拉格朗日方程的第一积分课件.ppt

1、第2节12ni iiiTmr r 012niiiiTmttrr1NniiijjjiTmqqtrr212NNniiijljljliTmq qqqrr 12nNNiiiiijljlijlmqqqtqtrrrr210TTT1Niiijjjqqtrrr对于定常约束T0=0;T1=01ddNjjjjjLLLqqtqq由于主动力有势：d0djjLLtqq1ddddNjjjjjLLLqqttqq如果系统，且拉格朗日函数：1212(,;,)NNLL q qqq qq1ddNjjjLqtq1d0dNjjjLqLtq1NjjjLqLEq，或欧拉齐次式定理：021211112,0NNNjjjjjjjjjTTTqTq

2、Tqqqq拉格朗日函数可写为：210LTTTV对于定常约束，有 ，故100TT2TTTVE机械能守恒仅是广义能量守恒的特殊情形。1NjjjLqLEq20TTVE如系统中，且拉格朗日函数：0jLqd0djLtqjjjLTpqq刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?d0djjLLtqqjjLCqV与广义速度无关pj 广义动量本题中是否存在循环积分和广义能量积分？为什么？xyRmORMxxyABOgmAgmB取x和为广义坐标222211(2cos)cos22ABBLm xmxllxm gl22:()cossin0:cossin0ABBBBBBxmmxm lm lm lm lxm gla).x为循环

3、坐标，存在循环积分水平方向动量守恒b).L不显含t，存在广义能量积分222211(2cos)cos22ABBm xmxllxm glE(cos)ABLm xmxlCx将以上结果与拉氏方程比较：首次积分就是微分方程积分一次的结果！机械能守恒试分析第一积分。xrxOyxOx rx CvC系统的拉格朗日函数为:2231()cossin24rrrLMm xmxmxxmgx广义能量积分为202231()cossin24rrrTTVMm xmxmxxmgxE()cosrLMm xmxCx与循环坐标x相对应的循环积分为小车的车轮在水平地面上作纯滚动，每个轮子的质量为m1，半径为r，车架质量不计。车上有一质量

4、弹簧系统，弹簧刚度系数为k，物块质量为m2。试分析拉格朗日方程的首次积分。k2m1m1mxrxk2m1m1mxrx选取x和xr为广义坐标。222211222121111222231222()()()rrxrTm xm rmxxm xmxx212rVkx22212311222()rrLm xmxxkx广义能量积分为2222012311222()rrTTVm xmxxkxE循环积分为123()rTm xmxxCx讨论：广义动量守恒，但动量不守恒。半径为R的圆环以角速度 匀速转动，质量为m的小环可在圆环上自由滑动，如下图所示。已知圆环对y轴的转动惯量为J，忽略摩擦力。试分析系统的第一积分。RmO取为

5、广义坐标。22222211(sin)22TJm RR222222011(sin)22TmRTJmR，cosVmgR 2222211(sin)cos22LmRJmRmgR 202222211(sin)cos22TTVmRJmRmgRE 2222211(sin)cos22LJmRmRmgR 1.匀速转动约束为理想约束2.广义能量守恒，但机械能不守恒3.无外力矩作用情况系统动量矩守恒a).为循环坐标，存在循环积分22sinLJmRC b).L不显含t，存在能量积分(系统能量守恒)2222211(sin)cos22JmRmRmgRE xrxx rx x Am分析拉格朗日方程的首次积分2211()cossin22ABBrBrBrLmmxm xm xxm gxsinBrVm gx 100TT22211()cos22ABBrBrTmmxm xm xxa.广义能量积分 T+V=constb.对x的循环积分LCx()cosABBrLmmxm xCx系统机械能守恒系统水平方向动量守恒c.联立求解得 和 ，再积分后既得系统运动规律x rx 系统的拉格朗日函数为:返回