初中物理理论力学课件.ppt

1、理论力学2011.9修改稿课本及内容 力学与理论力学（下册）中国科学技术大学国家基础科学人才培养基地物理学丛书 作者：秦敢，向守平 科学出版社，2008 其中，上册以力学为主，下册以分析力学为主，是经典力学或理论力学课程的主要内容。首先，我们需回顾力学的内容并进行必要的衔接。力学内容概要 质点运动学（观测并记录质点的运动）质点的位置、速度、加速度，轨迹 质点动力学（找出运动的规律和原因）质点的受力，由初始位置和速度确定之后的运动 质点系力学（应用于多个质点的体系）质点系，多个质点体系的守恒量 非惯性参考系，平动和转动（牛顿力学不适用的参考系中的处理）刚体的平面运动（刚体是特殊的质点组）角速度，

2、角动量，转动动能 一些简单应用（如有心力场，碰撞，振动等）质点运动学 质点的模型，质点运动的描述：已知位置随时间变化，求速度、加速度随时间的变化 轨迹（消去时间 t，得空间曲线）坐标系：直角坐标系（x,y,z）柱坐标系(r,j,z)（极坐标系）(r,q)球坐标系(r,q,j)其他正交曲线坐标系 自然坐标系力学基础内容（回顾）22()()()(),(),()dtdtdttttdtdtdtrvrrrvvaa(),()0tfrrr 质点动力学 牛顿三定律 从分析受力，来计算加速度、速度、位置随时间的变化（已知初始位置，初始速度）牛顿三定律的深入探讨，哪个更基本？惯性系。力的定义。惯性质量与引力质量。

3、对于粒子与场的作用，作用力与反作用力的关系。相对论情况下，第二定律成立的形式。力学基础内容（重温）000000(),()(),()(),()ttttttt dtt dtmttFavarvrrvv 质点系力学 内力和外力 动量和角动量 动能和势能 质点系的质心，质心系 动量守恒和角动量守恒及其成立的条件 机械能守恒及其成立的条件 非惯性参考系，非惯性力 平动参考系 转动参考系，科里奥利力，离心力力学基础内容（重温）刚体力学 刚体模型 角速度和角加速度 转动惯量 转动的角动量和转动动能 力矩 刚体的平面运动力学基础内容（重温）其他一些应用课题 有心力场（万有引力和行星运动，带电粒子散射）碰撞（两体

4、碰撞，散射截面）振动（阻尼振动，受迫振动，多维小振动）带电粒子的运动 狭义相对论 非线性力学 流体力学 连续介质体系的力学分析力学主要内容 约束与虚功原理 拉格朗日力学 达朗贝尔原理，拉格朗日方程，泛函变分和哈密顿原理，运动积分、对称性和守恒定律 哈密顿力学 正则方程，正则变换，泊松括号，哈密顿-雅克比方程 刚体的运动学和动力学分析力学的基础 以牛顿三定律的经典力学为理论基础 应用数学方法建立完整的理论体系 得到一些原理性的结果 有些结果推广到非经典的领域（如相对论和量子力学）更加自然分析力学与牛顿力学方法比较分析力学分析力学牛顿力学牛顿力学优点处理方法流程规范善于复杂的体系处理约束越多方程数

5、越少直观，易于理解解算简单问题比较方便缺点不够直观对于简单问题的处理显得麻烦常常需要具体灵活的分析约束越多方程数越多越繁琐第1次课直角坐标系xyzxyzreeexyzxyzveeexyzxyzaeee0 xyzeee坐标：(x,y,z)yxzo直角坐标系中的矢量运算31iiiiiaaaeaeiiaba bijkjkia ba be点乘：叉乘：矢量的表示和爱因斯坦求和约定：1(,)(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)01(,)(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)ijki j kothersi j k直角坐标系的矢量运算举例10ijijij()()()()()iijkjkijk

6、kmnjmnimjninjmjmnimmjnjninnjmjminnimmiaa b ca b cba cca bb a cc a b eabcbceb a cc a b()()()ab ca c ba b c证明：其中：ijkkmnimjninjm 可证：柱坐标系RzRRzqqveeeRzRzree2()(2)RzRRRRzqqqqaeee,0RRzqqqq eeeee坐标：(,)RzqReRqeeqxyzorqpcos,sincossin,sincosRxyxyxRyRqqqqqqq eeeeee球坐标系sin(cossin)coscos(cossin)sinsincosrxyzxyzxy

