线性代数课后答案(戴天时陈殿友著)吉林大学数学学院.docx

1、第一周作业解答1.1(A)习题2. 设甲省两个城市 a1,a2 和乙省三个城市 b1,b2,b3 的交通路线如图 1,3. 乙省三个城市 b1,b2,b3 和丙省两个城市 c1,c2,的交通路线如图 2,4. 其中每条线上的数字表示联结该两城市的不同道路的总数.试用矩阵表示甲乙两省及乙丙两省间的通路信息.解 用 aij 表示联结 ai 与 bj 的不同道路的总数,则甲乙两省的通路信息可用矩阵 312 103表示;用 bij 表示联结 bi 与 cj 的不同道路的总数,则乙丙两省的通路信息可用矩阵 21 34 12表示.1. 计算下列矩阵的乘积: 132) 2140 0- 212;习题 1.2(

2、A) 1- a134 1- 112 40b - 11 5) a- a ; mamb bb 解13121400126782)113413120510402ab11005)aamambbb002. 设矩阵111123A111 , B124 ,111求 3AB -2A 及 A T B.解051111123058AB111124056111051290015242223 AB2 A015182226270222213222172042920581 11123056A TB1 11111102541290P12 ,Q12,1, 23. 已知 A =PQ ,其中求 A 及 A 100.解 1 2- 12A

3、 = PQ = (- 1,2)= 4- 24 2 2, 1 2- 12Qp = (2,- 1 )( ) 1,2 2 = 21 A100 = ( PQ )100 = P (QP )99 Q = p(2)99 Q = P (299 )Q= 299 ( PQ ) = 299 A 2- 1299= 2 4- 24 . 2- 12第十八周习题解答习题 6.4(A)2. 判断下列实二次型是否正定1) f ( x , x , x ) = x 2 + 2 x 2 - 3 x 2 + 4 x x+ 2 x x12312312232) f ( x , x , x) = 5 x 2 + 3 x 2 + x 2- 4

4、 x x- 2 x x12312312233) f ( x , x , x) = 3 x 2 + 4 x 2 + 5 x 2+ 4 x x- 4 x x1231231223解: 1)二次型的矩阵 120 A = 221 ,A=12 = -2 0, A12= 8 0, 2432A = 240- 2故二次型正定.0- 2 = 24 0, 53. 设有实二次型f ( x , x , x ) = x 2 + 2 x 2 + 8 x 2 + ax x+ 4 x x ,1231231223试确定实数 a 的取值范围,使相应的二次型 正定.解:二次型的矩阵1a / 20A = a / 222028A= 1

5、0, A=121a / 2a / 2 2a2= 2 -4 0, a 0,28a 6,故当 a 时,二次型正定.6第二周作业解答习题 1.3(A)3.设矩阵 3400求 A4 .解A = 4- 300 00002022 34A2 = 4- 30000 3400 4- 320 00000020 0022 0022 250000250004008=004 25000 2500002500040080250004008A4 = 000044 625000 0625000160064=0 0 81习题 1.4(A)3. 设 A 为反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A2 是对称阵；(2) AB-BA

6、是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是 AB=BA.( A2 )T = ( AT )2 = (- A)2 = A2 ,证 (1) A2 是对称阵.( AB - BA)T = ( AB)T - ( BA)T(2)= B(- A) - (- A)B= BT AT - AT BT= AB - BA AB-BA 是对称阵.( AB)T= BT AT= B(- A) = - BA(3)若 AB 是反称阵，则AB=BA( AB)T= - AB，有若 AB=BA，则( AB)T= - AB，AB 是反称阵，AB 是反称阵的充分必要条件是 AB=BA.第三周习题解答习题 1.4(A)3. 设 A 为

