平均指标和变异指标参考课件.pptx
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- 平均指标 变异 指标 参考 课件
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1、1第一节 平均指标的概念、特点、种类 测度数据集中趋势的指标是平均指标,平均指标包括两大类:数值平均数和位置平均数。数值平均数是根据全部数据计算得到的,位置平均数是根据数据所处位置或部分指标值计算得到的;一、概念:平均指标就是反映同质总体内各单位某一数量标志值一般水平一般水平的综合指标。如:某企业的工人的平均工资可以代表这个企业工人工资收入的一般水平;全国粮食平均亩产量可以代表我国粮食生产的一般水平;2 二、特点 1、平均指标把总体各单位数量标志值之间的差异抽象化了。2、平均指标是总体各单位标志值的一般水平,反映了事物变动的集中趋势;三、种类 最通常的分类:数值平均数(包括算术平均数、调和平均
2、数和几何平均数)和位置平均数(中位数和众数);3第二节 数值平均数 一、算术平均数(arithmetic mean)(又可分为简单算术平均数简单算术平均数和加权算术平均数加权算术平均数)1、计算公式:算术平均数算术平均数=总体标志总量总体标志总量/总体单位总量总体单位总量注意注意:1)算术平均数的分子、分母是同一同一总体总体的两个总量指标,分子与分母存在着对应关系;2)算术平均数与强度相对指标虽然都是两个总量指标的对比关系,但两者存在实质差别;4 2、具体计算 1)简单算术平均数简单算术平均数:根据未分组整理的原始数据计算的平均值;计算公式为:式中:代表算术平均数;x代表各单位标志值;n代表总
3、体单位数;是总和符号;例:某班组有10人,某日的生产量分别为14、15、16、16、18、19、20、20、22、24件,则该班组的平均每人日生产量为:(14+15+16+16+18+19+20+20+22+24)/10=18.4件;nxnxxxxn.21 x 5 2)加权算术平均数加权算术平均数:次数就是权数。根据分组整理的数据计算的算术平均数;分两种情况:单项式数列:、当权数为绝对数:式中的f代表各组变量值出现的频数;例:fxfffffxfxfxxnnn.212211 某某生生产产班班组组按按日日产产量量分分组组表表 按日产量分组(件)x 工人人数(人)f 总产量(件)xf(1)(2)(3
4、)=(1)*(2)17 1 17 18 2 36 19 4 76 20 3 60 合合计计 10 189 6 根据上述资料,计算该生产小组平均日产量为:注意注意:简单算术平均数是这种情况的特例;、当权数为相对数:式中:代表权数,是相对数。9.1810/189fxfx ffxx ff7注意注意:权数为绝对数或相对数,计算结果是一致的;仍以上例为例:某某生生产产班班组组按按日日产产量量分分组组表表 按日产量分组(件)x 工人人数(人)f 比重(%)ff ffx(件)17 1 10 1.7 18 2 20 3.6 19 4 40 7.6 20 3 30 6.0 合合计计 10 100 18.9 8
5、根据组距数列计算加权算术平均数:与单项数列条件下计算加权平均数的方法相同,只需要以各组的实际平均数乘以相应的权数即可;但是,在编制组距数列时,由于原始数据量很大或原始数据根本没有给出来等原因,无法计算实际的组平均数,此时,只能用此时,只能用组中值组中值来来代替。代替。由于组中值来代替组实际平均数,要求组内部的标志值是均匀分布的,因此,按组中值计算的加权算术平均数只能是个近似值。组中值的含义和计算?9知识回顾知识回顾:组中值:每一组标志值中点位置的数值叫组中值。该数值代表各组数值的一般水平。成立前提:变量在组内的变化是均匀的或在组中值两侧呈对称分布状态;计算方法:闭口组的组中值=(上限+下限)/
6、2 只有上限的开口组组中值=上限-相邻组组距/2 只有下限的开口组组中值=下限+相邻组组距/210 其计算也分两种情况:、当权数为绝对数:其中xi代表组中值,而不是实际的变量值;fi代表每组的频数;、当权数为相对数:式中:代表权数,是相对数。fxfffffxfxfxxnnn.212211 ffxx ff11 例:权数是绝对数的组距数列的加权平均数的计算:某银行某年某月为 100 家企业贷款情况表 按贷款额分组(万元)组中值(万元)x 贷款企业数(个)f 各组贷款额(万元)xf 10 以下?20?10-20 15 10 150 20-30 25 22 550 30-40 35 34 1190 4