7、rrrqjqjjqqjjqjj reeeeeeeeeeesincos,(sincos)rrrqjqjjqqqjqqjjqq eeeeeeeee坐标：(,)rq jzpxyorqj坐标转换可用单位并矢点乘：,rrIIIqqjj rrre ee ee e球坐标系与直角坐标的关系rrresinrrrrqjqqjveee2222(sin)(2sincos)(sin2sin2cos)rrrrrrrrrrqjqjqqqjqqjqjqqjqaeee通过求导可得球坐标中：zpxyorqj一般的正交曲线坐标系1231 1 122233 3(,)q q qH qH qH qrrveee1,jjjjjHqHqrre

8、坐标：123(,)q q qxyzop2222222112233()()()()dHdqHdqHdqr称为拉梅系数。曲线长度满足自然坐标系 自然坐标系不是数学上严谨的坐标系，但符合人们的自身体验，因而应用于日常生活中十分容易理解。轨迹确定，之后能用路程确定位置。力(矢量)分为是改变速率的部分(沿速度方向)和改变方向的部分(垂直于速度方向)。2(),|1,|nnsdsdddvvvddtdsrrrrreveaeeeexyzop约束与自由度 一般情况下，约束约束为k个方程 假设约束有k个。对于n个质点，3n个坐标中，有k个约束，则自由度自由度为s=3n-k，从理论上说，可以用s个独立变量来描述系统。

9、这些独立变量描述系统，在分析力学中对应于由这些自变量组成一个函数（系统函数）。(,)0,1,2,.,mftmkr r 约束的类型 约束方程分类，依照含不含速度，分为：完整约束或几何约束，非完整约束运动约束或微分约束，如果可以积分，可将微分约束转化为几何约束；依照是否显含时间，分为：稳定约束，非稳定约束；依照是否为等号，分为：不等号时是可解约束，等号是不可解约束。约束的类型 完整约束（几何约束）稳定的几何约束 不稳定的几何约束 不完整约束 且不可积分成完整约束，也称为微分约束。可解约束：或 或双面可解0);,.,(21trrrfn12(,.,)0nf r rr12(,.,;)0nf r rr t

10、(,;)0ft r r(;)0ft r(;)0ft r可积分的条件 非完整约束是否可以通过乘以某个函数变为可积分的？若使 必须 即 则 反之亦然ddfjFr()0jF(ln)j FF0FFOO(x,y)(x,y)每个不可解约束，会使系统降低一个自由度。完整约束使得自由度减少，一般的完整约束可写为方程 变分之后，可成为线性变分，形如123(,.,)0sf q q qq t 约束的线性变分0iiia q 完整约束使得自由度减少，非完整约束中，一般不可积分，因此不影响独立变量的个数，但如果是线性约束，能影响广义坐标变分的独立性。线性非完整约束形如 可导致变分约束（注意到t=0）0iiia qb可化为

11、线性变分的非完整约束0iiia q第2次课作业：1.1，1.2，1.3，1.4广义坐标 坐标的个数比系统的自由度s多的时候，存在约束。约束的个数k正好等于坐标的个数减去系统自由度。用s个独立坐标来描述系统，这些独立变量称为广广义坐标义坐标，而这些坐标的数目即为系统的自由度。对应满足约束条件的质点坐标位置，有 对于可解约束，是将其视为不可解约束来处理，如果发生离开约束的情况，就放弃约束，增加一个独立坐标，重新处理。12(,.,),1,2,.,iist q qqinrr广义坐标的选用 各个质点的真实坐标可以入选系统的广义坐标。n个质点的系统，真实坐标有3n个，但广义坐标只有s=3n-k个。由于存在

12、k个约束，广义坐标的个数较少，需要选择使用。广义坐标也可以选用其他参数。选取的原则是：能够方便地表示系统每个质点的几何位置。即表达式 越简洁越好。12(,.,),1,2,.,iist q qqinrr虚位移虚位移 假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移。位移发生在与约束面相切的方向，而约束力是发生在与约束面垂直的方向。用广义坐标表示了各个质点的位置之后，虚位移可以看作当广义坐标任意变化之后，各个质点位置随之变动而产生的位移。广义坐标的变化可以任意选取，但真实坐标的变化因为有约束存在而不能任意选取。理想约束 约束力常常与约束面的方向相垂直，或在系统中作为内力双双出现，有

