2023年中考数学压轴题突破-圆的综合.docx

1、2023年中考数学压轴题突破圆的综合题一、综合题1如图，ACE内接于O，AB是O的直径，弦CDAB于点H，交AE于点F，过点E作EGAC，分别交CD、AB的延长线于点G、M.（1）求证：ECFGCE； （2）若tanG ，AH3 ，求O半径.2阅读与思考请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子他的著作阿基米德全集的引理集中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1， 是 的弦，点P在 上， 于点C，点D在弦 上且 ，在 上取一点Q，使 ，连接 ，则 小明思考后，给出如下证明：如图2，连接 、 、 、 ， （依据

2、1） （依据2） 图1 图2任务：（1）写出小明证明过程中的依据：依据1： 依据2： （2）请你将小明的证明过程补充完整；（3）小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接 、 、 、 请你按照小亮的证明思路，写出证明过程； （4）结论应用：如图4，将材料中的“弦 ”改为“直径 ”，作直线l与 相切于点Q，过点B作 于点M，其余条件不变，若 ，且D是 的中点，则 3如图，O为等边ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧 上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC （1）求证：DC是ADB的平分线；（2）四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；（

3、3）若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，求所有t值中的最大值4如图， 为 外接圆 的直径，且 （1）求证： 与 相切于点 ； （2）若 ， ， ，求 的直径 5如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上不同于 、 两点的任意一点， 是半圆 上一动点， 与 相交于点 ， 是半圆 所在圆的切线，与 的延长线相交于点 （1）若 ，求证： ； （2）若 ， ， 求 ；（答案保留 ） （3）若 ， 为 的中点，点 从 移动到 时，请直接写出点 移动的长度（答案保留 ） 6如图，已知以为斜边的内接于

4、，的平分线交于点D，过点D作交的延长线于点E，连接，（1）求证：为的切线；（2）求证：；（3）若，求的长7如图，在中，点O在上，点D在上，以点O为圆心，为半径作圆，交的延长线于点E，交于点F， （1）求证：为O的切线；（2）若O的半径为3，求的长8如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的O与CD边相切于点E，BC交O于点F（AFBF），连接AE，EF.（1）求证：FCEFEA；（2）若O的半径是 ，且 ，求AD的长. 9如图，四边形ABCD内接于，四边形OBCD为菱形，连接AC（1）求证：AC平分；（2）若，求AD的长10如图，已知三角形ABC的边AB是圆O的切线，切点为B AC经过圆

5、心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E，（1）求证：CB平分ACE；（2）若BE=3，CE=4，求圆O的半径11对于平面直角坐标系 内任意一点P，过P点作 轴于点M， 轴于点N，连接 ，则称 的长度为点P的垂点距离，记为h特别地，点P与原点重合时，垂点距离为0 （1）点 的垂点距离分别为 ， ， ； （2）点P在以 为圆心，半径为3的 上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围； （3）点T为直线 位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围 12如图 ，对于 的顶点P及其对边 上的一点Q，给出如下定义：以P为

6、圆心， 为半径的圆与直线 的公共点都在线段 上，则称点Q为 关于点P的内联点 在平面直角坐标系 中：（1）如图 ，已知点 ，点 在直线 上 若点 ，点 ，则在点O，C，A中，点 是 关于点B的内联点；若 关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；（2）已知点 ，点 ，将点D绕原点O旋转得到点F若 关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围答案1【答案】（1）证明： 为 直径， ， ， ， ， ，又 ，（2）解：连接 ，设 ， ， ，在 中， ，在 中， ， .【解析】【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理及平行线的性质易证 ， ，然后根据相似三角形的判定即可求出答案；（2）连接

7、 ，设 ，根据等角的同名三角函数值相等得出 ，根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可列出方程求出 的值.2【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等；（2）解：四边形 是O的内接四边形 ， ， ，又 ， ， ；（3）解： ， = ， ， ， ，四边形 是O的内接四边形即 ， ， ， ；（4）【解析】【解答】解：(4)QM= ， 理由如下：如图，连接AQ，直径AB=4，半径OA=OQ=OB=2，AQB=90，OQA=OAQ，OQB=OBQ，D为OA中点，AD=DO=1，BD=BO+OD=3，则利用结论有BQ=BD=3，直线l是O的切线，OQl，OQM=O

8、QB+BQM=90，BMl，BMQ=QBM+BMQ=90， ，MBQ=OQB，MBQ=OQB=OBQ，再结合AQB=90=BMQ，有 ， ，在RtAQB中， ，由 ，得 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和圆周角定理解答即可；（2）在原题的基础上利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；（3）类比（2）的方法，在（2）的基础上利用等腰三角形的判定方法解答即可得出结论；（4）连接AQ，利用题干中的结论求得BQ=BD=3，再利用勾股定理和相似三角形的性质列出比例式即可求解。3【答案】（1）证明：ABC是等边三角形， ABC=BAC=ACB=60ADC=ABC=60，BDC=BAC=60，AD