7、0 以上?14?合计 或或 100 2620 根据上述资料计算该银行为每家企业的平均贷款额为:万元2.261002620fxfx 12 例:权数是相对数的组距数列的加权平均数的计算:某银行某年某月为 100 家企业贷款情况表 按贷款额分组(万元)组中值(万元)x 贷款企业数(个)f 比重(%)ff ffx(万元)10 以下 5 20 20 1.0 10-20 15 10 10 1.50 20-30 25 22 22 5.50 30-40 35 34 34 11.90 40 以上 45 14 14 6.30 合计 100 100 26.20 根据上述资料计算该银行为每家企业的平均贷款额为:万元2
8、.26ffxx 13 3、加权算术平均数与简单算术平均数的最大区别区别在于:加权算术平均数受到变量值大小、次数两个因素的影响,而简单算术平均数只受变量值大小的影响。4、算术平均数的不足不足:容易受极端变量值的影响,使平均数的代表性变小;当组距数列为开口组时,由于组中值不好确定或不太准确,使平均数的代表性变小;14 5、算术平均数的数学性质(数学性质(P52)(1)算术平均数与其总体单位数的乘积等于各单位标志值的总和;(2)各个变量值与其算术平均数的离差之和等于0;即:(3)各个变量值与其算术平均数的离差平方和为最小值,即 为最小值;以简单算术平均数为例证明:0)(xx2)(xx15 设 为不等
9、于 的任意数,则 0 xx0 xxccxx0220222222220)()(;0)()(2)()()()(xxxxncncxxncxxcxxcxxcxxxx-16二、调和平均数(二、调和平均数(harmonic mean)1、含义、含义:是算术平均数的变形。是根据变量值的倒数计算的算术平均数的倒数,故又称倒数平均数倒数平均数,通常用 表示。2、计算方法、计算方法:分为简单调和平均数简单调和平均数和加权调和平均数加权调和平均数。(1)简单调和平均数:简单调和平均数:假定有n个变量值,x1,x2,x3xn,则简单调和平均数计算公式为:hx=xnnxxxxn11.11113 hx17 先看一个例子:
10、在菜市场上,某青菜早晨卖0.67元/千克,中午卖0.5元/千克,晚上卖0.4元/千克,请计算这种菜这一天的平均价格;1、用简单算术平均数方法计算:2、用简单调和平均数计算方法:52.034.05.067.0 x50.040.0150.0167.013hx18 前一种计算方法是依据早、中、晚的单价简单平均计算出来的,它只受早、中、晚单价的影响;而后一种简单调和平均数,不仅受早、中、晚不同价格的影响,还受早、中、晚买的商品重量的影响(隐含着早、中、晚各买一元钱,如果购买金额不同,则是我们后面将要讲解的加权调和平均数的概念了),所以计算出来的价格是不同的。那么那种价格更具有代表性呢?在销售量不同的情
11、况下,应考虑销售量这个因素对平均价格的影响,因此第二种价格更具有代表性;19 再看一个例子:某市场上三种不同蔬菜的价格分别是0.5元/斤,0.8元/斤,1.0元/斤,如果每种蔬菜各买一元钱的,则平均价格是多少?即各买一元钱的蔬菜的平均价格为0.71元;注意:注意:从这个例子我们可以体会调和平均数的经济意义。在这个例子中,平均价格=总金额/总数量,符合平均价格的基本计算公式;hx=元)(71.030.118.015.011 20(2)加权调和平均数加权调和平均数,计算公式为:hx=nnnmmmmmxmxmxmx.1.1111321332211=nnnmxmxmxmxmmmm1.111.33221
12、1321=mxm1 上式中:x代表标志值;m代表调和平均数的权数;21 例:根据下表某公司所属三个厂生产某种生产资料的情况,计算产品平均单位成本。某公司所属三个企业生产某种产品资料表 工厂 单位成本(元/件)x 总成本(万元)m 总产量(万件)m/x 甲 10 10 1 乙 8 32 4 丙 7.2 36 5 合计(7.8)78 10 平均单位成本=总成本/总产量=mxm1=1078=7.8 22 注意两点:(1)简单调和平均数是加权调和平均数的特例;当m1=m2=m3=mn=1时,加权调和平均数就是简单调和平均数;(2)从上例可以看出,调和平均数仍然是以总体标志总量除以总体单位总数计算的,在
13、经济内容和计算结果上与算术平均数一致,只是由于计算时依据的资料不同,而在计算公式和计算过程方面有别于算术平均数;如当m=xf时,加权调和平均数就是加权算术平均数;fxfxfxxfmxmxh1123 例:某公司员工工资情况如下表,请分别计算加权算术平均数和加权调和平均数;月工资x(元)工资总额m(元)员工人数f=m/x(人)800 48000 60 1000 70000 70 1600 32000 20 合计 150000 150 首先计算加权调和平均数,按照公式:100015015000016003200010007000080048000320007000048000332211321xmx