13、其中 是虚位移 习惯上，将虚位移视为变分，实位移视为微分。0iiiRrjjiiiqqrr分析力学中处理的约束情况绝大多数（或者说默认为）是理想约束。非理想约束的情况下，分析力学常用的方法是不成立的，通常可以将某些引起虚位移做功的约束力视为主动力，化为理想约束处理。理想约束 两质点A和B安置在刚性轻杆两端，杆可绕中央的O点旋转。在质点A上施加一个力F，考虑两质点所受到的约束力，是否一定与虚位移方向垂直？是否为理想约束？这个例子，虽然每个质点的约束力并不与虚位移垂直，可验证其仍是理想约束。AOBF 考虑空间曲面的约束，取3维空间直角坐标为广义坐标，曲面的几何约束为 对于曲面上相邻的任意点，相距 r

14、，有 即 与曲面的切面垂直。同时，约束力也与曲面的切面垂直，因而两者平行，满足关系 其中c是常数，R是约束力。理想约束()0fr()()0ffffrrrrfcfR虚位移和真实的微小位移的差别 1.虚位移是瞬时完成的（t=0），而实位移需要一小段时间（dt0）。2.虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真是发生，而实位移一般与质点的真实运动相关。3.虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向，而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向。（例如，在膨胀着的气球上爬行的小虫）虚功原理 系统处于平衡时，每个质点所受合力为0 考虑虚位移所做的功，有 对于理想约束，约束力所

15、作虚功为0。从而在虚位移下主动力做的功总和也为0，即()0iiiiWFRr0iiFR0iiiFr虚功原理 虚功原理可处理系统的平衡问题。此时，我们只要关注系统的主动力的总虚功为0的事实。而约束力在方程中消失，我们不必去解算。显然，这是系统处于平衡的必要条件。对于不可解的(稳定)约束，这个条件可以证明也是充分条件（约束如果不是稳定的，就不会有静力平衡的情况出现）。虚功原理 使用广义坐标，方程可以化为：由于广义坐标是独立变量，因此有必要定义广义力 方程化为110snjjiijiqqrF10njijjiQqrF10siiiQ q 由于广义坐标的独立性，可得 对于保守力体系，则虚功原理0iQ jjV

16、F10njijjiiVQVqq r 对于保守力体系，虚功原理可化为 则系统的势能达到极值，极小值时平衡是稳定的，极大值时平衡是不稳定的虚功原理1110nsjjiijisiiiWQ qVqVq Fr 双连杆的平衡问题 匀质的双连杆一端固定在顶部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡时两杆的角度。求约束力时，可将约束力看成主动力，同时解约束，增加自由度，然后求解。（本书29页。秦家桦，285页。陈世民，170页。金尚年，46页。）虚功原理举例Fq1q2l1l2第3次课作业：1.9，1.10，1.11求解 解：112212112112112212111211122211122212211112222(

17、),()(),()()22sinsinsin22coscos0()sincos0,sincos022FFWmmlllllllWm gm glm gFlFlmlm glFlm gFlqqqqqq qq qq qq qq qqqqq grgrFrrereeree1212222tan,tan(2)FFmm gm gqq 圆弧中两球的平衡问题 半径为R的固定圆弧上，有两个同样大小但质量不同的匀质小球，其半径为R/3，求平衡时两球的位置。这个问题用虚功原理或势能最小原理。虚功原理举例Rq1q2求解 解：这里三个球心正好构成正三角形。平衡时，小球组的质心正好在铅垂线上，是最低的。1121111211222

18、coscos()03332sinsin()0cot3(1)3VRm gRm gmmmmqqqqq 求约束面的形状 一个均质杆一端靠在光滑的墙壁，另一端所在的约束面是什么形状才能使杆在任何位置都能平衡？（本书第10页）用势能最小原理，当虚位移发生时，杆的重心高度应该不变。虚功原理举例yqxO22sin,(1 cos)()(1)12/2axyxayaaqq达朗贝尔原理 考虑动态情况，这时可以将系统中的每个质点的加速运动看成在局部的非惯性参考系下的静力平衡问题，需要加上惯性力，因此11111()()()0niiiiiisniiiijjijsnijiijjijWmmqqQmqq FRrrrFrrr达朗

19、贝尔原理进一步深化 由于广义坐标的独立性，从达朗贝尔原理可进一步推出111()nijiiijnniiiiiiiijjQmqddmmdtqdtqrrrrrr拉格朗日方程的由来 注意到由 同时将广义速度与广义坐标视为不同的变将广义速度与广义坐标视为不同的变量量，可推得221siiiikkjkjjjdqdtqqqt qq rrrr 1siiikkkqqtrrr 1siiijkkjkjqqqrrr拉格朗日方程 因此，得到拉格朗日方程 其中T是系统质点的总动能112211()11()22,1,2,.,nniijiiiiiijjnniiiiiijjjjdQmmdtqqdmmdtqqdTTjsdtqqrrr