9、C=BDC，DC是ADB的平分线；（2）解：四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数， 理由如下：如图1，将ADC绕点逆时针旋转60，得到BHC，CD=CH，DAC=HBC四边形ACBD是圆内接四边形，DAC+DBC=180，DBC+HBC=180，点D，点B，点H三点共线DC=CH，CDH=60，DCH是等边三角形四边形ADBC的面积S=SADC+SBDC=SCDH CD2，S x2；（3）解：如图2，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F， 点D，点E关于直线AC对称，EM=DM，同理DN=NFDMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，当点E，点M，点N，点

10、F四点共线时，DMN的周长有最小值，则连接EF，交AC于M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CPEF于P，DMN的周长最小值为EF=t点D，点E关于直线AC对称，CE=CD，ACE=ACD点D，点F关于直线BC对称，CF=CD，DCB=FCB，CD=CE=CF，ECF=ACE+ACD+DCB+FCB=2ACB=120CPEF，CE=CF，ECF=120，EP=PF，CEP=30，PC EC，PE PC EC，EF=2PE EC CD=t，当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值CD为O的弦，CD为直径时，CD有最大值4，t的最大值为4 【解析】【分析】 (1) 由等边三角形的性质

11、可得 ABC=BAC=ACB=60 ，结合圆周角定理可得 ADC=BDC即可结论；(2)将ADC绕点逆时针旋转60，得到BHC， 可得 DCH是等边三角形，利用四边形ADBC的面积S=SADC+SBDC=SCDH 即可求解；(3)作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于直线BC的对称点F， 由轴对称的性质可得EM=DM，DN=NF，可得 DMN的周长=DM+DN+MN=FN+EM+MN，因此当点E，点M，点N，点F四点共线时，DMN的周长有最小值， 由轴对称的性质可得 CD=CE=CF ， ECF=120 ，进而求解。4【答案】（1）证明：连接 ，交 于点 ， ， 是 的直径， ，即 ， ，即

12、 ， 又 为 的半径， 与 相切于点 （2）解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，在 中， ，在 中， ， ， ，在 中， 【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后求解即可；（2）根据题意求出 ， ， 再利用勾股定理计算求解即可。5【答案】（1）证明： 是半圆 的直径 在 和 中 ， ；（2）解：连接 ，由（1）知 ， ， ， ， 是半圆 所在圆的切线， ， ， ， （3）解：连接OH, H是AC中点，则OHAC,故H在以AO为直径的圆上运动，当点 在 点时，点H与点O重合，当点C在A点时，点H与点A重合，所以，点 移动的长度是以 为直径的圆的周长一半，即L= 【解析】【分析】（1）根

13、据圆周角定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到 ，根据三角形的内角和即可得到即可；（3）连接OH,当点 在 点时，点H与点O重合，当点C在A点时，点H与点A重合，得到点 移动的长度是以 为直径的圆的周长一半，即可得到点 移动的长度6【答案】（1）证明：如图，连接为的直径，平分， ， 为的切线（2）证明：由（1）可得为等腰直角三角形， 即 又，（3）解：如图，过点D作交的延长线于点G，又， ，为等腰直角三角形， ，设，则，即，【解析】【分析】（1）先证明，再结合可得，即可得到为的切线； （2）先证明可得，即，再结合，即可得到； （3）过

14、点D作交的延长线于点G，先证明为等腰直角三角形，可得，再结合，设，则，列出方程，求出x的值，即可得到。7【答案】（1）证明：如图，在中，为的切线（2）解：， ，在中，在中，设，则在中，解得，【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，即可得出结论；（2）利用勾股定理得出OA的值，设，则得出，推出k的值，再利用勾股定理得出AB的值，即可得出BD的值。8【答案】（1）证明：连接OE， CD是O的切线，OECD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，OEAB，即：AOE90，AFE45，AB是O的直径，AFB90AFC，CFE90AFE45AFE，ABCD，C+B=180，又AE

15、F+B=180，C=AEF，FCEFEA（2）解： ， 设CF2m，AF9m，FCEFEA， ，EF2AFCF；则EF2AFCF2m9m18m2，解得：EF3 m（负值舍去），过点E作EHAF于点H，在AEF中，EF3 m，AF9m，AFE45，EHFH EF3m，AHAFHF9m3m6m， ，解得m1（负值舍去）， ，BCBFCF32m325ADBC =5【解析】【分析】（1）连接OE，由同角的余角相等可得C=AEF，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解；（2）结合已知可设CF2m，AF9m，由（1）中的相似三角形可得比例式，则可求得EF2 的值用含m的代数式表示出来，过点E作EHA

