重庆市八中2023届高三下学期入学考试数学试卷+答案.pdf

1、重庆八中高重庆八中高 2023 级高三（下）入学考试数学试题级高三（下）入学考试数学试题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1已知集合|110Uxx=，1A=，2，3，1B=，2，3，4，5，6，则()UAB=A4，5，6，7，8，9 B1，2，3 C7，8，9 D4，5，6 2若复数z满足：1 iz=+，则22zz的共轭复数的虚部为 A2 Bi C0 D2 3已知a是 1，3，3，5，7，8，10，11 的上四分位数，在 1，3，

2、3，5，7，8，10，11 中随机取两个数，这两个数都小于a的概率为 A14 B514 C1528 D1328 4已知函数()f x为偶函数，定义域为R，当0 x 时，()0fx，则不等式2()()0f xxf x的解集为 A(0,1)B(0,2)C(1,1)D(2,2)5 石碾子是我国传统粮食加工工具 如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动 2 周，碾滚的外边缘恰好滚动了 5 圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆

3、的直径之比约为 A3:2 B5:4 C5:3 D4:3 6已知等差数列na的首项10a，而90a=，则1811167814aaaaaaa+=+A0 B2 C1 D12 7已知函数()4coscos1(0)2226xxf x=在区间3,34上单调递增，且在区间0,上只取得一次最大值，则的取值范围是（）A30,4 B80,9 C2 8,3 9 D3 8,4 9 8设22lna=，13b=，242 2lnce=，则 Aabc Bcab Cbca Dbac 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题在每小题给

4、出的四个选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9以下命题正确的有 A一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小 B一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定 小于中位数 C样本相关系数r的大小能反映成对样本数据之间的线性相关 的程度，而决定系数2R的大小可以比较不同模型的拟合效果 D分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例 10已知椭圆22:11612xyC+=的左、右焦点分别为1F，2F，点(2,1)M，直线l与椭圆C交于A，B两点，则 A12|AFAF的最大值为

5、 16 B12AFF的内切圆半径3r C1|AMAF+的最小值为 7 D若M为AB的中点，则直线l的方程为30 xy+=11正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，E，F，H分别为AD，1DD，1BB的中点，则 A直线1AD 平面BEF B直线/AH平面BEF C三棱锥HEFB的体积为13 D三棱锥HCFB的外接球的表面积为9 12已知1x，方程(1)20 xxx=，2(1)log0 xxx=在区间(1,)+的根分别为a，b，以下结论正确的有 A22logabab=B111ab+=C4ab+D1ba 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 2

6、0 分分 13已知向量(3,2)a=，(2,)b=，/ab，则实数=14已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的右焦点F到C的一条渐近线20yx+=的距离为2 3，则双曲线C的方程为 15已知直线:l ykxb=+是函数2()(0)f xax a=与函数()xg xe=的公切线，若(1，f（1）)是直线l与函数()f x相切的切点，则b=16已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4a=，3cb=，则ABC面积的最大值是 ；若r，R分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字

7、说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17因疫情防控需要，某社区每天都要在上午 6 点到 8 点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A，B两个居民小区，两小区的居住人数之比为9:11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了 100 位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图（1）由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过 16 分钟的居民比例；（2）另据调查，这 100 人中一次核酸采集排队时间超过 16 分钟的

8、人中有 20 人来自A小区，根据所给数据，填写完成下面22列联表，并依据小概率值0.01=的独立性检验，能否认为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关联？排队时间超过 16 分钟 排队时间不超过 16 分钟 合计 A小区 B小区 合计 附表：0.100 0.05 0.01 0.005 0.001 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：22()()()()()n adbcab cd ac bd=+，其中nabcd=+参 考 数 据：140.0751.05=，180.03750.675=，220.0250.55=，240.03750.9=，260.01250.325

9、=，280.01250.35=18已知nS为数列na的前n项和，242nnSan=+（1）证明：数列4na+为等比数列；（2）记14nnnnaba a+=，求数列 nb的前n项和nT 19在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)ABABCCB+=+（1）求A；（2）如图，在ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若3ECAC=，120ACE=，30EBC=，2BC=，求ABC的面积 20 如图，在四棱锥PABCD中，2PCPBABBCCDDA=，E为棱AP的中点，EBBC （1）证明：BCPD；（2）若32BE=，求平面PDC与