20、rrr保守力体系的拉格朗日方程 对于保守力，由于 拉格朗日方程成为 其中L=T-V是系统的拉格朗日量。jjVQq 0,1,2,.,jjdLLjsdtqq拉格朗日方程方法的长处 拉格朗日方程依然是从牛顿力学导出的，其方程与牛顿力学给出的结果必然相同。拉格朗日方程方法适合处理具有复杂约束的系统。广义坐标的优选可使得约束的表达式更加简单。约束使自由度减少，从而使方程数减少，未知量减少，自然消去了很多不需要知道的约束力未知数。拉格朗日方法是使用能量作为分析对象的，而能量是标量，处理方便；另外，能量在各种物理过程中普遍存在并相互转化，可方便地推广应用到其他物理领域。而牛顿力学是使用矢量分析，受坐标变换影

21、响大，且矢量有较多的分量，处理较繁琐。拉格朗日方程解法步骤 确定系统自由度 选择广义坐标 将各个质点的位置矢量用广义坐标表达 计算各个质点的速度 给出系统的总动能 如果是保守系，给出势能，如果不是保守系，给出广义力 相应得到拉格朗日方程组 结合初始条件求解实例122222122221212,11(),()22()0,()0rzrrrTmrrm rVm g rLddmmrm rm grdtdtqqqqq veeverm1m2qOxz 连线穿孔两小球的运动 自由度为2 广义坐标r，q。r1=r er，r2=(r-L)ez实例2212122211,()22hhTVmm rmm grErrq 通过角动

22、量守恒，可化为自由度为1的径向运动。运动方程与势阱中的小球的运动方程完全相似，有机械能守恒，能量由势能和动能之间相互转换。第4次课作业：1.6，1.8，1.13，1.14EorEVeff哈密顿原理 作用量的定义 体系从时刻t1到时刻t2的运动过程中，定义其作用量为 哈密顿原理告诉我们，系统从t1演化到t2的所有可能路径中，系统将沿着使作用量取极值的那条路径移动。“可能路径“是指广义坐标qi关于时间t的所有连续可微的函数关系qi(t)，且在初始时刻t1和终了时刻t2的位置是已知的确定值。21(),(),ttSL q t q t t dt变分法求极值 哈密顿原理告诉我们，求解真实运动过程（得到坐标

23、与时间的函数关系）就是寻求作用量函数达到极值的问题。对于自变量为“函数”的函数极值问题，可以使用变分法。为了求S的极值，使函数q(t)稍作改变，改变量为l*q(t)，其中q(t)在两端为0且连续可导，l为系数参量。变分法求极值 函数q(t)变成q(t)+l*(t)，这时积分值S也可以看成是参数l的函数。如果函数q(t)可以使S取到极值，同样必须在l=0时，S(l)取极值。即21()(,)ttSL qq qq t dtlll21()()0ttdSLLqq dtdqqll变分法求极值 积分得（注意到dq=dq）由于q(t)在两端为0且其他点的任意性，从而必须有2211()0ttttLdLLqdtq

24、qdtqq0LdLqdtq变分法求极值 S取极值时，所需满足的条件正是拉格朗日方程。反之，真实的过程满足拉格朗日方程，能使作用量函数S取到极值。以上过程也能直接用变分法进行：21221121(,)(,)(,)()()0ttttttttSL qq qq tL q q tdtLLL q q t dtqq dtqqLdLqdtqdtq变分法求极值的其他例子 最速下降线问题。上下两端点固定，求哪种曲线的轨道能使质点从上端点由静止在最短时间内运动到下端点？2122121()02BxAxdsyTdxvgxdydxyygxAByxx1x2变分法求极值的其他例子 最速下降线问题，解为摆线。令q为曲线上的切线与

25、x轴的夹角，则2221constant22(1)yygxcyxy22tan,2 sin(1cos2),4 sin,(2sin2)yxccdycdycqqqq qqq Xyq变分法求极值的其他例子 悬链线问题，解为双曲余弦线。2202222222212111,()(1)0,10,(1)0,12(1),1coshLdVyy dxyydxyydyyyyyydxyydyydyycyxcyccXy 光线行进时间为极值（通常是极小值）的路径。变分法求极值的其他例子Xy2200221()11()()1)0()()sinconstant1(tan)LLn xTydxydxvcdn xydxyyn x yn x

