 n 项和 【解答】 解：（1） 数列an是等比数列， 数列bn满足 b1b2= 1 2， b3= 3 8， an+1bn+12 nbn+1， 当n1可得a2b22b1+1， 即有a22 （1+1） 4，

28、 n2时， a3b34b2+1， 即有a3= 8 3 （2+1） 8， 可得等比数列an的公比为 2，且 an42n 22n； （2）由 an+1bn+12nbn+1，即 2n+1bn+12nbn+1， 可得2nbn为首项为 1，公差为 1 的等差数列，可得 2nbn1+n1n， 则 bnn （1 2） n， 即有bn的前 n 项和为 Sn11 2 +2 （1 2） 2+3 （1 2） 3+n （1 2） n， 1 2Sn1 （ 1 2） 2+2 （1 2） 3+3 （1 2） 4+n （1 2） n+1， 相减可得1 2Sn= 1 2 +（1 2） 2+（1 2） 3+（1 2） nn （1

29、 2） n+1 = 1 2(1 1 2) 11 2 n （1 2） n+1， 化简可得bn的前 n 项和为 2（n+2） （1 2） n 18（12分） 如图所示， 在锐角三角形ABC中， B= 4， AC3， AB= 36 2 ， 作CDBC且 = 3 （1）求 BC 与 AD 的长； （2）求四边形 ABCD 的面积 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）在ABC 中，由正弦定理得 = ， 则 = 36 2 4 3 = 3 2 ， 又0 2， = 3， = ( +) = 5 12， 由正弦定理，得 = = 35 12 4 = 32+6 4 2 2 = 3+33 2 ， 又 CD

30、BC， = = 3 2 ， 在ABC 中，由余弦定理，得 AD2AC2+CD22ACCDcosACD， 2= 9 + 3 2 3 3 3 2 = 3，即 = 3 （2）由（1）知， = 3 2 ，0 2， = 1 2， = 1 2 = 1 2 3 3 1 2 = 33 4 ，= 1 2 4 = 1 2 36 2 3+33 2 2 2 = 93+27 8 ， 四边形= + = 93+27 8 + 33 4 = 153+27 8 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，CC1底面 ABC，D、E、F、G 分别为 AA1， AC、A1C1、BB1，的中点，且 = = 5， = 23，

31、1= 15 第 16 页（共 21 页） （1）证明：AF平面 BEC1； （2）证明：ACFG； （3）求直线 BD 与平面 BEC1所成角的正弦值 【解答】 （1）证明：连接 AF，E，F 分别为 AC，A1C1的中点且 ACA1C1，ACA1C1 FC1AE，FC1AE四边形 AEC1F 是平行四边形，AFEC1 又 AF平面 BEC1，EC1平面 BEC1，AF平面 BEC1 （2）证明：在三棱柱 ABCA1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形 又 E，F 分别为 AC，A1C1的中点，ACEF ABBCACBE，AC平面 BEF 又 G 是 BB1中点，BB1

32、EF，G 在平面 BEF 内，ACFG （3）解：过 D 作 DOC1E 于点 O，连接 BO， 易证 BE平面 ACC1A1，DOBE，DO平面 BEC1从而DBO 就是所求的角 计算得， = 35 2 ， = 310 4 = = 314 14 直线 BD 与平面 BEC1所成的角的正弦值为314 14 另解： （3）以 E 为原点，EA 所在的直线为 x 轴，EB 所在的直线为 y 轴， 建立空间直角坐标系 Exyz，如图示 第 17 页（共 21 页） 易得 = (3， 2， 5 2 )，平面 BEC1的一个法向量为 = (5，0，1) 设直线 BD 与平面 BEC1所成的角为 ， 则

33、= | ， | = | | | = 314 14 ， 直线 BD 与平面 BEC1所成的角的正弦值为314 14 20 （12 分） 已知离心率为 2 2 的椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0） 的左顶点为 A， 左焦点为 F， 及点 P（4，0） ，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列 （1）求椭圆 C 的方程 （2）斜率不为 0 的动直线 l 过点 P 且与椭圆 C 相交于 M、N 两点，记 = ，线段 MN 上的点 Q 满足 = ，试求OPQ（O 为坐标原点）面积的取值范围 【解答】解： （1）根据题意得 = 2 2 2= 4 ，解得 = 2 = 22b2， 所以椭圆 C 的方程

34、 2 8 + 2 4 = 1 第 18 页（共 21 页） （2） 解法一： 设 M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， Q （x3， y3） ， 则 12 8 + 12 4 = 1 22 8 + 22 4 = 1 12 8 + 12 4 = 1 222 8 + 222 4 = 2 相减得：(1:2)(1;2) 8(1:)(1;) + (1:2)(1;2) 4(1:)(1;) =1， （*） 由 = ，知1;2 1; = 4，1;2 1; = 0， 由 = ，知1:2 1: = 3，1:2 1: = 3， 代入（*）式得，1 8 3 (4) + 0 = 1，即 x32， 又因为 Q