10、平面PBC夹角的余弦值 21已知函数()axf xxe=（1）讨论函数()f x的单调性；（2）证明：11()lnxaxf x+22 已知椭圆2222 3:1(2)43xyCbb+=，动圆22004:()()3Pxxyy+=（圆心P为椭圆C上异于左右顶点的任意一点），过原点O作两条射线与圆P相切，分别交椭圆于M，N两点，且切线长的最小值为63（1）求椭圆C的方程；（2）（i）若OM、ON斜率都存在，记为1k，212()k kk，求1 2k k的值（ii）求MON的面积 第1页（共8页）重庆八中高重庆八中高 2023 级高三（下）入学考试数学试题级高三（下）入学考试数学试题 参考答案与试题解析参

11、考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的 1【解答】解：|110Uxx=，1A=，2，3，1B=，2，3，4，5，6，()4UAB=，5，6故选：D 2【解答】解：根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.因1 iz=+，则222(1 i)2(1 i)2i22i2zz=+=，所以所求共轭复数为2，其虚部为 0.故选：C 3【解答】解：因为8 75%6=，由题意得81092a+=，故小于a的数有 6 个，概率2

12、6281528CPC=故选：C 4【解答】解：因为当0 x 时，()0fx，所以函数()f x在(0,)+上递减，又函数()f x是偶函数，所以当自变量取值的绝对值越小时，函数值越大，故22()()0()()f xxf xf xxf x，故2432|2020 xxxxxxx，解得02x故选：B 5【解答】解：绕碾盘转动 2 周的距离等于碾滚滚动 5 圈的距离，2252hr=，52hr=，524hr=，该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比为5:4故选：B 6【解答】解：等差数列na的首项10a，而90a=，设公差为d，181116114324(8)0aaaaadad+=+=+=，18111678

13、140aaaaaaa+=+故选：A 7【解答】解：根据三角恒等变换化简()fx，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整体法即可求得参数的范围.因为()4coscos12226xxf x=314sincossin122222xxx=+22 3sincos2sin13sincos2sin2226xxxxxx=+=，因为()fx在区间3,34上单调递增，由x3,34，则3,63646x，则3 362462，解得81,9，即809；当0,x时，,666x，要使得该函数取得一次最大值，故只需5262，解得2 8,3 3；综上所述，的取值范围为2 8,3 9.故选：C 8【解答】解：23 22866ln

14、lnlneab=，因为222.727.48e，故280lnlne，故0ab，第2页（共8页）故ab，令()lnxf xx=，21()lnxfxx=，易知xe时，()0fx，()f x在(,)e+上是减函数，又44lnag=（4），2222()22elnecge=，结合式可知242e，故g（4）2()2eg，即ac，综上可知：bac故选：D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分

15、，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9【解答】解：对于A：数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，故A错误；对于B：根据图可知，中位数靠右大于平均数，故B正确；对于C：样本相关系数r是指样本数据之间的线性相关程度，而决定系数2R是比较不同模型的拟合效果，故C正确；对于D：分层随机抽样所得各层的样本量不一定与各层的大小成比例，等比例分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例，故D错误故选：BC 10【解 答】解：对 于 选 项A，由 椭 圆 的 定 义 可 得12|8AFAF+=，则21212|()162AFAFAFAF+=，当且仅当12|AFAF=时取等号，即12|AFAF的最大值

16、为 16，即选项A正确；对于选项B，由椭圆的定义可得12AFF的周长为8412+=，又12AFF的面积的取值范围为(0，4 3，则112(0,4 32r，则2 3(0,3r，即选项B错误；对于选项C，由椭圆的定义可得12|8AFAF+=，则12|8|AMAFAMAF+=+，又22|1AMAFMF=，当且仅当A、M、2F三点共线时取等号，即21|1AMAF，即17|9AMAF+，即1|AMAF+的最小值为 7，即选项C正确；对于选项D，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则221111612xy+=，222211612xy+=，又由题意有124xx+=，122yy+=，则两式相减可得211