26、yyqq 单位球面上短程线问题。a代表切线et与经线eq夹角。这说明 由于z轴选取的任意性，erxet必须为常矢量。且短程线在与之垂直的平面内。变分法求极值的其他例子2202221221sin,()1sin0sinsinsin1sinLdSddddcjqjqjqqjqjjqjaqqjzp1xyorqjp21sin()sin()()rtttzrzrtcqjqqeeeeeeeeeee 事实上，可积分求解球面上短程线问题：是过零点的平面方程，应该是同时过始末两点，且与球面相交所得的圆。变分法求极值的其他例子1221213223133232323232,cot,sinsin1arcsin(),sin(

27、)cotsin(sincos)cos(sinsin)cossincosc ddwccdwwddccccwccwccrccrrxccycczqjqqqjjqqjqjq 第5次课作业：1.16，1.18，1.20，1.21条件变分问题 积分约束条件下的变分问题 举例：由一条长度为L且始末两点是x轴上固定点的曲线与x轴围成最大面积。通用的处理方法：将约束条件乘以参数l，加到被积函数之中，使之取极值。S若取到极值，必须 即满足约束条件。22112()1xxxxSydxydxLllXy0Sl条件变分问题 令q为曲线切线与x轴的夹角，则22()(1)0101dyydxyydydxyll Xy1222212

28、tan,sin,sin,cos()()yxcdydycxcycqlqlq qlql 与哈密顿原理类似的其他原理 莫培督原理。应用于保守力体系。等能而不等时的变分为0。由哈密顿原理：为了强调是等能变分而不是等时的，变分符号用 代替 ：2110niiiimdvr2221111222111112()()niiiinniiiiiiiiLdtTTVdtmdEdtmdEdtmdvrvrvr莫培督原理 进一步，若动能T可改写为：则 式中dt已被消去。这即是莫培督原理的变分形式，可用等能变分求运动轨迹。22111222,11,112()0niiiisi jiji jmdTdtT T dtE Va dqdq v

29、r,1si jiji jTa q q 莫培督原理举例 求抛体运动22222200100220sin(sincos)11cos,2222cosvgyvcmvEmvxggvaaaaayxa2212112212221122121()(1)0()()(1)0,12(),4EmgxydxdEmgxydxyyc dxEmgxycdyyEmgxccEcmg ycycEmgxcxmgmgc与哈密顿原理类似的其他原理 费马原理 应用于几何光学。光线沿用时最短的路径前进 平衡体系能量最小（重力势能，静电能，磁场能量），如果没达到最小，可经过一段时间的调整，耗散能量，最后达到最小。而哈密顿原理和费马原理的最小值取得

30、是瞬时的。210nds从哈密顿原理看拉格朗日函数的相加性 两个相互独立体系组成统一体系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，则L=LA+LB 由于两系统相互独立，必须两项都为0。因而可通过L的简单相加合并两个相互独立体系，反之也可把L中的独立体系分离出来。212211(,)(,)(,)0ABABAAABBBL qqqqt dtL qqt dtL qqt dt 拉格朗日函数可以加上任一个函数f(q,t)的时间全微商，不影响结果。因为全微分的积分是定值，对作用量的变分没有贡献。由于始末端固定，f的变分为0 也可以直接验证 满足拉格朗日方程。22221111(,)0dfLLdtLdtLdtf q t

31、Ldt从哈密顿原理看拉格朗日函数的非唯一性L 直接验证：为了简便，拉格朗日函数中的时间全微分项可以适当去除。()()0dddfLdtqqdtqq dtddfdfdfdfdtq dtq dtdtqdtq从哈密顿原理看拉格朗日函数的非唯一性解题实例 螺旋线上的珠子 轨道方程为已知222221.,1(1)2razbzLm aa b zzmgzq2222.,1()2razbLm abmgbqqq陈世民，P25例1.5解题实例 在竖直平面内的弹簧摆2222020211()cos()22cos()0()sin0Lm rrmgrk rlmrmrmgk rldmrmgrdtqqqqqqq解题实例 在竖直平面内

