大学精品课件:第八章(续)-最大流问题.ppt
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- 关 键 词:
- 大学 精品 课件 第八 最大 问题
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1、最大流问题 给给定一个有向图定一个有向图G G(V,E)(V,E),其中仅有一个点的入次其中仅有一个点的入次为零为零称为称为发点发点(源)(源),记为记为v vs s,仅有仅有一个点一个点的出次为的出次为零称为零称为收点(汇)收点(汇),记为,记为v vt t,其余点称为中间点。其余点称为中间点。基本概念基本概念3511 42352vsv2v1v3v4vt 对于对于G G中的每一个弧中的每一个弧(v vi i,v,vj j),相应相应地给地给一个数一个数c cijij(c cijij00),),称为弧称为弧(v vi i,v,vj j)的的容量容量。我们把这样的。我们把这样的D D称称为为网络
2、(或容量网络)网络(或容量网络),记为,记为G G(V,E,C)(V,E,C)。所谓网络上的所谓网络上的流流,是指定义在弧集,是指定义在弧集E E上的函数上的函数f ff(vf(vi i,v,vj j),并称并称f(vf(vi i,v,vj j)为为弧弧(v vi i,v,vj j)上的上的流量流量,简记为,简记为f fijij。3,15,21,01,0 4,12,23,15,22,1vsv2v1v3v4vt标示方式:每条边上标示两个数字,第一个是容量,第二标示方式:每条边上标示两个数字,第一个是容量,第二是流量是流量可行流、可行流的流量、最大流。可行流是指满足如下条件的流:(1)容量限制条件
3、:对G中每条边(vi,vj),有ijijcf 0(2)平衡条件:对中间点,有:kkijijff(即中间点vi的物资输入量等于输出量)对收点vt与发点vs,有:Wffjjtisi(即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量),W是网络的总流量。可行流总是存在的,例如f=0就是一个流量为0的可行流。所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。一个流f=fij,当fij=cij,则称f对边(vi,vj)是饱和的,否则称f对边(vi,vj)不饱和。最大流问题实际上是一个线性规划问题。但利用它与图的密切关系,可以利用图直观简便地求解。给定容量网络给定容量网络G G(V,A,E)(V,A,E),若
4、点集若点集V V被被剖剖分分为两个非空集合为两个非空集合V V1 1和和V V2 2,使使 v vs sVV1 1,v vt tVV2 2,则把则把弧集弧集(V V1 1,V,V2 2)称为(分离称为(分离v vs s和和v vt t的)的)割割集集。显然,若把某一显然,若把某一割割集的弧从网络中去掉,集的弧从网络中去掉,则从则从v vs s到到v vt t便不存在路。所以,直观上说,便不存在路。所以,直观上说,割割集是从集是从v vs s到到v vt t的必经之路。的必经之路。3511 42352vsv2v1v3v4vt注:有向边也称为弧。注:有向边也称为弧。对教材P259定义21的解释vs
5、v1v4v3vtv2边集(vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt),(v4,vt)是G的割集。其顶点分别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边,则图不连通,去掉这五条边中的任意1-4条,图仍然连通。割集的容量(简称割量)最小割集割集(V1,V2)中所有起点在V1,终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下图中所示割集的容量为53511 42352vsv2v1v3v4vt在容量网络的所有割集中,割集容量最小的割集称为最小割集(最小割)。对于可行流ffij,我们把网络中使fijcij的弧称为饱和弧,使fij0的弧称为非零流弧。设f是一个可行流,是从vs到vt的一条链,若满足前
6、向弧都是非饱和弧,后向弧都是都是非零流弧,则称是(可行流f的)一条增广链。3,15,21,01,0 4,12,23,15,22,1vsv2v1v3v4vt 若是联结发点vs和收点vt的一条链,我们规定链的方向是从vs到vt,则链上的弧被分成两类:前向弧、后向弧。对最大流问题有下列定理:定理定理1 1 容量网络中任一可行流的流量容量网络中任一可行流的流量不超过其任一割集的容量。不超过其任一割集的容量。定理定理2 2(最大流(最大流-最小最小割定理割定理)任一任一容容量网络中量网络中,最大流的流量等于最小,最大流的流量等于最小割割集集的的割割量。量。推论推论1 可行流可行流f*fij*是最大流,是
7、最大流,当且当且仅当仅当G中不存在关于中不存在关于f*的增广链。的增广链。求最大流的标号法求最大流的标号法 标号法思想是:标号法思想是:先找一个可行流。先找一个可行流。对于一个可行流,经过对于一个可行流,经过标号过程标号过程得到得到从发点从发点vs到收点到收点vt的增广链;经过的增广链;经过调整调整过程过程沿增广链增加可行流的流量,得沿增广链增加可行流的流量,得新的可行流。重复这一过程,直到可新的可行流。重复这一过程,直到可行流无增广链,得到最大流。行流无增广链,得到最大流。标号过程:(1)给vs标号(-,+),vs成为已标号未检查的点,其余都是未标号点。(2)取一个已标号未检查的点vi,对一
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