14、mxmmmmxh 再计算加权算术平均数,按照公式:100015015000020706020*160070*100060*800321332211ffffxfxfxx 24 3、调和平均数的特点 如果数列中有一标志值等于0,则无法计算;4、调和平均数与算术平均数比较:方法和资料不同,调和平均数一般是分子项已知,分母项未知;算术平均数一般是分母项已知,分子项未知。25三 几何平均数 1、含义含义:也称为几何均值、对数平均数,是n个变量值乘积的n次方根。当某些经济现象存在“总比率等于各个比率的连乘积”这种关系时,需要计算几何平均数。凡是变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象都适用于计算几何平均数。
15、最典型的两种现象是流水作业线和银行存款。请大家思考一下流水作业线的平均合格率该怎么计算?26 2、分类及计算(1)简单几何平均数:假定有n个变量值x1,x2,x3,xn,则简单几何平均数的基本计算公式为:式中:代表几何平均数;x代表变量值,n代表变量值的个数,是连乘符号;nnnGxxxxxx.321Gx27 例:某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95%、92%、90%、85%、80%,整个流水生产线产品的合格率为:%24.885349.080.085.090.092.095.055GX28(2)加权几何平均数,计算公式为:式中的fi代表各个变量值出现的次数;例:将一
16、笔钱存入银行,存期为10年,按复利计息。10年的利率分别为:第1年和第2年为0.05,第3年至第5年为0.08,第6年至第8年为0.10,第9年至第10年为0.12,求平均利率;年平均利率 则年平均利率为:1.0877-1=0.0877fnififxxxxGinfnfffxX1.3322110877.112.110.108.105.1102332GX29 四、几种平均数的比较 算术平均数 几何平均数 调和平均数 成立前提:标志值都属于正数,而且至少两个数不等;请大家用两个数的例子证明?hGXXX表示为:表示为:87.716.75.8121084GhXXX,变量值例例31第三节 位置平均数 算术
17、平均数、调和平均数和几何平均数都是根据总体全部标志值全部标志值计算的。中位数和众数不是根据全部标志值计算的,而是根据其在总体中所处的特殊位置特殊位置确定或根据部分标志值(实际上也部分标志值(实际上也是处于特殊位置的一些标志值)是处于特殊位置的一些标志值)计算的,因此叫位置平均数。一、分类:众数众数(mode)和中位数(中位数(median);32 二、众数二、众数 1、含义:、含义:总体中最常见的数值,也即是数列中重复出现次数最多的数值,通常用Mo表示。如果分布曲线没有明显的集中趋势或最高峰,则该变量无众数;如果分布曲线明显地存在一个众数,则称为单峰分布;如果有两个不邻近的数据具有相对较高的频
18、数(即使频数不相等),则称为双峰分布;也有可能出现多峰分布的情形;2、适用条件适用条件:n 较多且有明显集中趋势时适合用众数作为总体一般水平。3、确定方法:、确定方法:(1)对于原始数据或单项式分组资料:)对于原始数据或单项式分组资料:可以直接观直接观察察,即出现次数最多次数最多的数值;33 例:某商场某季度男皮鞋销售情况 男皮鞋号码(厘米)销售量(双)24.0 12 24.5 84 25.0 118 25.5 541 26.0 320 26.5 104 27.0 52 合计 1231 从上表可以看出:25.5厘米的鞋号销售量最多,即为众数。34(2)组距式分组资料:)组距式分组资料:先找出
19、众数所在组众数所在组 ,然后再用比例插值法推算众数的近似值近似值;计算公式为:;计算公式为:下限公式为:上限公式为:式中:L代表众数所在组下限,U代表众数所在组上限,d代表组距,代表众数所在组次数与其下限的邻组次数之差,代表众数所在组次数与其上限的邻组次数之差;dLM2110dUM212012GEFDCABfXf3f2f1dXLXUM012得到证明。同理,上限公式也可以dXMdffffffMXffCDffABABCDdABMXLLL2110123212032120 )()(众众数的两个计算公式可以从几何图形得到证数的两个计算公式可以从几何图形得到证明:明:CDMXdABMXCDEGABEFCE