32、的两个绳连重物22122(2)0(2)(),(0)(0)0,exp()exp()2,2(2)y yLMymyMgymglmgyMm yMglmgMlMm yyyylmMlmgyttmlMm第6次课作业：1.24，1.25，1.26，1.28MMm拉格朗日函数与运动积分 一般情况下，拉格朗日方程为s个二阶微分方程（s为自由度），求解之后，有2s个积分常数。这些积分常数需要初始条件（t=0时的广义坐标和广义速度）确定，得到 有时，某个Ci可以表示为广义坐标和广义速度的组合，在运动过程中保持守恒，成为运动积分：1212(,.,;,.,)iissCC q qq q qq122122(;,.,),(;,

33、.,)iisiisqq t C CCqq t C CC拉格朗日函数与运动积分 广义动量的定义：拉格朗日方程成为类似牛顿定律的方程 循环坐标：如果拉格朗日函数中不显含有某个广义坐标，则此坐标成为循环坐标。循环坐标对应的广义动量守恒，是运动积分。iiLpqiidpLdtq0,constantiiidpLpdtq拉格朗日函数与广义能量 当拉格朗日函数不显含时间时，能够得到的运动积分是广义能量 H。11111()()constantsiiiiissiiiiiiiissiiiiiidLLLqqdtqqdLLdLqqqdtqqdtqLHqLp qLq拉格朗日函数与广义能量 对于几何约束，可以求速度表达式为

34、：动能表达式中所含的广义速度的1siiijjjqqtrrv2122111210121()2()2niiinssiiiiijjijjjjTm vmqqqqttTTTrrrr拉格朗日函数与广义能量 此时，L不显含t时，有守恒量 对于稳定的几何约束，T=T2，H=T+V是机械能。这里着重指出的是，如果约束是不稳定的，系统的机械能并不守恒，守恒的是广义能量H。212102012()siiiTHqLTTTTTVTTVq 广义能量举例 求解一个弹簧振子在一个以角速度绕z轴旋转的、在xy平面内的光滑管中的运动。与机械能守恒不同 可看作是离心力产生的势能。不稳定约束产生了T0项22222222211()220

35、111222Lm rrkrmrmrkrmrmrkrHqzxy(cossin)rxyrrttreee 相对论中的光速不变性，要求光在运动时的空间和时间的参量变化保持下式不变（都为0）：推而广之，我们要求在相对论中，质点移动产生的ds在不同参考系中也保持不变。同时我们知道在普通三维空间中，两点之间的间距|dr|在不同参考系中都保持不变，因此，只要将时间变成第4维，运动位移成为4维向量 而ds正比于它在4维空间中的间距|dr(4)|，也能保持不变。220dsc dtddrr相对论时的拉格朗日函数(4)(4)22|,|/()1/dsi dddicdtvcrr(4)(,)ddx dy dz icdtr

36、如何描述一个自由质点的运动，是最基本最简单的问题。对此，我们希望给出相对论时空中的自由质点运动的作用量函数。因为作用量函数是标量，标量不会因选取不同的坐标系而变化，而对于自由运动的质点，我们能构造出的具有这种不变性的量仅仅是它运动时的4维间距，是仅知的标量。因此，取 为了能在低速情况下回到经典的拉格朗日函数，必须取恰当的系数相对论时的拉格朗日函数dSds2221vdSmcdsmcdtLdtc 这样，我们得到了相对论时的拉格朗日函数，并能验证它在低速情况下能回到经典力学的拉格朗日函数（仅相差一个常数）：从而，质点的动量为 与经典情况相比，产生了质量增加的效果。2222222211(1)22vvL

37、mcmcmcmvcc 相对论时的拉格朗日函数221Lmvcvpv 保守场中，质点的运动方程为：这即是质点的受力方程 动能dVdt pfr相对论时的拉格朗日函数222()(1)0dvmcVdtcvr2222222222()()()1/1/1/ddTddddddtm vccmvdvmcddvcvcvcpfrrvpp vpv 质能公式：这里b是归一化速度，g是相对论因子。拉格朗日函数这时并不是动能减势能。有了拉格朗日函数，相对论的运动过程都已经得到解决。具体运用到各个方面，可以与各个经典物理的结果作比较分析。相对论时的拉格朗日函数2222,1/1,1mEMc MvcvMmcbggb 4维时空的“位移

38、”：位移的绝对值是4维空间的标量，不随选取不同的坐标系而变化。对于另外一个以匀速v0运动的惯性系，经典力学给出伽利略变换：我们需要寻找4维时空的变换，使得在低速时是伽利略变换，且保持4维矢量的模不变。相对论的时空变换(4)(4)22(,),|/()1/ddx dy dz icdtddicdtvcrr0,xxv t tt 两个惯性系之间的4维时空的坐标进行变换时，由于起始时间和原点重合，因而时空坐标原点也重合。因为 x=x-v0t=x+ibict，这里 b=v0/c，可看作位置（x，ict）在 x 坐标轴上的投影（点乘积）。故 x 轴的向量平行于(1，ib)，归一化为(g，igb)，这里 g=(

