大学精品课件:第二章 线性规划与单纯形法(第7节).ppt
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1、第第1页页步骤:步骤:(1)找出初始基可行解;)找出初始基可行解;(2)检验各非基变量的检验数:)检验各非基变量的检验数:如果如果j 0,j=m+1,.,n,则当前解就是最优解,则当前解就是最优解,停止计算:,停止计算:miijijjacc1 第第2页页否则否则,转下步;,转下步;如果如果j 0,j=m+1,.,n 中,若某个非基变量中,若某个非基变量 xj 的系数列向量的系数列向量 Pk 0,则此问题无界,停止计算,否,则此问题无界,停止计算,否则转下步;则转下步;(4)根据)根据max(j 0)=k,来确定,来确定 xk 为换入变量为换入变量(最大检验数有多个时,可任选一个);(最大检验数
2、有多个时,可任选一个);第第4页页(5)根据下式来确定)根据下式来确定 x l 为换出变量:为换出变量:lklikikiabaab )0min(最小比值有多个时(下一步迭代会出现非基变量最小比值有多个时(下一步迭代会出现非基变量=0的情况,即退化现象),可任选一个(通常选择下的情况,即退化现象),可任选一个(通常选择下标较小的那个基变量标较小的那个基变量 x l 换出)。换出)。第第5页页(6)以)以 al k 为主元素进行旋转运算,从而得到一个为主元素进行旋转运算,从而得到一个新的基可行解。新的基可行解。(7)重复(重复(2)(6),直到找到问题的最优解。),直到找到问题的最优解。第第6页页
3、cjc1cmcm+1cniCBXBbx1xmxm+1xnc1x1b110a1,m+1a1n1c2x2b200a2,m+1a2n2cmxmbm01am,m+1amnmc j z j00 mimiimacc11,1 miniinacc1,第第7页页max z=2x1+3x2 0,12 4 16 482 .212121xxxxxxts例:例:第第8页页cj23000iCBXBbx1x2x3x4x50 x381210040 x41640010-0 x5120 4 0013c j z j23000解解:(:(1)将模型转化为标准型,得到初始单纯形表)将模型转化为标准型,得到初始单纯形表第第9页页cj23
4、000iCBXBbx1x2x3x4x50 x32 1 010-1/220 x4164001043x2301001/4-c j z j2000-3/4(2)x2 为换入变量,为换入变量,x5 为换出变量,进行旋转运算,为换出变量,进行旋转运算,得到新的单纯形表:得到新的单纯形表:第第10页页cj23000iCBXBbx1x2x3x4x52x121010-1/2-0 x4800-41 2 43x2301001/412c j z j00-201/4(3)x1 为换入变量,为换入变量,x3 为换出变量,进行旋转运算,为换出变量,进行旋转运算,得到新的单纯形表:得到新的单纯形表:第第11页页cj2300
5、0iCBXBbx1x2x3x4x52x141001/400 x5400-21/213x22011/2-1/80c j z j00-3/2-1/80(4)x5 为换入变量,为换入变量,x4 为换出变量,进行旋转运算,为换出变量,进行旋转运算,得到新的单纯形表:得到新的单纯形表:(5)得到问题的最优解:)得到问题的最优解:X=(4,2,0,0,4)T第第12页页1.当约束条件不等式均当约束条件不等式均 时,化成标准型后无法直时,化成标准型后无法直接得到一个初始可行基:接得到一个初始可行基:0,.,.1221111212111nmnmnmmnnxxbxaxaxabxaxaxa第第13页页 0,.,.
6、,.112211111212111mnnnmmnnmnmmnnnxxxxbxxaxaxabxxaxaxa引入剩余变量化为标准型,但无法直接得到初始可引入剩余变量化为标准型,但无法直接得到初始可行基:行基:第第14页页 0,.,.,.1122111111212111mnnnmmmnmnnmnmmmnnnnxxxxbxxxaxaxabxxxaxaxa可再引入可再引入 m 个新变量凑出初始可行基:个新变量凑出初始可行基:这些新变量无实际含义,完全是为了凑出初始可行这些新变量无实际含义,完全是为了凑出初始可行基以便于运算,称为人工变量。基以便于运算,称为人工变量。第第15页页 0,.,.1221111
7、212111nmnmnmmnnxxbxaxaxabxaxaxa2.当约束条件不等式为当约束条件不等式为=时,也无法直接得出一个时,也无法直接得出一个初始可行基,也可采取引入人工变量的方法凑出一初始可行基,也可采取引入人工变量的方法凑出一个初始可行基:个初始可行基:第第16页页 0,.,.,.112211111212111mnnnmmnnmnmmnnnxxxxbxxaxaxabxxaxaxa可引入人工变量凑出初始可行基:可引入人工变量凑出初始可行基:第第17页页3.当约束条件中有当约束条件中有、=时,要直接凑出初始可行时,要直接凑出初始可行基:基:(1)的不等式直接加上一个松弛变量;的不等式直接
8、加上一个松弛变量;(2)的不等式减去一个剩余变量,再加上一个人的不等式减去一个剩余变量,再加上一个人工变量;工变量;(3)等式直接加上一个人工变量。)等式直接加上一个人工变量。第第18页页 0,.,.1331312212111111nnnnnnnxxbxaxabxaxabxaxa 0,.,.13431312322121111111nnnnnnnnnnnxxbxxaxabxxxaxabxxaxa松弛变量松弛变量剩余变量剩余变量人工变量人工变量第第19页页1.大大 M 法法2.两阶段法两阶段法有人工变量引入时的求解方法有人工变量引入时的求解方法第第20页页人工变量为虚拟变量,完全是为了凑出初始可行
9、人工变量为虚拟变量,完全是为了凑出初始可行基而引入,所以在目标函数中人工变量的系数应基而引入,所以在目标函数中人工变量的系数应符合如下规则:符合如下规则:(1)目标函数为极大化:很大的负数()目标函数为极大化:很大的负数(-M)(2)目标函数为极小化:很大的正数()目标函数为极小化:很大的正数(M)1.大大 M 法法第第21页页注意:注意:最终单纯形表中,如果基变量中有最终单纯形表中,如果基变量中有非零的人工变量非零的人工变量,则问题无可行解。,则问题无可行解。人工变量目标函数系数设置的原因:人工变量目标函数系数设置的原因:使人工变量在迭代过程中尽快从基变量中被换出。使人工变量在迭代过程中尽快