20、DAEBLL00即,图中:36 例:从表上数据看,最大的频数是350,即众数组为700-800这一组,分别利用公式来计算众数:某企业职工按月工资分组资料表 累积次数 按月工资分组(元)职工人数(人)f 由低到高累积 由高到低累积 400-500 140 140 1500 500-600 190 330 1360 600-700 300 630 1170 700-800 350 980 870 800-900 260 1240 520 900-1000 200 1440 260 1000-1100 40 1480 60 1100-1200 20 1500 20 合计 1500 7.735100)
21、260350()300350(3003507000M7.735100)300350()260350(2603508000M37 课堂练习:请指出下面几组数据的众数;1、10个民工的年龄:15,19,35,38,39,42,43,45,46,52;2、某班15个学生的年龄:19,19,19,19,19,20,20,20,20,20,21,21,21,21,21;3、某部门10名员工月工资:1300,1500,1800,1800,1800,2100,2100,2100,2500,3000;38注意:注意:1、众数是一个位置平均数,它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值,而不受各单位标志值的影响,从而
22、增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极端值和开口组数列的影响。2、众数是一个不容易确定的平均指标,当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时,则无众数可言;当变量数列是不等距分组时,众数的位置也不好确定。39三、中位数中位数 1、含义:、含义:把某种观察值按大小顺序排队后,处在该数列中点位置的观察值,通常以Me表示。在明显存在极端数值的情况下,用中位数比平均数更能代表总体的一般水平。2、确定方法、确定方法:根据资料的分组情况不同,确定中位数可分为:未分组资料、单项式分组资料和组距式分组资料三种情况。40(1)未分组资料)未分组资料:排序 确定位置(n+1)/2 (其中n为标志值的个数或总体单
23、位数)若n为奇数项,则居中点位置的数值即为中位数;若 n为偶数项,则居中的两个数值的平均数为中位数。例:有5个同学的年龄依次为16、17、18、19、21,则中位数的项次为(5+1)/2=3,则中位数是第三位上的标志值18岁;如果5位同学的年龄分别依次为16、17、18、21、24,则中位数是多少?如果有6个同学的年龄依次为16、17、19、20、21、23,则中位数的项次为(6+1)/2=3.5,则中位数是中间位置的两个标志值的算术平均数,即(19+20)/2=19.5;21nx (n 为 奇 数)2122nnxx(n 为 偶 数)eM41(2)单项式分组资料)单项式分组资料:累计次数(可以
24、向下也可以向上累积,结果一样)确定中位数位置,当某一组的累积频数最先达到总频数的一半,即(f/2),找出中位数:该组所对应的变量值即为中位数。例:某车间工人按产量分组表 累积次数 按产量分组(件)x 工人数(人)f 由低到高累积 由高到低累积 159 2?162 4?167 5?169 6?171 3?173 1?合计 21?42 填好数字的表如下:计算f/2=21/2=10.5。看哪一组的累积次数先达到10.5:不论是由低到高还是由高到低,中位数都在第3组,即标志值167件为产量中位数;某车间工人按产量分组表 累积次数 按产量分组(件)x 工人数(人)f 由低到高累积 由高到低累积 159
25、2 2 21 162 4 6 19 167 5 11 15 169 6 17 10 171 3 20 4 173 1 21 1 合计 21 43(3)组距式分组资料)组距式分组资料:前两步骤同上,找到中位数所在位置 根据公式(下限或上限)求出中位数的近似值。下限公式为:上限公式为:dfsfLMmme12dfsfUMmme1244 式中:Me代表中位数;L代表中位数所在组的下限;U代表中位数所在组的上限;d代表中位数所在组的组距;Sm-1代表中位数所在组以下的累积次数;Sm+1代表中位数所在组以上的累积次数;请大家先试着证明?45 例:第一步:确定中位数位置=1500/2=750;根据由低到高或
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