7、反称矩阵，B 是对称阵，试证：(1) A2 是对称阵；(2) AB-BA 是对称阵；(3) AB 是反称阵的充分必要条件是 AB=BA.证 (1) A2 是对称阵.( A2 )T = ( AT )2 = (- A)2 = A2 ,(2)( AB - BA)T = ( AB)T - ( BA)T= BT AT - AT BT= B(- A) - (- A)B= AB - BA AB-BA 是对称阵.(3)( AB)T = BT AT = B(- A) = - BA( AB)T若 AB 是反称阵，则AB=BA= - AB，有若 AB=BA，则( AB)T= - AB，AB 是反称阵，AB 是反称阵

8、的充分必要条件是 AB=BA.习题 1.5(A)1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵 102- 10310411) 2 3解 102-12031102-1-2r +r-3r1+r213 00-13 3043 00- 26 102-1r2(-1) 001- 3 00- 26 -2r +r2r +2 r 12 3 13) 1 23 1005 001-3 00- 13- 4- 12- 2- 23- 2- 34- 200 3101解 1- 13- 43 1- 13- 43 - 12- 2 1-r +r 1-21r +2r 00- 12- 2 -3r1+r3 2- 23- 2 01 400- 36- 6 3

9、- 3 4- 2 1 00- 510- 8 1 - 13- 43 1- 1 02- 3-3r +r3r2+r1 001- 22 r2 001- 22 5 r2+r3 (-1) 00- 36- 6 00- 510- 82 40 000000002 1- 1 02- 3 001- 2200010000r 14 2rr 04 30- 10201- 2000000 103r +r 00-2r3+r1 3 20100第五周习题解答习题 2.1(A)1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式201(1)1- 4- 1- 183解2011- 4- 1 = 2 (-4) 3 + 0 (-1) (-1)- 183+

10、 1 1 8 - 1 (-4) (-1) - 0 1 3 - 2 (-1) 8=-43.求 i 出 j 与，使 817i25j49 成为奇排列。解 t(817325649)=7+0+5+1+0+1+1+0=15所以 817325649 是奇排列，i=3, j=65. 在五阶行列式中，下列各均布项应取什么符号？(1) aa13 24aaa32 41 55； (2) aa31 42aaa.13 24 55解 (1)t(34215)=2+2+1+0=5，aa所以13 24aa32 41a55 取负号；(2) aaaaa31 42 13 24 55= aa13 24aaa31 42 55t(34125

11、)=2+2+0+0=4，aa所以31 42aa1324a。55取正号1. 计算下列各行列式的值(1)第六周习题解答习题 2.2(A)015611- 111234111- 1120111111350 ;(2)1- 111;- ab(3) bd bfac- cd cfae de ;- ef解12011350-r +r12012140156015612340033015- 11(1)-r=+r12011201-r=+r015- 1 r =r 015- 1 = -272 33400070033003300071111-r +r1111- 1 2131- 111r +r-0- 200(2)r=+r= -

12、811- 11111- 11 400- 20000- 2- abacae- bce(3)bd bf- cd cfde= adfb- efb- cec- e- 111= abcdef11- 11 = 4abcdef1- 12. 证明ax + byay + bzaz + bxxyz(2) ay + bzaz + bxax + by = (a3 + b3 ) yzx 证:az + bxax + byay + bzzxyaxay + bzaz + bxbyay + bzaz + bx左边 = ayaz + bxax + by + bzaz + bxax + byazax + byay + bzbxax

13、 + byay + bzxay + bzaz + bxyay + bzaz + bx= a yaz + bxax + by+ b zaz + bxax + byzax + byay + bzxax + byay + bzxay + bzazybzaz + bx= a yaz + bxax + b zbxax + byzax + byayxbyay + bzxay + bzzyzaz + bx= a2 yaz + bxx+ b2 zxax + byzax + byyxyay + bzxayzyzbx= a2 yazx + b2 zxbyzaxyxybzxyzyzx= a3 yzzxx + b3