10、从基变量中被换出。第第22页页 0 ,1 232 411 2 3min32131321321321xxxxxxxxxxxxxxz例:例:第第23页页 0,1 23 2 411 2 003 max76543217316532143217654321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxMxMxxxxxxz解:加入解:加入 松弛变量:松弛变量:x4 剩余变量:剩余变量:x5 人工变量:人工变量:x6 和和 x7 得到:得到:第第24页页cj3-1-100-M-MiCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-21100011-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20 1 00011
11、c j z j3-6MM-13M-10-M000 x4103-20100-1-Mx610 1 00-11-21-1x31-2010001-c j z j1M-100-M01-3M第第25页页cj3-1-100-M-MiCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x412 3 001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001-c j z j1000-11-M-1-M3x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3c j z j000-1/3-1/31/3-M2/3-M第第26页页问题的最优解:问题的最优解:X
12、=(x1,x2,x3)=(4,1,9)T2.两阶段法两阶段法第一阶段:第一阶段:给原线性规划问题加入人工变量,并构给原线性规划问题加入人工变量,并构造仅含人工变量的目标函数。造仅含人工变量的目标函数。第第27页页 0,.,.max1221111121211121mnnmmnnmnmmnnnmnnnxxbxxaxaxabxxaxaxaxxx 0,.,.max12211112121112211nmnmnmmnnnnxxbxaxaxabxaxaxaxcxcxcz第第28页页然后利用单纯形法求解上述模型,如果最终单纯然后利用单纯形法求解上述模型,如果最终单纯形表中无非零的人工变量,说明原问题存在基可形
13、表中无非零的人工变量,说明原问题存在基可行解,进行第二阶段,否则原问题无可行解,停行解,进行第二阶段,否则原问题无可行解,停止计算。止计算。第第29页页第二阶段:第二阶段:将第一阶段的最终单纯形表除去人工将第一阶段的最终单纯形表除去人工变量;将目标函数行的系数换成原问题的目标函变量;将目标函数行的系数换成原问题的目标函数系数;作为第二阶段计算的初始单纯形表,进数系数;作为第二阶段计算的初始单纯形表,进行计算。行计算。第第30页页 0 ,1 232 411 2 3max32131321321321xxxxxxxxxxxxxxz例:例:解:解:0,1 23 2 411 2 max765432173
14、165321432176xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxz第一阶段第一阶段第第31页页cj00000-1-1iCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4111-21100011-1x63-4120-1103/2-1x71-20 1 00011c j z j-6130-1000 x4103-20100-1-1x610 1 00-11-210 x31-2010001-c j z j0100-10-3第第32页页cj00000-1-1iCBXBbx1x2x3x4x5x6x70 x4123001-22-50 x210100-11-20 x31-2010001c j z j00000-1-
15、1第二阶段第二阶段第第33页页3x141001/3-2/3-1x210100-1-1x390012/3-4/3c j z j000-1/3-1/3cj3-1-100iCBXBbx1x2x3x4x50 x412 3 001-24-1x210100-1-1x31-20100-c j z j1000-1第第34页页退化问题退化问题用用规则确定换出变量时出现两个以上相同的最小比值规则确定换出变量时出现两个以上相同的最小比值下一次迭代中必有一个或几个基变量等于下一次迭代中必有一个或几个基变量等于0第第35页页当没有出现退化问题时:单纯形法的每次迭代都当没有出现退化问题时:单纯形法的每次迭代都会使目标函数
16、值有所改进,从而在有限次迭代中收会使目标函数值有所改进,从而在有限次迭代中收敛于一个最优解。敛于一个最优解。当退化问题出现时:单纯形法的每次迭代不能保当退化问题出现时:单纯形法的每次迭代不能保证会使目标函数值都有所改进,从而也无法保证在证会使目标函数值都有所改进,从而也无法保证在有限次迭代后收敛于一个最优解。有限次迭代后收敛于一个最优解。从而,退化问题是一个有待证明是否能够收敛的问从而,退化问题是一个有待证明是否能够收敛的问题。题。第第36页页限入循环无法收敛于最优解限入循环无法收敛于最优解从而迭代后的新基可行解不能使目标函数值更优从而迭代后的新基可行解不能使目标函数值更优用用规则确定换出变量
17、时出现两个以上相同的最小比值规则确定换出变量时出现两个以上相同的最小比值下一次迭代中必有一个或几个基变量等于下一次迭代中必有一个或几个基变量等于0每一次迭代的非基变量被换入后,值均为每一次迭代的非基变量被换入后,值均为 0 每次跌代的换出变量均是值为每次跌代的换出变量均是值为 0 的基变量的基变量退化问题可能造成的一种无法收敛于最优解的情况退化问题可能造成的一种无法收敛于最优解的情况第第37页页退化问题出现时,可能会出现上述死循环情况的出退化问题出现时,可能会出现上述死循环情况的出现,使问题无法收敛于最优解,但这种情况出现的现,使问题无法收敛于最优解,但这种情况出现的几率是非常小的。几率是非常
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