35、 在椭圆内，所以(;2) 2 8 + 32 4 10|y3|2， 所以OPQ面积 S= 1 2 4|3| =2|y3|（0，22） ， 解法二：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，Q（x3，y3） ，则1 + 4 = (2+ 4) 1= 2 ，y3= 1+2 1+ ， 设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，代入椭圆 C 的方程得： （t2+2）y28ty+80，由0 得 t22，|t|2， 所以 (1 + )2= 8 2+2 22= 8 2+2 ，消去 y2得到(1:) 2 = 82 2:2， 所以 y3= 22 1+ = 2 1+ 8 (2+2)(1+) = 2 (1+)2

36、8 2+2 = 2 ， 因此OPQ 的面积 S= 1 2 4|3| = 4 |（0，22） 解法三：设直线 l 的方程为 xty4， （t0） ，代入椭圆 C 的方程得： 1+ 2= 8 2+2 12= 8 2+2 ，|MN|2+ 1|1 2|， = + = 1 + 1+ = 2 12 ， 原点 O 到直线 l 的距离 d= 4 2+1， 所以OPQ 的面积 S= 1 2 2 |12| 2+ 1|y1y2| 4 2:1 = 4 |1;2| |1 2|， 因为 y1y2= 1 2，所以 S= 41 2 |11 2 22| |y1y2|= 412 |1+2| = 4 |（0，22） 21 （12

37、分） 脐橙营养丰富， 含有人体所必需的各类营养成份， 若规定单个脐橙重量 （单位： 千克）在0.1，0.3）的脐橙是“普通果” ，重量在0.3，0.5）的磨橙是“精品果” ，重量在 第 19 页（共 21 页） 0.5，0.7的脐橙是“特级果” ，有一果农今年种植脐橙，大获丰收为了了解脐橙的品质， 随机摘取 100 个脐橙进行检测，其重量分别在0.1，0.2） ，0.2，0.3） ，0.3，0.4） ，0.4， 0.5） ，0.5，0.6） ，0.6，0.7中，经统计得到如图所示频率分布直方图 （1）将频率视为概率，用样本估计总体现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取 5 个 脐橙，求恰有 3

38、个是“精品果”的概率 （2）现从摘取的 100 个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为0.4，0.5） ，0.5，0.6）的 脐橙中随机抽取 10 个，再从这 10 个抽取 3 个，记随机变量 X 表示重量在0.5，0.6）内 的脐橙个数，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （1）从从脐橙果园中，随机摘取 5 个脐橙，其中“精品果”的个数记为 Y， 由图可知，随机摘取一个脐橙，是“精品果”的概率为：0.2+0.30.5， YB（5，1 2） ， 随机摘取 5 个脐橙，恰有 3 个是“精品果”的概率为： P（Y3）= 5 3(1 2) 3(1 2) 2 = 5 16 （2）依题意，抽取 10

39、 个 脐橙，重量为0.3，0.4） ，0.4，0.5）的个数分别为 6 和 4， X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X0）= 6 3 10 3 = 1 6，P（X1）= 6 2 4 1 10 3 = 1 2， P（X2）= 6 1 4 2 10 3 = 3 10，P（X3）= 4 3 10 3 = 1 30， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 第 20 页（共 21 页） E（X）= 0 1 6 + 1 1 2 + 2 3 10 + 3 1 30 = 6 5 22 （12 分）已知函数 f（x）ax+x2lnx （1）证明：当 a0 时，函数

40、f（x）有唯一的极值点； （2）设 a 为正整数，若不等式 f（x）ex在（0，+）内恒成立，求 a 的最大值 【解答】 （1）证明：函数 f（x）的定义域为（0，+） ，f（x）a+x+2xlnx， 设 g（x）a+x+2xlnx， 则 g（x）2lnx+3，2 分 当 x（; 3 2，+）时，因为 g（x）0， 所以 g（x）在（; 3 2，+）内单调递增， 又因为 g（; 3 2）a+; 3 2+2; 3 2ln; 3 2=a2; 3 20， g （e a） a+ea+2ealneaa+ea2aeaea+a （12ea） 0， 所以存在x 0 （; 3 2， ea） ， 使 g（x0）0，对于 x（; 3 2，x0） ，都有 g（x）0，对于 x（x0，+） ，都有 g（x） 0；4 分 当 x（0，; 3 2）时，g（x）a+x（1+2lnx）a2x0，5 分 因为 g（x）0， 所以 g（x）在（; 3 2，+）内单调递增， 又因为 g（; 3 2）a+; 3 2+2; 3 2ln; 3 2=a2; 3 20， 综上可得，f（x0）0，当（0，x0）时，f（x）0，当 x（x0，+）时，f（x） 0，因此，当 a0 时，函数 f（x）有唯一的极值点；6 分 （2）解：当 x（0，+）时，不等式 f（x）ex，等价于 2 lnx