14、zxyyxyzxyzxyz= a3 yzzxx + b3 yzxyzxyxyz= (a3 + b3 ) yzzxx = 右边y习题 2.2(B)1. 计算下列各方阵的行列式 11 / 2 1 / 2 1 / 2 abcd (1) ;1 / 211 / 2 1 / 2- ba(3)1 / 2 1 / 211 / 2- c- dd- c;ab 1 / 2 1 / 2 1 / 21 - dc- ba 解11/ 21 / 21/ 221111/ 21/ 211/ 216 11211/ 21/ 21 / 211112511110100 = 5160010160001(1) 1/ 211 / 21/ 2

15、=1 12111165111521151215112c +c=j 1j 2=, 3,4-r +r i=12=, 3i,4 abcd - ba(3) A =- c- dd- c,ab - dc- ba abcd a- b- c- d - baAAT =- c- dd- cba- d ab cdac a- b- dc- bad- cba2 + b2 + c2 + d 2000= 0a2 + b2 + c2 + d 2000000a2 + b2 + c2 + d 200a2 + b2 + c2 + d 2 A 2 = A AT = AAT = (a2 + b2 + c 2 + d 2 )4 A =

16、(a2 + b2 + c2 + d 2 )2 .第七周习题解答习题 2.3(A)1. 计算下面 4 阶方阵的行列式的值 a100 (1) - 1b 0- 1c 00- 1解 按第一行展开a100- 1b100- 1c100- 1d10 .1 db10- 110= a - 1c1 + 1 (-1)1+2 0c10- 1d0- 1d= a (bcd + b + d ) - (-cd - 1)= abcd + ab + ad + cd + 12. 计算下列行列式1 + a11L1(3) D =11 + aL21 , 其中a a La 0.解 (加边法)nMM11ML 1 + an1 2n111L10

17、1 + a11L1D = 011 + aL1n2MMMM011L 1 + an-r +r11- 1a1L10L0=-ai=2, 31,L,in+1.110L02MM- 10MM0Lan1aci+1 +c1 + n 1ai=1 i11L10ia10L0i=1, 2=,L,n.010aL02MMMM000Lann= a a La(1 + 1 )1 2nai=1i习题 2.3(B)1. 计算下列方阵的行列式 a1111 0 1a00(2) B = 11a00 00 , 其中a 0, k = 0,1,2,3,4.2k解 100a0 10030a4a101- a ci+1 +ci- 4 11111a0i

18、=1 ia000B i=1, 2=, 3，4.00010a00200a03000a4= a a a a (a1 2 3 40- 1 )4ai=1i2. 用 Laplace 定理计算下列行列式1110012300(1) 011110xxxx0x2x2x2x212341234解 按第 1,2 行展开11111原式 =(-1)1+2+1+2 xxx12234x2x2x223411111+(-1)1+2+1+3 xxx13134x2x2x2134= ( x - x )( x - x )( x - x )434232- 2( x4存在问题:- x )( x34- x )( x13- x )15. 按第

19、1,4 列展开,方法不简便.第八周习题解答习题 3.1(A)3. 已知 n 阶方阵 A 满足 A3=0，试证 E-A 可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证 A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以 E-A 可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。第八周习题解答习题 3.1(A)3. 已知 n 阶方阵 A 满足 A3=0，试证 E-A 可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。证 A3=0，则(E-A)(E+A+A2)=E3-A3=E.(E+A+A2)(E-A)=E3-A3=E.所以 E-A 可逆，且(E-A)-1=E+A+A2。2(

20、2). 解矩阵方程第九周习题解答习题 3.2(A) 123 13 221 X 35 = 20 12 343 31 123 1 0 0 -2r +r 12310 0 -3r1 +r2 解 22 1 0 1 0 1 3 43 0 0 12 0 - 2 - 5 - 2 1 0 0 - 2 - 6 - 3 0 1 10- 2 - 110 23r +r 100 1 3 - 2r ( -1)r +r 5r3 +r1 -r2 +r13 20 - 2 0 3 6 - 52 3 0 - 2 - 5 - 210 00- 1 - 1 - 1 1 001 1 1 - 11 10013- 2 r2( - 2 ) 010

