2020年高考数学（文科）全国2卷高考模拟试卷（7）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（7） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 2 （5 分）若集合*|24+ = *|2 (;)0+，则实数 a 值为（ ） A0 B1 C2 D3 3 （5 分）椭圆 2x2my21 的一个焦点坐标为（0，2） ，则实数 m（ ） A2 3 B2 5 C 2 3 D 2 5 4 （5 分）记等

2、比数列an满足 2a25a33a4，则公比 q（ ） A1 3 B1 3或2 C2 D1 9 5（5 分） 某部门有 8 位员工， 其中 6 位员工的月工资分别为 8200， 8300， 8500， 9100， 9500， 9600（单位：元） ，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元，则 这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A9100 B8800 C8700 D8500 6 （5 分）函数 f（x）= + 3 + 1 +1，的定义域为（ ） Ax|x3 且 x1 Bx|x3 且 x1 Cx|x1 Dx|x3 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中有关

3、于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） 第 2 页（共 18 页） A5 B4 C3 D2 8 （5 分）函数 f（x）（x2ax）exax+a2（e 为自然对数的底数，aR，a 为常数）有三 个不同零点，则 a 的取值范围是（ ） A( 1 ，0) B （，0） C( 1 ，+ ) D （0，+） 9 （5 分）设函数 f（x）2cos（1 2x 3） ，若对任意 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2）成立， 则|x1x2|的最小值为（ ） A4 B2 C

4、D 2 10 （5 分）已知向量 ， 是两个夹角为 3的单位向量，且 =3 +5 ， =4 +7 ， = +m ，若 A，B，C 三点共线，则 =（ ） A12 B14 C16 D18 11 （5 分）已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形， 则异面直线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） 第 3 页（共 18 页） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 12 （5 分）已知双曲线 E： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 C：y216x 有相同的焦 点 F，抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双曲线 E 右支上的动点，且P

5、FF 的周长的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ） A3 B2 C3 D2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若函数 f（x）（a2） ax为指数函数，则 a 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 的侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，且 ABACAD1，则 三棱锥的外接球的表面积是 16 （5 分） 已知等差数列an满足： a25， 且数列an前 4 项和 S428 若 bn （1）

6、 nan， 则数列bn的前 2n 项和 T2n 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某校高一新生共有 320 人，其中男生 192 人，女生 128 人为了解高一新生对 数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取 5 人进行访谈 （）这 5 人中男生、女生各多少名？ （）从这 5 人中随即抽取 2 人完成访谈问卷，求 2 人中恰有 1 名女生的概率 18（12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形， BADCDA90， PA平面 ABCD，PAADDC1，AB2 （1）证明

7、：平面 PAC平面 PBC； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 第 4 页（共 18 页） 19 （12 分）已知函数() = ( + 6) （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，若() = 1 2，且 a5，c8， 求 b 的值 20 （12 分）已知抛物线 E：y2ax（a0） ，过焦点 F 的斜率存在的直线与抛物线交于 C， D，且 1 | | + 1 | | =4 （1）求抛物线的方程； （2）已知 yx 与抛物线交于点 P（异于原点） ，过点 Q（0，1 2） ，作斜率小于 0 的直线 l 交抛物线于 M，N 两点（

8、点 M 在 Q，N 之间） ，过点 M 作 y 轴的平行线，交 OP 于 A，交 ON 于 B，PMA 与OAB 的面积分别为 S1，S2，求2 1的取值范围 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） ，g（x）x22x+2 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点 x1 处的切线方程； （2）当 = 1 2时，求函数 f（x）在区间1，e上的最大值和最小值； （3）若对任意的 x11，2，均存在 x2（0，+） ，使得 g（x1）f（x2） ，求 a 的取 值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10

9、分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 第 5 页（共 18 页） （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）解不等式：x+|2x1|3 （2）求函数 yxlnx 的导数 第 6 页（共 18 页）

10、2020 年高考数学（文科）全国年高考数学（文科）全国 2 卷高考模拟试卷（卷高考模拟试卷（7） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设 i 为虚数单位，复数 = 2+3 ，则 z 的共轭复数是（ ） A32i B3+2i C32i D3+2i 【解答】解： = 2+3 = (2+3)() 2 = 3 2， = 3 + 2 故选：B 2 （5 分）若集合*|24+ = *|2 (;)0+，则实数 a 值为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：集合*|24+ = *|2 (;)0