16、F于点H，在AEF中，用勾股定理可将EF、AF用含m的代数式表示出来，同理可将EH=FH用含m的代数式表示出来，根据AE=AO可得关于m的方程，解方程可求得m的值，则BC=BF+CF=BC可求解.9【答案】（1）证明：四边形OBCD为菱形，AC平分（2）解：连接AO，如图，又，在RtAOD中，【解析】【分析】（1）先证明，可得，即可证明AC平分；（2）连接AO，先求出，再求出，最后利用勾股定理求出AD的长即可。10【答案】（1）证明：如图1，连接OB，AB是O的切线，OBAB，CEAB，OBCE，13，OBOC，1223，CB平分ACE；（2）解：如图2，连接BD，CEAB，E90，BC5，C

17、D是O的直径，DBC90，EDBC，DBCCBE，BC2CDCE，CD，OC，O的半径【解析】【分析】（1）连接OB，根据切线的性质可得OBAB，再结合CEAB，可得OBCE，证出13，再结合12，可得23，即可得到CB平分ACE；（2）连接BD，先证明DBCCBE，可得，再将数据代入可得CD，最后求出OC的长即可。11【答案】（1）；（2）解：如图，过点P作 轴于点M， 轴于点N ， 四边形 是矩形 点坐标为 ， ， （3）解：如图，设直线l与x轴，y轴的交点分别为 ，过点O作 直线l于点M，以 为半径作 ，交直线l于点N ， .过点 分别作x轴的垂线，垂足分别为 ，则 ，即 是等边三角形，

18、 或 【解析】【解答】解：（1）如图所示：【分析】（1）先判断出MN=OB，即可用两点间的距离公式求解即可；（2）先判断出四边形 是矩形，由Q的坐标得出OQ的值，由得出 ，从而得出 h的取值范围；（3）设直线l与x轴，y轴的交点分别为 ，过点O作 直线l于点M，以 为半径作 ，交直线l于点N由 ，得出AM的值，过点 分别作x轴的垂线，垂足分别为 ，得出OC的值，又由 是等边三角形，得出OD的值，由此得出t的范围。12【答案】（1）解： ， 当点B的坐标为（0，1）时，如图，此时以BO为半径的 与线段OA相切于点O， 点O是 关于点B的内联点； 当点B移动到在y轴左侧时，作图发现 与x轴有相交，

19、且有一个交点不在线段OA上， 不再有 关于点B的内联点； 当点B的坐标为（7， 8）时，以BA为半径的 与x轴相切于点A， 点A是 关于点B的内联点； 当点B直线x=7的右侧时，以BA为半径的 与x轴相交，且有一个交点不在线段OA上 不再有 关于点B的内联点； 综上所述，若 关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围为 ；（2）【解析】【解答】解：（1）如图， 点 ，点 ， 轴，BC4， ， ， 以 为半径作 与直线 有两个公共点，且都在线段 上，所以点O是 关于点B的内联点；以 为半径作 ，只有一个公共点C 在线段 上，所以点C是 关于点B的内联点；以 为半径作 ，有两个公共点，但其中一

20、个不再线段 上，所以点A不是 关于点B的内联点；故点O，C是 关于点B的内联点故答案为：O，C (2)依由题意有：点F是以 O为圆心，OD为半径的圆上的点，设F（x，y） ，当OFOE时，点O是点E的内联点，如图，过点F，E作 轴于点M， 轴于点N，则 ， ， ， ， ， ， ，在 中， ， ， ， 点F的横坐标为 或 由图知：当点F在x轴上方向往左移时，点E无内联点， ，当点F在x轴下方向往左移时，点E无内联点，当OFEF时，点F是点E的内联点，如图，点F在x轴上方时， 的半径为2， 与y轴交点为（0，2）和（0，-2）， ， 与点（0，2）的所在直线y=2与y轴垂直， 点F的坐标为（0，2），当点F在x轴上方向右运动时，点E无内联点，如图所示，故点F在x轴上方时，点E的内联点存在时，F的横坐标的取值范围是： ；如图，当点F在x轴下方时，过点F作 轴于点P，过点E作 于点Q，易证 ， ， QP与点E到y轴的距离相等 ， ，又 ， （舍去）或 ， ， 当点F向右运动时，点E无内联点，如图， 当点F在x轴下方时，E点有内联点时，F的横坐标的取值范围为： ；综上，F的横坐标为 或 29