21、 - 3/2- 35 / 2 00111- 1 , 123-113- 2 221 343= - 3 / 2- 35 / 2 ,11- 1 35-1 = 2- 5 12 - 13 , 123-1 13X = 221 20 35-1 12 343 3113- 2 1X3 2- 5= - 3 / 2- 35 / 2 20 - 13 11- 1 31 11 1- 2= 0- 22- 5 = 2- 6 - 13 02 - 26 8. 设矩阵 A 满足 AB=A+2B,且 03 3A = 11 0 - 1 2 3求矩阵 B.解 由 AB=A+2B,得(A-2E)B=A, - 233A - 2E = 1-

22、10 , - 121 - 233 100 2r +r 013120 r2 +r1 1- 10 010 2 - 121 0013 1- 1 0100101011r +r-r1+r2 103130r 1r3 12 0131200- 2- 1- 11r ( - 1 )32 100- 1/23/23/2 -3r +r-3r3 +r13 2 010- 1/21/23/2 011/21/2- 1/2 - 133 1 ( A - 2E )-1 = 2 - 113 11- 1 - 133 1 033B = ( A - 2E )-1 A = - 113 110 - 12 033= - 123 11011- 1

23、2311.设 P-1AP =L, 其中 - 1- 4 - 10P = 11 , L = 02求 A11.644444117个L444448解 A11 = ( PLP -1 )11 = P L( P -1 P )L( P -1 P )L( P -1 P )LP -1 - 1- 4 - 1011 - 1- 4-1= PL 11 P -1 = 11 02 11 = - 1- 4 - 10 ( 1 14 ) 11 0211 3 - 1- 11 1- 213 14 = 3 - 1211 = 1 1 + 213 3 - 1 - 211 - 1- 14 + 213 = 27312732 - 4 - 211

24、- 683- 6845.求矩阵 A 的秩 11- 230 习题 3.3(A)A = 21- 64- 1 32a7- 1 1- 1- 6- 1b 解 11- 230 -3r1 +r2 3-2r +r 0- 1- 2- 2- 1A1-r +r 0- 1a + 6- 2- 11 4 0- 2- 4- 4b 11- 230 -r +r0- 12- 2- 124-22r +3r 00a + 800 0000b + 2(1)当 a=-8,b=-2 时,R(A)=2;(2)当 a=-8,b-2 时,R(A)=3;(3)当 a-8,b=-2 时,R(A)=3;(4)当 a-8,b-2 时,R(A)=4;2.

25、问l, m取何值时，齐次线性方程组第十周习题解答习题 4.1(A)lx x 1+ x + x23+ m= 0,x + x1m 23= 0,x + 21x + x = 0,23有非零解。解l11l - 111A = 1m1 =012m10m1 = -m(l - 1)2m1当l=1 或m=0 时,|A|=0, 齐次线性方程组有非零解。3. 问l取何值时，非齐次线性方程组lx+ x+ x = 1, x 1+ lx2 + x3 = l,123x+ x12+ lx3= l2 ,1)有惟一解；2)无解；3)有无穷多解。解l11A = 1l1 = l3 - 3l + 2 = (l - 1)2 (l + 2)

26、11l当l1 且l-2 时,|A|0,方程组有惟一解. 当l=-2 时,124- 333- 3-9 - 2111 2r +r 1 -r3 +r1 ( A, b) = 1- 21- 2 3 2 06 11- 24 r r 0 1124 r+r 0- 33- 6 13 2 3 0003 R(A)=2,R(A,b)=3, 方程组无解;当l=1 时,( A, b) =1111 11111111 00001111 0000R(A)=R(A,b)=13, 方程组有无穷多解; 另解l111 -r +r 1l1l -l2r +3r ( A, b) = 1l1l 2 1 0 1 - l21 - l1 - l2 1 2 11ll2 r r 01 - ll - 1 l2 - l 当l=1 时, R(A)=R(A,b)=13, 方程组有无穷多解; 当l1 时, 1l1l -(1+l) r +r 1l1l( A, b) 0 1 + l11 + l r r3 2 0 1- 1- l 2 3 01