2020 最新中考数学复习 第21讲第2课时菱形.doc

1、 第第 2 课时课时 菱形菱形 知识点 1 菱形的定义及性质 1下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是(C) A对角线相等 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D邻边互相垂直 2如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，下列结论中不一定成立的是(B) AABDC BACBD CACBD DOAOC 第 2 题图 第 3 题图 3如图，菱形 ABCD 的周长是 8 cm，AB 的长是 2cm. 4如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DEAC，AEBD.求证：四边形 AODE 是矩形 证明：四边形 ABCD 为菱形， ACBD. AOD90. 又DE

2、AC，AEBD， 四边形 AODE 是矩形 知识点 2 菱形的判定 5如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个条件：答案不唯一，如：ACBD，使得该平 行四边形为菱形 6如图，在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点过点 A 作 AFBC 交 BE 的延长线 于点 F.求证： (1)AEFDEB； (2)四边形 ADCF 是菱形 证明：(1)AFBC， AFEDBE. E 是 AD 的中点， AEDE. 又AEFDEB， AEFDEB(AAS) (2)AEFDEB，AFDB. D 是 BC 的中点， DCDB.AFDC. AFDC，

3、四边形 ADCF 是平行四边形 在 RtABC 中，BAC90，D 是 BC 的中点， ADCD. 平行四边形 ADCF 是菱形 知识点 3 菱形的面积 7如图，已知菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 AC8 和 BD6，那么，菱形 ABCD 的面积为 24. 重难点 菱形的性质与判定 (2017 湖北)如图，AEBF，AC 平分BAE，且交 BF 于点 C，BD 平分ABF，且交 AE 于点 D，连 接 CD. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)若ADB30，BD6，求 AD 的长 【思路点拨】 (1)由平行线的性质和角平分线定义得出ABDADB，证出 ABAD，同理：ABBC

4、，得 出 ADBC，证出四边形 ABCD 是平行四边形，即可得出结论；(2)由菱形的性质得出 ACBD，ODOB1 2BD 3，再由三角函数即可得出 AD 的长 【自主解答】 (1)证明：AEBF， ADBCBD. 又BD 平分ABF，ABDCBD. ABDADB.ABAD. 同理：ABBC，ADBC. 又 AEBF，即 ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 又ABAD，四边形 ABCD 是菱形 (2)四边形 ABCD 是菱形，BD6， ACBD，ODOB1 2BD3. ADB30，cosADBOD AD 3 2 . AD 3 3 2 2 3. 【变式训练】 如图，在ABCD 中，对角线

5、 BD 平分ABC，过点 A 作 AEBD，交 CD 的延长线于点 E， 过点 E 作 EFBC，交 BC 延长线于点 F. (1)求证：四边形 ABCD 是菱形； (2)若ABC45，BC2，求 EF 的长 解：(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ABCD，ABCD. ADBCBD. BD 平分ABC，ABDCBD. ADBABD.ABAD. 四边形 ABCD 是菱形 (2)四边形 ABCD 是菱形，ABCDBC2. ABCD，AEBD， 四边形 ABDE 是平行四边形，ECFABC45. ABDE2.CECDDE4. EFBC，ECF45， CEF 是等腰直角三角形 E

6、FCF 2 2 CE2 2., 方法指导 1判定菱形的基本思路： (1)若已知一组邻边相等，则需要证该四边形是平行四边形或四条边都相等； (2)若对角线互相垂直，则需要证明该四边形是平行四边形； (3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一组邻边相等或对角线互相垂直 2应用菱形性质计算的一般思路：菱形对边平行、对角相等、四边相等，所以在做题时，可利用等量代换来 转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理来求线段的长 1(2017 益阳)下列性质中菱形不一定具有的性质是(C) A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D既是轴对称图形又是中心对称图形 2(2017

7、 长沙)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6 cm，8 cm，则这个菱形的周长为(D) A5 cm B10 cm C14 cm D20 cm 第 2 题图 第 4 题图 3(2017 南充)已知菱形的周长为 4 5，两条对角线的和为 6，则菱形的面积为(D) A2 B. 5 C3 D4 4(2017 河北)求证：菱形的两条对角线互相垂直已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O.求证：ACBD. 以下是排乱的证明过程： 又 BODO； AOBD，即 ACBD； 四边形 ABCD 是菱形； ABAD. 证明步骤正确的顺序是(B) A B C D 5

8、(2016 齐齐哈尔)如图，ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件 ACBD 或AOB 90或 ABBC 等使其成为菱形(只填一个即可) 第 5 题图 第 6 题图 6如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60的菱形，剪口与折痕所成的 角 的度数应为 30或 60 7(2017 菏泽)在菱形 ABCD 中，A60，其周长为 24 cm，则菱形的面积为 18 3cm2. 8(2017 自贡)如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CEAF.求证：ABFCBE. 证明：四边形 ABCD 是菱形， ABBC，AC

9、. 在ABF 和CBE 中， AFCE， AC， ABCB， ABFCBE(SAS) ABFCBE. 9(2017 岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程 已知：如图，在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，ACBD 求证：四边形 ABCD 是菱形 证明：四边形 ABCD 为平行四边形， BODO. ACBD，AC 垂直平分 BD.ABAD. 四边形 ABCD 为菱形 10(2017 江西)如图，任意四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形

10、EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是(D) A当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为菱形 B当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形 C当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 可以为平行四边形 D当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形 11(2017 南京)如图，四边形 ABCD 是菱形，O 经过点 A，C，D，与 BC 相交于点 E，连接 AC，AE，若D 78，则EAC27 提示： 由四边形 ABCD 是菱形可知 DADC， 又D7

11、8， DACDCA51， ADBC， ACB DAC51.AEBD78，EACAEBACB27. 12(2017 广东)如图所示，已知四边形 ABCD，ADEF 都是菱形，BADFAD，BAD 为锐角 (1)求证：ADBF； (2)若 BFBC，求ADC 的度数 解：(1)证明：四边形 ABCD，ADEF 都是菱形， ABBCCDADDEEFFA. 又BADFAD， ADBF. (2)BFBC，ABAFBC， ABF 是等边三角形 ADBF，BADFAD30. 四边形 ABCD 是菱形，ABCD. ADC180BAD18030150. 13(2017 滨州)如图，在ABCD 中，以点 A 为圆

12、心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B，F 为圆心， 大于1 2BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P；连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF，则所得四边形 ABEF 是菱 形 (1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)若菱形 ABEF 的周长为 16，AE4 3，求C 的大小 解：(1)证明：由作图过程可得：AE 垂直平分 BF，BEFE. 在AEB 和AEF 中， ABAF， BEFE， AEAE， AEBAEF(SSS)EABEAF. 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC.EAFAEBEAB. BEABAF. 又AFBE， 四边形 ABEF 是菱形 (2)连接 BF，交 AE 于 G. 菱形 ABEF 的周长为 16，AE4 3， ABBEEFAF4，AG1 2AE2 3，BAF2BAE，AEBF. 在 RtABG 中，AGB90， cosBAGAG AB 2 3 4 3 2 . BAG30.BAF2BAE60. 又四边形 ABCD 是平行四边形， CBAF60.