39、1-b2)-1/2相对论的时空变换020()(/)xxv tttv x cgg xic txic tx=x-v0 t(x,ic t)而时间轴（ict)与空间轴(x)应该相“垂直”，才能保证长度不变，故时间轴向量为（-igb，g)，从而得到洛仑兹变换：因为d 是4维空间的标量，是时空坐标变换时的不变量，用它代替dt 求速度时，可得 4维空间的速度向量 u(4)=(dr,icdt)/d=g(v,ic)4维向量：动量-能量 mu(4)=(p,iE/c)它们都遵从洛仑兹变换。如 它们都有不变的模相对论的时空变换0(/)()xxxppE cEEv pgbg 2222222()()(/)i cciEcm

40、cgg vp第7次课作业：1.30，1.33，1.36，1.37拉格朗日函数的空间均匀性 拉格朗日函数的空间均匀性指当将系统进行一个微小的平移之后，拉格朗日量不改变。由r的任意性得到动量守恒。11111111()()()()()()0ssjjjjjjjjjjjsnsijiijjijjjnsniiijiiiijijLLdLLdLLqqqqqqdtqqdt qdTdqmqdtqdtqdddmqmdtqdtdtrrrprr rr拉格朗日函数的空间各向同性 拉格朗日函数的空间各向同性指当将系统进行一个微小的转动之后，拉格朗日量不改变。由j j 的任意性得到角动量守恒。空间均匀性可看作x,y,z是循环坐

41、标，各向同性可看作j是循环坐标。111()()()0nniiiiiiiini iiiddLmmdtdtddmdtdtjjjr rrrJrr带电粒子在电磁场中的拉格朗日函数 在相对论中，我们取4维时空的位移向量为 空间的电磁场同样是由4维的电磁场势能向量描述，后面可以验证可写为：描述带电粒子在电磁场中运动的作用量函数dS还需要有一个标量部分，这个标量要有描述粒子运动位移的成份，也要有描述电磁场的成份。此时，dr(4)(A,ij/c)符合要求。两个4维向量点乘，得到不随坐标变化的标量。另外还要乘以粒子的电荷e。(4)(,)ddx dy dz icdtr(4)(,/)icjAA带电粒子在电磁场中的拉

42、格朗日函数 在相对论中，可取作用量函数为 而对于低速情况，可取普通的动能代替拉格朗日函数的第一项。当然也可以不替换。得到拉格朗日函数 广义动量：拉格朗日方程：(4)(4)()dSmcddeddtj rrAr()()dmeeedtgj vAv A22222112vLmceemveemccjj A vA vmegpvA带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程 x分量为拉格朗日方程：利用 得到洛仑兹力方程ddttv()()yxxxzxyzAd m vdAAAee vvvdtdtxxxxgj,tj AEBA()()d mdemdtdtg vvE v B粒子在电磁场中运动方程的4维形式 用4维向量重新写拉格朗日

43、函数和方程：得到 Fji是电磁场张量。方程在4维时空坐标变换下形式不变。()0(),jijijiijijijijijiuAdmceAeudxu uAAdmueu FFdxx()0BiiiiASmcuueAu d粒子在电磁场中运动方程的4维形式 矩阵形式：矩阵Fji是反对称的，求本征值方程|Fji-lI I|=0时，是关于l2的一元二次方程。由于本征值在坐标变换时的不变性，因而方程系数也是不变的。0/0/0/0 xxzyxyyzxyyxzzzxyzttuuBBiEcuuBBiEcdmBBiEcduuiEciEciEcuu422222(/)(/)0BEccllB E粒子在电磁场中运动方程的4维形式

44、 其中，是标量，以后在电磁场的拉格朗日函数中需要用到。另一个系数EB也是不变的，但它是赝标量（考虑时间反向的运动，从受力方程看，速度反向，电场不变而磁场反向，因而EB反号，而真标量应该不变。），但(EB)2是标量。222/2ijijBEcF F第8次课作业：1.29，1.34，1.38，1.39+BE两体碰撞 两体问题是质点相互作用中最简单最基本的过程。大到太阳和地球的相互作用，小到原子核之间的散射碰撞，都可以简化为两体问题。两体问题可以约化为单质点的有心力问题。用两点的质点系的质心位置rc和两点间的位移r代替两质点的位置r1，r2。1 12 22112,cmmmmrrrrr r两体碰撞的拉格

