高等结构动力学-多自由度系统的振动课件.pptx

1、多自由度系统的振动3.4 简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析设 sinFFt MxKxF 12222kkkKkk1200mMm设其稳态响应 12sinXxtX代入到振动微分方程中去得：100FF1m2m1x2x1k2k1F0设2110121222222()0XFkkmkXkkm22222121212122222()()()kkmkm mkkm 11X22X102211022222()0FkFkmkm 212110210220kkmFF kk 21022102()1sinFkmxtF k若 或 则有 共振。120 若 则 222km10 10X 1022

2、sinFxtk 1 022FXk 3.4 3.4 简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析1122sinsinxXtxXt1m2mEI1sinPt2sinPt1x2x11ym 22ym 1P2PP1P2sint11 1()m x 11211122222()m x 1111 1122212211 122222()()sin()()sinPPxm xm xtxm xm xt运动方程运动方程设特解为设特解为221 1112 1221(1/)/PmXmX221 21122222(1/)/PmXmX解方程解方程,得得1212XX其中其中212 121222222/1/

3、PPmm 3.4 3.4 简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析221 1112212121/PPmm 21 112 1221212221/1/mmmm 1.1.在平稳阶段在平稳阶段,作简谐振动作简谐振动,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时01122PPXX 221 1112 1221(1)PmXmX 221 21122222(1)PmXmX3.3.当当 时时1200XX1122sinsinxXtxXt1111 1122212211 122222()()sin()()sinPPxm xm xtxm xm xt设特解为设特解为221 1

4、112 1221(1/)/PmXmX221 21122222(1/)/PmXmX解方程解方程,得得1212XX其中其中212121222222/1/PPmm 3.43.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析221 1112 1221(1/)/PmXmX221 21122222(1/)/PmXmX解方程解方程,得得1212XX其中其中212 121222222/1/PPmm 221 1112212121/PPmm 21 112 1221212221/1/mmmm 1.1.在平稳阶段在平稳阶段,作简谐振动作简谐振动,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.

5、2.当当 时时01122PPXX 221 1112 1221(1)PmXmX 221 21122222(1)PmXmX3.3.当当 时时12X0X04.4.当当 或或 时时1212XX n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。221 1112212121/PPmm 21 112 1221212221/1/mmmm 1.1.在平稳阶段在平稳阶段,作简谐振动作简谐振动,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时01122PPXX 221 1112 1221(1)PmXmX 221 21122222(1)PmXmX3.3.当当 时时1200XX4.4.当当 或或 时时1212X

6、X n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。5.5.求稳态振幅可列幅值方程求稳态振幅可列幅值方程111)(ymtI 211sinmXt1sinIt2111ImX-惯性力幅值惯性力幅值2222Im X1m2m1P2P1X2X1I2I111 112 21PXII221 122 22PXII3.43.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析1.1.在平稳阶段在平稳阶段,作简谐振动作简谐振动,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时01122PPXX 221 1112 1221(1)PmXmX 221 21122222(1)PmXmX3.3

7、.当当 时时1200XX4.4.当当 或或 时时1212XX n自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。5.5.求稳态振幅可列幅值方程求稳态振幅可列幅值方程111)(ymtI 211sinmXt1sinIt2111ImX-惯性力幅值惯性力幅值2222Im X1m2m1P2P1A2A1I2I111 112 21PXII221 122 22PXII2111/XIm2222/XIm2111112 21(1/)0PmII221 122222(1/)0PImI6.6.内力幅值的计算内力幅值的计算3.43.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析1m2mEIsi

8、nPt3/l3/l3/l例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。,21mmm33.415EIml已知：已知：1I2IP1x2x1X2X解：解：111112 2()XP II221122 2()XPII2111/XIm2222/XIm2111112 211(1/)0mIIP0)/1(2122222121PImIEIl321124867EIl32211486800165.00144.00693.021PII00144.00693.00144.021PIIPI2936.01PI2689.02310.02517/XPL EIP2689.0P2936.1Pl317

9、3.0Pl2035.0不存在统一的动力系数不存在统一的动力系数320.02306/XPLEI3.5 简谐荷载作用下有阻尼系统的受迫振动分析简谐荷载作用下有阻尼系统的受迫振动分析建立振动微分方程：12222cccCcc sinFFt 100FF i tFF e设 i txX e 12XXX 代入到方程中去1k1c2k2c1F1x2x1m2m代入得1112101221220bbFXXbb21112112()()bkkmicc122122()bbki c 222222bkmi c211 2212b bb 22110221bXFXb121122iiX eXX eX 1122sin()sin()XtxX