17、221123342AByyxxkxxyy+=+，即M为AB的中点时，直线l的方程为31(2)2yx=，即3280 xy+=，即选项D错误，故选：AC 11【解答】解：如图，设M为1AA的中点，则1/MEAD，由题意，得5BEBM=，2EM=，所以EM与BE不垂直，即1AD与BE不垂直，所以直线1AD与平面BEF不垂直，所以A错误；因为E，F，H分别为AD，1DD，1BB的中点，所以1/ADEF，1/D HFB，又1AD 平面BEF，EF 平面BEF，1D H 平面BEF，FB 平面BEF，所以1/AD平面BEF，1/D H平面BEF，又11ADD HD=，1AD，1D H 平面1AHD，所以平

18、面1/AHD平面BEF，又AH 平面1AHD，所以直线/AH平面BEF，所以B正确；因为F，H分别为1DD，1B B的中点，所以BHFH，又1BH=，2 2FH=，所以11 2 222BHFS=，易得点E到平面 第3页（共8页）BFH的距离为22，所以三棱锥HEFB的体积1212323HEFBV=，所以C正确；因为BC 平面11CDDC，FC 平面11CDDC，所以BCFC，又BHFH，故FB为三棱锥HCFB的外接球的直径，又|3FB=，所以三棱锥HCFB的外接球的表面积234()92S=，所以D正确故选：BCD 12【解答】解：方程(1)20(1)xxxx=的根为方程21xxx=的根，方程2

19、(1)log0(1)xxxx=的根为方程2log1xxx=的根，函数1xyx=得1yxy=，所以1xyx=的图象关于yx=对称，因为方程(1)20 xxx=，2(1)log0 xxx=在区间(1,)+的根分别为a，b，所以a，b是函数2xy=和2logyx=的图象与函数1xyx=的图象的交点的横坐标，所以2logab=，2ab=，又1111abaa=+，(1)(1)1ab=，即abab+=，111ab+=，22logaabb+=+，即22logabab=，故A，B正确；因为112 411aabaaaa+=+=+，当且仅当111aa=，即2a=时等号成立，令()21xxf xx=，f（2）222

20、2021=，所以2a，即4ab+，故C错误；设()111g abaaa=，()()21101g aa=，()g a单调递减，需要证明()0g a 成立，即21,10,1a aaa 151,2a+，故只需证明1502f+，即15215220512+，()22151522511520,20,42+设()22xp xx=，由 于1522+，由图象显然知()15202pp+=，所以1ba，故D正确，故选：ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13【解答】解：(3,2)a=，(2,)b=，且/ab，32(2)0=，即4=故答案为：4 1

21、4【解答】解：渐近线的方程为2yx=，2,2bbaa=，又(,0)F c，由点到直线的距离公式知：22|2|2 3,1521cc=+，222abc+=，22415aa+=，23a=，212b=，双曲线C的方程为：221312xy=；故答案为：221312xy=第4页（共8页）15【解答】解：2()(0)f xax a=，()2fxax=，()xg xe=，(1，f（1）)是直线l与函数()f x相切的切点，kf=（1）2a=，f（1）a=，2aab=+，ba=，即直线l的方程为2yaxa=，()xg xe=，()xg xe=，设2yaxa=与()xg xe=的切点坐标为0(x，0)y，0 xk

22、e=，00 xye=切线方程为00()xyek xx=，即0000 xxxye xe xe=，02xae=，000 xxae xe=+，解得032x=，322ae=，3212be=故答案为：3212e 16【解答】解：以BC所在直线为x轴，以BC的中点为原点，建立直角坐标系，则(2,0)B，(2,0)C，设(,)A x y，因为3cb=，即|3|ABAC=，所 以2222(2)3(2)xyxy+=+，整 理 得22540 xyx+=，即2259()24xy+=，由A，B，C三点不共线可得0y，又A到BC的最大距离为圆的半径32，故ABC面积的最大值为134322=，由正弦定理得42sinRA=

