常用系统建模方法课件.ppt
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1、常用系统建模方法常用系统建模方法主要参考资料主要参考资料u 齐欢,王小平齐欢,王小平.系统建模与仿真(第系统建模与仿真(第2 2版),第版),第2 2章章u 姜启源姜启源,谢金星谢金星 ,叶俊叶俊.数学模型(第数学模型(第3 3版),第版),第1 1章章1常用系统建模方法常用系统建模方法1.1.系统模型的概述系统模型的概述2.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法3.3.图解建模法图解建模法4.4.层次分析法层次分析法5.5.聚类分析聚类分析21.1.系统模型的概述系统模型的概述从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型u 模型是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象模型是为了一定目的
2、,对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。要的那一部分特征。3系系 统统模模 型型计算机计算机系统建模系统建模仿真实验仿真实验仿真建模仿真建模 建模仿真三要素及三个基本活动建模仿真三要素及三个基本活动1.1.系统模型的概述系统模型的概述从现实对象到数学模型从现实对象到数学模型u 系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具,系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具,它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的基础,也是解决系统工程问题不可缺
3、少的技术手段。础,也是解决系统工程问题不可缺少的技术手段。u 建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要任务。务。u 数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方式。41.1.系统模型的概述系统模型的概述数学模型与数学建模数学模型与数学建模u 数学模型(数学模型(Mathematical ModelMathematical Model)l 对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,规律,作出必要的简化假设,运用适当
4、的数学工具,得到的一个数学结构。得到的一个数学结构。u 数学建模(数学建模(Mathematical Modeling Mathematical Modeling)l 建立数学模型的全过程,包括表述、求解、解释、检建立数学模型的全过程,包括表述、求解、解释、检验等。验等。51.1.系统模型的概述系统模型的概述一个简单的数学模型:一个简单的数学模型:“航行问题航行问题”u 甲乙两地相距甲乙两地相距750750千米,船从甲到乙顺水航行需千米,船从甲到乙顺水航行需3030小小时,从乙到甲逆水航行需时,从乙到甲逆水航行需5050小时,问船的速度是多小时,问船的速度是多少少?6用用 x 表示船速,表示船
5、速,y 表示水速,列出方程:表示水速,列出方程:75050)(75030)(yxyx答:船速每小时答:船速每小时20千米千米/小时小时.x=20y=5求解求解1.1.系统模型的概述系统模型的概述一个简单的数学模型:一个简单的数学模型:“航行问题航行问题”u 可以看出,上述过程的主要步骤如下:可以看出,上述过程的主要步骤如下:l 作出简化假设(船速、水速为常数);作出简化假设(船速、水速为常数);l 用符号表示有关量(用符号表示有关量(x,y表示船速和水速);表示船速和水速);l 用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律(匀速运动的距离等于速度乘以 时间)列时间)列出数学式子(二元一次方
6、程);出数学式子(二元一次方程);l 求解得到数学解答(求解得到数学解答(x=20,y=5););l 回答原问题(船速每小时回答原问题(船速每小时20千米千米/小时)。小时)。71.1.系统模型的概述系统模型的概述数学模型的特点数学模型的特点u 模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性u 模型的渐进性模型的渐进性u 模型的强健性模型的强健性u 模型的可转移性模型的可转移性8 模型的非预制性模型的非预制性 模型的条理性模型的条理性 模型的技艺性模型的技艺性 模型的局限性模型的局限性1.1.系统模型的概述系统模型的概述数学模型的分类数学模型的分类u 应用领域应用领域l 人口、交通、经济、生态人口、
7、交通、经济、生态 u 数学方法数学方法l 初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 u 表现特性表现特性l 确定和随机,静态和动态,离散和连续,确定和随机,静态和动态,离散和连续,线性和非线性线性和非线性u 了解程度了解程度l 白箱、灰箱、黑箱白箱、灰箱、黑箱91.1.系统模型的概述系统模型的概述数学建模的基本方法数学建模的基本方法u 机理分析机理分析l 根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律。律。u 测试分析(实验统计建模)测试分析(实验统计建模)l 将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的统计分析
8、,通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。找出与数据拟合最好的模型。u 二者结合二者结合l 用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数101.1.系统模型的概述系统模型的概述数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤11模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用1.1.系统模型的概述系统模型的概述数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤u 1 1)模型准备)模型准备l 了解实际背景了解实际背景l 明确建模目的明确建模目的l 搜集有关信息搜集有关信息l 掌握对象特征掌握对象特
9、征12模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用形成一个比较清晰的形成一个比较清晰的“问题问题”1.1.系统模型的概述系统模型的概述数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤u 2 2)模型假设)模型假设l 针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设l 在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中u 3 3)模型构成)模型构成l 用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题l 发挥想像力发挥想像力l 使用类比法使用类比法l 尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具1
10、3模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用1.1.系统模型的概述系统模型的概述数学建模的基本步骤数学建模的基本步骤u 4 4)模型求解)模型求解l 利用各种数学方法、软件和计算机技术利用各种数学方法、软件和计算机技术l 解析解、仿真解析解、仿真u 5 5)模型分析)模型分析l 例如,对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的例如,对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析稳定性分析u 6 6)模型检验)模型检验l 与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用性与实际现象、数据比较,检验模型的合理性、适用性14模型准备