45、朗日函数 定义 m=m1m2/(m1+m2)是约化质量，可解得 从而拉格朗日函数可写为1122/,/ccmmmmrrrrrr221122221211()2211()()22cLmmVmmVmvvrrrrrm2m1r1r2rc两体碰撞是有心力作用下的平面运动 利用拉格朗日函数的相加性，分解为一个质量为（m1+m2）的自由质点，与一个质量为 m 的在势能 V(r)中运动的粒子。牛顿第三定律告诉我们，两质点的相互作用是沿着 r 方向的，因此势能 V(r)产生的作用力是有心力。有心力作用时，力矩为0，因而角动量 J=r x mv守恒。以角动量的方向为z轴，因为r垂直于J，质点可限制在xy平面内运动。两

46、体碰撞的方程 约化质量质点的拉格朗日函数：相应的拉格朗日方程：角动量守恒可写为 b是瞄准距离，v0是初始速度22(),()0ddrrV rrdtrdtmm qqJrzxy20hrbvq2221()()2LrrV rmq弹性碰撞与非弹性碰撞 弹性碰撞时，相互作用力是保守力，机械能守恒。约化质量的质点的初速度与末速度相等。这意味着它的速率不变但运动方向可能改变。|v1-v2|=|v1-v2|非弹性碰撞时，有耗散作用力将一部分机械能转变成热能，因而其末速率比初速率小，两者比例为参数e。e=1是弹性碰撞，而非弹性碰撞时e1。|v1-v2|=e|v1-v2|弹性碰撞与非弹性碰撞 一般来说，碰撞之后的速度

47、表示为 v1=vc+|v1-v2|e m2/(m1+m2)v2=vc-|v1-v2|e m1/(m1+m2)其中 vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)是质心的速度，e 是不超过1的向量，代表质点在质心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢复率。对于弹性碰撞，其数值为1，对于非弹性碰撞，其数值小于1。平方反比力的碰撞 对于平方反比力，假设 F(r)=k/r2，k的符号决定是斥力或者是引力。对时间积分：从而2rrkkdtdtdrhmqree()()BABAkhqqm vveeqeqerAB平方反比力碰撞的轨迹 因此 取eq方向，除以h或 是双曲线，最近距离为 0()BrABAxykkkrr

48、vhhhqqqqqmmmveeveeeeeqABb002221()sin(1 cos)xyvvkkkrhhhhhqqqmmm eee202min1()1 1hvkrhkmm 2rq平方反比力碰撞的偏转角 令 r 无穷大，求偏转角j 由此得到偏转角 这里b是瞄准距离，b0是偏转90的瞄准距离02sin(1 cos)0vkhhjjm2000200cot,2v hv bbkbkkbvmmjm qABb微分散射截面 通过散射过程，某一小块立体角dW（可以看作是单位球上的一块小面积）与某块入射面积ds对应起来，微分散射截面就是指 ds/dW。由偏转角和瞄准距离的关系就能得到散射截面。卢瑟福散射实验BqA

49、b微分散射截面 平方反比力的散射截面为 刚性球的散射截面1212()sin()()cos22bRRRR qq204sin4sin2bdbd dbdd dsjqq q jWqb221212(),()4RRdRRdssW碰撞速度的图示 质心系中，m1和m2的初始速度为 v1，v2（m2，m1）碰撞之后速度为v1，v2，（em2,em1）质心速度为vc 还原到实验室坐标系里，末速度为v1，v2v1v2v1v2v2Lv1LvC第9次课作业：2.1，2.2，2.3实验室参考系的偏转角 考虑实验室参考系中，初始时m2是静止的。画出速度 v1c，v2c，v1c，v2c，v1，v2，vc 长度比例 m2，m1

50、，em2,em1,?，?，m1221sintancosLememmqqq122221212coscos2cosLmemme memmqqqqLq12sinsin()LLmemqq q实验室参考系的微分散射截面 只要求出实验室参考系与质心系的立体角之比，就能利用质心系的微分散射截面公式。完全弹性碰撞时，e=1：由 得122sin()sin,/sinsin()cossincos()sincoscos(),cos()()cos,coscos()sinsincos()LLLLLLLLLLLLLLLLLLLmmdddddddqqaqaqqqqqqqqaqqqqqqqaqqaqqqqqqqqqWW实验室参