11、+， x|x2x|xa+1， a+12，解得 a1 故选：B 3 （5 分）椭圆 2x2my21 的一个焦点坐标为（0，2） ，则实数 m（ ） A2 3 B2 5 C 2 3 D 2 5 【解答】 解： 椭圆 2x2my21 的标准方程为： 2 ; 1 + 2 1 2 = 1， 一个焦点坐标为 （0， 2） ， 可得 1 2 1 = 2，解得 m= 2 5， 故选：D 4 （5 分）记等比数列an满足 2a25a33a4，则公比 q（ ） A1 3 B1 3或2 C2 D1 9 【解答】解：等比数列an满足 2a25a33a4， 依题意，22 52 = 322， 即 3q2+5q20，故（3

12、q1） （q+2）0， 解得 = 1 3或 q2， 故选：B 第 7 页（共 18 页） 5（5 分） 某部门有 8 位员工， 其中 6 位员工的月工资分别为 8200， 8300， 8500， 9100， 9500， 9600（单位：元） ，另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元，则 这 8 位员工月工资的中位数可能的最大值为（ ） A9100 B8800 C8700 D8500 【解答】解：另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为 17000 元， 若不考虑这 2 人，中位数为 8500+910017600，1760028800， 若这两人的月工资一个大于

13、 9100，另一个小于 8500，则中位数不变， 若这两个人的工作位于 8500 与 9100 之间，且这两个数关于 8800 对称， 8500 与 9100 也是关于 8800 对称，所以中位数也是 8800， 此时这 8 位员工月工资的中位数取最大值为：8800， 故选：B 6 （5 分）函数 f（x）= + 3 + 1 +1，的定义域为（ ） Ax|x3 且 x1 Bx|x3 且 x1 Cx|x1 Dx|x3 【解答】解：要使 f（x）有意义，则： + 3 0 + 1 0； 解得 x3，且 x1； f（x）的定义域为：x|x3，且 x1 故选：A 7 （5 分）宋元时期数学名著算学启蒙中

14、有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长 一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若 输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于（ ） 第 8 页（共 18 页） A5 B4 C3 D2 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1 n1 a= 9 2，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16 此时，满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：B 8 （5 分）函数 f（x）（x2ax）exax

15、+a2（e 为自然对数的底数，aR，a 为常数）有三 个不同零点，则 a 的取值范围是（ ） A( 1 ，0) B （，0） C( 1 ，+ ) D （0，+） 【解答】解：f（x）0 时， （x2ax）exax+a20，x（xa）exa（xa）0（x a） （xexa）0， 得 xa 或 axex，函数 f（x）有三个不同零点， 第 9 页（共 18 页） 则 ya 与 g（x）xex有两个不同的交点，而 g（x）ex+xexex （x+1） ， 令 g（x）0，x1，x（，1） ，g（x）0，x（1，+） ，g（x） 0， 所以 g（x）g（1e 1= 1 ，函数 g（x）大致图象如下：

16、ya 与 g（x）的图象有两个交点的范围（ 1 ，0） 故选：A 9 （5 分）设函数 f（x）2cos（1 2x 3） ，若对任意 xR 都有 f（x1）f（x）f（x2）成立， 则|x1x2|的最小值为（ ） A4 B2 C D 2 【解答】解：函数 f（x）2cos（1 2x 3） ，若对于任意的 xR，都有 f（x1）f（x）f （x2） ， f（x1）是函数的最小值，f（x2）是函数的最大值，|x1x2|的最小值就是函数的半周期， 2 = 1 2 2 1 2 =2； 故选：B 10 （5 分）已知向量 ， 是两个夹角为 3的单位向量，且 =3 +5 ， =4 +7 ， = +m ，若

17、 A，B，C 三点共线，则 =（ ） A12 B14 C16 D18 【解答】解：由 A，B，C 三点共线，得 = + (1 ) = (4 ) + (7 2) ， 故4 = 1 7 2 = ，解得 m1， 第 10 页（共 18 页） = (3 + 5 ) ( + ) = 3 2 + 8 + 5 2 = 12 故选：A 11 （5 分）已知两个正方形 ABCD 和 CDEF 有一条公共边 CD，且BCF 是等边三角形， 则异面直线 AC 和 DF 所成角的余弦值为（ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 【解答】解：取 CD 的中点 M，CF 的中点 N，连接 MN，则 MNDF延长 B

18、C 到 P， 使 CP= 1 2BC， 连接 MP，NP，则 MPAC令 AB2，则 MPMN= 2， 又BCF 是等边三角形，NCPC1，由余弦定理可得：NP= 3， 异面直线 AC 和 DF 所成角为NMP，cosNMP= 2+23 222 = 1 4 故选：B 12 （5 分）已知双曲线 E： 2 2 2 2 =1（a0，b0）与抛物线 C：y216x 有相同的焦 点 F，抛物线 C：x212y 的焦点为 F，点 P 是双曲线 E 右支上的动点，且PFF 的周长的最小值为 14，则双曲线 E 的离心率为（ ） A3 B2 C3 D2 【解答】解：由题意得抛物线 C 的焦点为 F（4，0）