10、t不用初始条件就可以确定 .1X12X23.6 动动 力力 减减 振振 器器 一、图示无阻尼动力减振器的系统.其中由质量 和弹簧 组成的系统称为主系统，由质量 和弹簧 为辅助系统，称为减振器。1m1k2m2k1m2m1k2k1x2xsinFt设其稳态响应为111221222220sin00mxkkkxFtmxkkx1122sinxXtxX222121222()()kkmkmk 可得 设 为主系统的固有频率，为减 振器的固有频率。为主系统的等效静位 移，为减振器质量与主系统质量之比。*111km*222km1stFXk21mm2221XkmF22k FX 振幅2*21*222222*11211(

11、)()1()()1()()stXX2*222222*1121()1()()1()()stXX当 时，则 这就是说，倘若使减振器的固有频率与主系统的工作频率（激振的频率相等时），则主系统的振动将被消除，这种现象称为反共振。*210X*2*12*222()()stXFXk 这个力恰与作用在主质点 上的激振力 大小相等，方向相反，互相平衡，这就是减振器消除主系统振动原理。22()sinFx ttk 1msinFt*21A减振器的缺点:使单自由度系统成为两自由度系统，因而有两个固有频率，如果激振力的频率变化，就可能出现两次共振;当激振频率稍微偏离 时，振幅 立即上升很大.二、有阻尼的减振器111122

12、12222220sin00mxxkkkxccFtmxxkkxcc设稳态响应 12i ttXxeX代入得：212121222220Fkkmi cki cXki ckmi cX1m2m1k2k1x2xsinFtc ,分别为系统稳态响应的振幅和相位差，可得主系统的振幅222121222()()()()kkmi c kmi cki c1122211()ikmi cXFX e2222()iki cXFX e1X122222211222 22222112222112()()()()()F kmcXkmkmk mckmm设1stFXk*111km*222km21mm*2*1*1*212cm则有2222122

13、22222222()(2)(1)()(2)(1)stXX 有阻尼减振器自学内容:024681012140.60.70.80.91.01.11.21.31stXX*1 频谱曲线图12011*10.8952*11.12共振频率：作业：p174：3-8；3-233.7 多自由度系统无阻尼的自由振动设 xq1.固有频率 0MxKx方程特解为sin()jjxAt(1,2)jn 写成矩阵形式 sin()xAt代入到振动微分方程中：2()0KMA A有非零解的充要条件是系数行列式等于零即20KM2221111121211222212122222222211220nnnnnnnnnnnnkmkmkmkmkmk

14、mkmkmkm展开后为221222121()()()()0nnnnnaaaa设2222123n可求得：211为基频2.模态.主振型2()0iiKMA2()2()11111112()2()111()()0()()0iiininniininnninnnkmAkmAkmAkmA展开有 个方程中只有一个不独立，设n()11iA则有：()2()()()()()3121 1iiiiiiTnnAAAA系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.(1)(2)(1)n 模态矩阵()()sin()iiiiixt 其中 为任意常数，取决于初始运动条件。ii 例mmmKKK1x2x3x 代入频率方程11

15、223300200020000mxkkxmxkkkxmxkkx 20200kmkkkmkkkm展开后得：322356()()0kkkmmm(0.198)(1.55)(3.25)0kkkmmm110.198km221.55km333.25km 设2可得模态矩阵：(1)1.0001.8022.24T(2)1.0000.4450.802T(3)1.0001.2470.555T通解为111222333sin()sin()sin()ttt 123()()()x tx tx t 振型一阶123二阶123三阶123 1.0001.0001.0001.8020.4451.2472.2470.8020.555

16、3.模态的正交性（主振型的正交性）设两个固有频率 和 所对应的模态分别为 ij()i(),j 由于 ()()20iiiKM得 ()()2iiiKM同理：()()2jjjKM分别左乘矩阵()Ti()Tj ()()()()2j Tij TiiKM ()()()()2i Tji TjjKM-式得 ()()22()0TijjiM可得：()()0TijM同理可得 ()()0TijK 表示不同固有频率的模态关于质量矩阵的正交性和关于刚度矩阵的正交性。主振型正交性的物理意义：如果把 看作第j阶主振型的惯性力在第i阶主振型作为虚位移上所做的虚功，则主振型关于质量的正交性就是任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零。()2()TijjM例题：上一例题数据的验算 (1)(2)201.0001.0001.8022.24720.44500.8021.0000.1980.3570.4450.4450.35690.356900.802TKkkkkkkkkkk (3)(2)001.0001.0001.2470.555000.445000.8021.0001.2470.5550.445(1 0.5540.445)00.802TMmmmmmmm