23、，故2sinRA=，因为2113(43)sinsin222ABCbrbbSbcAA+=，所 以23sin4(1)bArb=+，所 以2321bRrb=+，因 为3443bbbb+可得12b，令2()1xf xx=+，(12)x，则222()0(1)xxfxx+=+在(1,2)上恒成立，所以()f x在(1,2)上单调递增，14()23f x，故答案为：3；3(4，2)四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【解答】解：（1）根据频率分布直方图可得，该社区居民核酸采集排队时间的平均时长

24、为：20.0125460.03754100.054140.075418 0.03754220.02544260.012513.4+=（分)，4(0.01250.0250.0375)0.3+=，有30%的居民排队时长超过 160 分钟（2）由（1）可知，样本中有30%10030=（人)排队时长超过 16 分钟，该社区有A，B两个居民小区，两小区的居住人数之比为9:11，则A小区抽取了 45 人，在B小区抽取了 55 人，22列联表如下：排队时间超过 16 分钟 排队时间不超过 16 分钟 合计 A小区 20 25 45 B小区 10 45 55 合计 30 70 100 222()100(204

25、51025)8.136.635()()()()307045 55n adbcab cd ac bd=+，依据小概率值0.01=的独立性检验，能认为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关联 18【解答】解：（1）证明：242nnSan=+，当1n=时，11242Sa=+，解得12a=，当2n时，1124(1)2nnSan=+，由得124224(1)2nnnaanan=+，即12(4)4nnaa+=+，又146a+=，数列4na+是首项为 6，公比为 2 的等比数列；（2）由(1)得14=6+23 2=nnna，43 2nna=第5页（共8页）()()1134443 223 2nnnnnnaaa+

26、=+所以 1111411nnnnnnnnnnaaaba aa aaa+=.所以12112231111111111111=23 24nnnnnnTbbbaaaaaaaa+=+=+19【解答】解：（1）因为(sinsin)(sinsin)sin(sinsin)ABABCCB+=+，由正弦定理可得222abcbc=+，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+=，由A为三角形内角得120A=；（2）设ACx=，ABC=，则3ECx=，60ACB=，60BCE=+，所以90E=，ABC中，由正弦定理，得sinsinBCACAABC=，EBC中，由正弦定理，得sinsinBCECEEBC=，故2sin

27、32x=，231sin(90)2x=，所 以623x=，15=，ABC的 面 积116223sin2122233SBC ACACB=20【解答】证明：（1）2ABBCCDDA=，四边形ABCD为菱形，/ADBC，设F，H分别是棱BC和PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图所示：/EHAD，且12EHAD=，又/BFAD，且12BFBC=，/EHBF，且EHBF=，四边形BFHE为平行四边形，/BEFH，又EBBC，BCFH，PCPB=，F为BC的中点，PFBC，又PFFHF=，BC平面PFD，又PD 平面PFD，BCPD（2）由（1）知BC 平面PFD，BCDF，又2DC=，1CF=，3

28、DF=，32BE=，且BEFH=，32FH=，2PBPCBC=，F为BC的中点，3PF=，在PFD中，3PFDF=，32FH=，且H为PD的中点，22223PDDHDFFH=，即PDF为等边三角形，BC 平面PFD，BC 平面ABCD，平面PFD 平面ABCD，以点F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则(0F，0，0)，(3D，0，0)，(0C，1，0)，3(2P，0，3)2，(0CF=，1，0)，3(2CP=，1，3)2，(3CD=，1，0)，3(2CP=，1，3)2，设平面PBC的一个法向量 第6页（共8页）为

29、1(mx=，1y，1)z，则有00m CFm CP=，即1111033022yxyz=+=，取13x=，解得1101yz=，(3m=，0，1)，设平面PDC的一个法向量为2(nx=，2y，2)z，则有00n CDn CP=，即222223033022xyxyz+=+=，取23x=，解得2231yz=，(3n=，3，1)，|cosm，|13|13m nnm n=，即平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为1313 21【解答】解：（1）由已知得定义域为R，()(1)xf xaxe=+，当0a=时，()0 xfxe=，()f x为减函数；当0a 时，由()0fx=得1xa=，0a 时，1(,)xa 时