19、 ，抛物线 C的焦点 F（0，3） ， 设双曲线的右焦点为 F0，则三角形 PFF的周长 L|PF|+|PF|+|FF| |PF|+|PF0|+2a+5|FF0|+2a+510+2a14，故 a2， 所以 e= = 2 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若函数 f（x）（a2） ax为指数函数，则 a 3 第 11 页（共 18 页） 【解答】解：函数 f（x）（a2） ax为指数函数， 2 = 1 0，且 1， 解得：a3， 故答案为：3 14 （5 分）已知实数 x，y 满足约束条件 2 + 1 2( 2

20、) ，若 zx+ty（t0）的最大值为 11， 则实数 t 4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 zx+ty 得 y= 1 x+ ， 平移直线 y= 1 x+ ， 由图象知当直线 y= 1 x+ 经过点 A 时，直线的截距最大此时 z 最大为 11， 由 = 2 = 2( 2)得 A（3，2） ， 则 3+2t11，得 2t8，t4， 故答案为：4 15 （5 分）已知三棱锥 ABCD 的侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，且 ABACAD1，则 三棱锥的外接球的表面积是 3 【解答】解：将该三棱锥放在正方体中，由题意可得正方体的棱长为 1， 再由正方体的对角线等于外接球的直径

21、2R 可得， 外接球的半径（2R）23123， 所以外接球的表面积 S4R23 故答案为：3 第 12 页（共 18 页） 16 （5 分） 已知等差数列an满足： a25， 且数列an前 4 项和 S428 若 bn （1） nan， 则数列bn的前 2n 项和 T2n 4n 【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为 d，首项为 a1， 又由an满足：a25，且数列an前 4 项和 S428， 则有2 = 1+ = 5 4= 2(5 + 5 + ) = 28， 解可得 a11，d4， 则 ana1+（n1）d4n3； bn（1）nan（1）n（4n3） ， T2n1+59+1317+（8

22、n3）4n4n； 故答案为：4n 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）某校高一新生共有 320 人，其中男生 192 人，女生 128 人为了解高一新生对 数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取 5 人进行访谈 （）这 5 人中男生、女生各多少名？ （）从这 5 人中随即抽取 2 人完成访谈问卷，求 2 人中恰有 1 名女生的概率 【解答】解： （）这 5 人中男生人数为192 320 5 = 3，女生人数为128 320 5 = 2 （）记这 5 人中的 3 名男生为 B1，B2，B3，2 名女生为

23、 G1，G2， 则样本空间为： （B1，B2） ， （B1，B3） ， （B1，G1） ， （B1，G2） ， （B2，B3） ， （B2，G1） ， （B2，G2） ， （B3， G1） ， （B3，G2） ， （G1，G2）， 样本空间中，共包含 10 个样本点 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生” ， 则 A（B1，G1） ， （B1，G2） ， （B2，G1） ， （B2，G2） ， （B3，G1） ， （B3，G2）， 第 13 页（共 18 页） 事件 A 共包含 6 个样本点 从而() = 6 10 = 3 5 所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为3 5 1

24、8（12 分） 如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 是直角梯形， BADCDA90， PA平面 ABCD，PAADDC1，AB2 （1）证明：平面 PAC平面 PBC； （2）求点 D 到平面 PBC 的距离 【解答】 解：（1） 证明： 由已知得 AC= 2+ 2= 2， BC= 2+ ( )2= 2， AB2， AC2+BC2AB2，BCAC， PA平面 ABCD，BC平面 ABCD，PABC， PAACA，BC平面 PAC， BC平面 PBC，平面 PAC平面 PBC （2）解：由（1）得 BC平面 PAC，BCAC， BC= 2，PC=12+ (2)2= 3， 设点 D

25、 到平面 PBC 的距离为 d， VPBCDVDPBC， 1 3 1 2 = 1 3 1 2 BCd， 1 3 1 2 1 1 1 = 1 3 1 2 3 2 ， 解得 d= 6 6 ， 点 D 到平面 PBC 的距离为 6 6 第 14 页（共 18 页） 19 （12 分）已知函数() = ( + 6) （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）在ABC 中，角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，若() = 1 2，且 a5，c8， 求 b 的值 【解答】解： （1）由于() = ( + 6) = 3 2 sinx+ 1 2cosxcosx= 3 2 sinx 1 2cosx= (

26、6)， 令 2k 2 x 6 2k+ 2，kZ，可得： 3 +2kx 2 3 +2k，kZ， 可得 f（x）的单调递增区间为, 3 + 2， 2 3 + 2-， （2）() = 1 2， 可得 sin（B 6）= 1 2， B（0，） ，B 6（ 6， 5 6 ） ， B 6 = 6，可得 = 3， a5，c8， 由余弦定理可得 b= 2+ 2 2 =25 + 64 2 5 8 1 2 =7 20 （12 分）已知抛物线 E：y2ax（a0） ，过焦点 F 的斜率存在的直线与抛物线交于 C， D，且 1 | | + 1 | | =4 （1）求抛物线的方程； （2）已知 yx 与抛物线交于点 P

27、（异于原点） ，过点 Q（0，1 2） ，作斜率小于 0 的直线 l 交抛物线于 M，N 两点（点 M 在 Q，N 之间） ，过点 M 作 y 轴的平行线，交 OP 于 A，交 第 15 页（共 18 页） ON 于 B，PMA 与OAB 的面积分别为 S1，S2，求2 1的取值范围 【解答】解： （1）由抛物线方程得：焦点 F（ 4，0） ， 由题意直线 CD 的斜率不为 0， 设直线 CD 的方程为：xmy+ 4， 设 C（x，y） ，D（x，y） ， 联立直线 CD 与抛物线的方程整理得： y24max 2 4 =0，y+y4ma，yy= 2 4 ， x+xm（y+y）+ 2 =4m2a

28、+ 2，xx= ()2 2 = 2 16， 所以 1 | | + 1 | | = 1 + 4 + 1 + 4 = + 2 + 4(+)+ 2 16 = 42+ 2 16+22+ 2 8 +2 16 = 42+ 4(42+) = 4 ， 所以4 =4，解得 a1， 所以抛物线方程为：y2x； （2）由（1）得，yx 代入抛物线中得 y2x，解得：y1， 所以可得 P 的坐标为（1，1） ， 第 16 页（共 18 页） 设 MN 的方程为：ykx+ 1 2， 设 M（x，y） ，B（x，y） ， 联立直线 MN 与抛物线的方程整理得：ky2y+ 1 2 =0，则 y+y= 1 ，yy= 1 2，

29、 因为 SPMA= 1 2|MA| （xPxM）= 1 2（yx） （1x） ，SOAB= 1 2|AB| （xA0）= 1 2（x ） x， 所以 = (; ) (;)(1;) = (2; 2 2) 2 (;2)(1;2)， 因为: =2，y= 21， 2 = 2 21 =y（2y1） ， 所以 = 2 1;2 = 1 1 2;1 ， 因为 y（0，1 2） ，所以 1 2（4，+） ， 所以 （0， 1 3） 21 （12 分）已知函数 f（x）ax+lnx（aR） ，g（x）x22x+2 （1）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点 x1 处的切线方程； （2）当 = 1 2时，求函数 f

30、（x）在区间1，e上的最大值和最小值； （3）若对任意的 x11，2，均存在 x2（0，+） ，使得 g（x1）f（x2） ，求 a 的取 值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）x+lnx，f（x）1+ 1 = 1+ ， f（1）2， 第 17 页（共 18 页） 又 f（1）1， 曲线 yf（x）在点 x1 处的切线方程为：y12（x1） ，即 2xy10； （2）当 = 1 2时，f（x）= 1 2x+lnx， f（x）= 1 2 + 1 = 2 2 ， 当 x1，2时，f（x）0，当 x2，e时，f（x）0， f（x）在区间1，2上单调递增，在区间2，e上单调递减， f（x）

31、maxf（2）ln21； 又 f（1）= 1 2，f（e）1 2，f（1）f（e）= 2 3 2 0， f（x）minf（1）= 1 2 （3）若对任意的 x11，2，均存在 x2（0，+） ，使得 g（x1）f（x2） ，问题可转 化为 g（x）maxf（x）max g（x）x22x+2（x1）2+1（1x2） ，其对称轴方程为 x1， 当 x1 时，g（x）取得最大值 g（1）5 又 f（x）ax+lnx（aR） ， f（x）a+ 1 ， 当 a0 时，f（x）在区间（0，+）上单调递增，f（x）无最大值； 当 a0 时，令 f（x）0，得 x= 1 ， 所以 f（x）在（0， 1 ）上单

32、调递增，在（ 1 ，+）单调递减， 故 f（x）maxf（ 1 ）1+ln（ 1 ）1ln（a） ， 所以 51ln（a） ， 解得：e 6a0 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； 第 18 页（共 18 页） （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C

33、2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解： （）直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 = ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 所以得到 2 3 + 2= 1（y0） （）直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32，转换为直角坐标方程为 x+y60 设曲线 C1的上的点 Q（3，）到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2 ， 当( + 3) = 1时， = 8 2 = 42 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）解不等式：x+|2x1|3 （2）求函数 yxlnx 的导数 【解答】 （1）x+|2x1|3， |2x1|3x， 3 0 2 13 2 1 3 解得，2x 4 3 故不等式解集为（2，4 3） ， （2）y1+lnx