30、，()0fx，()f x单调递增，1(,)xa+，()0fx，()f x单调递减；0a 时，1(,)xa 时，()0fx，()f x单调递减，1(,)xa+，()0fx，()f x单调递增；综上可知：0a=时，()f x为减函数；0a 时，1(,)xa 时，()f x单调递增，1(,)xa+时，()f x单调递减；0a 时，1(,)xa 时，()f x单调递减，1(,)xa+，()f x单调递增（2）证明：由11()lnxaxf x+得111axlnx axlnxaxxee+=，令tlnxax=+，易知t的取值集合一定是R的子集；式可化为(1)1te t，令()(1)tg te t=，()tg

31、 tet=，则0t 时，()0g t，()g t递减，0t 时，()0g t，()g t递增，故()(0)1ming tg=，故(1)1te t 成立，即原式成立 22【解答】解：（1）如图 1，因为椭圆2222 3:1(2)43xyCbb+=，焦点在x轴上，0(P x，0)y在椭圆方程上，则22200(1)4xyb=，由2 323b，得：22222220004(1)43bxyxbbr+=+=，故点O在圆P外，不 妨 设OM与 圆P相 切 于T，则 有：切 线 长2220044|33OTOPxy=+，代入得2222044|(1)433bOTxbb=+，由已知得：24233b=，解得：22b=，

32、所以椭圆的方程为：22142xy+=；（2）（i）当切线OM、ON斜率都存在时，设切线方程为：ykx=，由dr=得：002|231kxyk=+，第7页（共8页）整理得：2220000(34)6340(*)xkkx yy+=，由1知：2040y，即02 3|3x，此时02 3|3y，方程(*)必有两个非零根，记为1k，212()k kk，则12k k分别对应直线OM，ON的斜率，由韦达定理得：2012203434yk kx=，将220042xy=，代入得：201220341862yk ky=（ii）1当切线OM或ON斜率不存在即圆P与y轴相切时，易得02 3|3xr=，代入椭圆方程得：02 3|

33、3x=，说明圆P同时也与x轴相切（图2)，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则MON的面积为2 2 当切线OM、ON斜率都存在时，解法一：（求交点坐标）由上知：120kk，设点N位于第一、三象限，点M位于第二、四象限，若点N位于第一象限，点M位于第二象限，设1:OMyk x=与椭圆方程22142xy+=联立可得：212(12Mk+，1212)12kk+设2:ON yk x=与椭圆方程22142xy+=联立可得：222(12Nk+，2222)12kk+11111111()()()()()2222MONMM NNOMMONNNMNMMMNNNMMNSSSSxxyyxyx yx yx y=+=，代入

34、坐标有：222212111222222222212121212()2222(12)(12)42211212MONkkkkkk kkSkkk kkkkk+=+，221222121222(1)kkkk+=+同理，当点M、N位于其它象限时，结论也成立综上，MON的面积为定值2 解法二：（探寻直线MN方程特征）（接上）设1(M x，12)(yx，2)y，由于点P不与点A、B重合时，直线MN的斜率存在，不妨设直线MN的方程为：ykxm=+，将MN与椭圆方程联立可得：222(12)4240kxkmxm+=，22222216(12)(24)32168k mkmkm=+=+，由0得2242km+，由韦达定理可

35、知：122412kmxxk+=+，21222412mx xk=+，121212y ykOM kONx x=，则 2212121212121222()()(12)2()20 x xy yx xkxm kxmkx xkm xxm+=+=+=，代入有：第8页（共8页）22222244(12)2()201212mkmkkmmkk+=+，整理得：2221mk=+；又 222222212222328161681|1|112 2212121kmkkMNkxxkkkkk+=+=+=+=+，而原点O到直线MN的距离为222|1211mkdkk+=+，222211112|2 2222211MONkkSMNdkk+=+所以MON的面积为定值2