11、模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用2.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法建模是一项复杂的思维活动,也可以看成是一门建模是一项复杂的思维活动,也可以看成是一门艺术,因而既没有统一的模式,也没有固定的方艺术,因而既没有统一的模式,也没有固定的方法,需要多方面的能力法,需要多方面的能力u 分析综合能力分析综合能力u 抽象概括能力抽象概括能力u 想象洞察能力想象洞察能力u 运用数学工具的能力运用数学工具的能力u 通过实践验证数学模型的能力通过实践验证数学模型的能力通过实例研究,了解建模过程常用的思维方法,通过实例研究,了解建模
12、过程常用的思维方法,包括抽象、归纳、演绎、类比等。包括抽象、归纳、演绎、类比等。152.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法1)1)抽象抽象u 揭示事物的共性和联系的规律揭示事物的共性和联系的规律u 忽略每个具体事物的特殊性,着眼于整体和一般规忽略每个具体事物的特殊性,着眼于整体和一般规律律u 实例研究:椅子能在不平的地面上放稳吗?实例研究:椅子能在不平的地面上放稳吗?l 把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,把椅子往不平的地面上一放,通常只有三只脚着地,放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放放不稳,然而只要稍挪动几次,就可以四脚着地,放稳了。为什么?稳了。为什么?16椅子
13、能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?问题分析问题分析u 涉及的对象:地面,椅子涉及的对象:地面,椅子u 椅子的位置和调整椅子的位置和调整u 放稳:椅子的四只脚着地放稳:椅子的四只脚着地模型假设模型假设u 四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正四条腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形方形;u 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面;u 地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时地面相对平坦,使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。着地。17椅子能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?模型构成模型构成u 用数学语言把
14、椅子位置和四只用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来。脚着地的关系表示出来。u 1 1)椅子位置和调整的表述)椅子位置和调整的表述l 利用正方形(椅脚连线)的对利用正方形(椅脚连线)的对称性称性l 用用(对角线与对角线与x轴的夹角)表轴的夹角)表示椅子位置示椅子位置l 以中心为对称点,正方形绕中以中心为对称点,正方形绕中心的旋转对应椅子位置的调整心的旋转对应椅子位置的调整18xBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转椅子能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?模型构成模型构成u 2 2)椅脚着地的数学表示)椅脚着地的数学表示l 四只脚着地:椅脚与地面
15、距离四只脚着地:椅脚与地面距离为零,距离是为零,距离是 的函数的函数19xBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转四个距离四个距离(四只脚四只脚)两个距离两个距离正方形正方形对称性对称性f():A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g():B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 椅子能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?模型构成模型构成u 在此基础上,用数学语言把椅子位置和四只脚着在此基础上,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来:地的关系表示出来:20 xBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转f(),g()
16、是是连续函数连续函数对任意对任意,f()和和g()至少一个为至少一个为0地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地椅子能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?模型构成模型构成u 问题的形式化描述:问题的形式化描述:21xBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转已知:已知:f(),g()是是连续函数连续函数;对任意对任意,f()g()=0;且且 g(0)=0,f(0)0.证明:存在证明:存在 0,使,使f(0)=g(0)=0.椅子能在不平的地面上放稳吗?椅子能在不平的地面上放稳吗?模型求解模型求解u 主要思路主要思路
17、22xBADCOD C B A 正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转将椅子将椅子旋转旋转900,对角线,对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0,f(0)0,知,知f(/2)=0,g(/2)0.令令h()=f()g(),则则h(0)0和和h(/2)0.由由 f,g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数,据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质,必存在必存在 0,使使h(0)=0,即即f(0)=g(0).因为因为f()g()=0,所以所以f(0)=g(0)=0.2.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法2)2)归纳归纳u 从特殊的具体的认识推进到一般的抽象的认识的一从特殊的具体的
18、认识推进到一般的抽象的认识的一种思维方式。种思维方式。u 立足于观察、经验或实验的基础上的;依据若干已立足于观察、经验或实验的基础上的;依据若干已知的不完全的现象推断尚属未知的现象。知的不完全的现象推断尚属未知的现象。u 实例研究:开普勒第三定律的发现实例研究:开普勒第三定律的发现23开普勒第三定律的发现开普勒第三定律的发现开普勒第一定律开普勒第一定律u 也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿也称椭圆定律、轨道定律、行星定律。每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个一个椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点上。焦点上。开普勒第二定律开普勒第二定律u 在相等时间内,太阳
19、和运动中的行星的连线(向量在相等时间内,太阳和运动中的行星的连线(向量半径)所扫过的面积都是相等的。半径)所扫过的面积都是相等的。24开普勒第三定律的发现开普勒第三定律的发现开普勒第三定律开普勒第三定律u 也叫行星运动定律:绕以太阳为焦点的椭圆轨道运也叫行星运动定律:绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其各自椭圆轨道半长轴行的所有行星,其各自椭圆轨道半长轴a的立方与周的立方与周期期T的平方之比是一个常量。的平方之比是一个常量。25k为开普勒常数2.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法3)3)演绎演绎u 由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。由一般性的命题推出特殊命题的推理方法。l 典型
20、的,如公理化的几何学典型的,如公理化的几何学u 实例研究:牛顿万有引力定律的演绎实例研究:牛顿万有引力定律的演绎26牛顿万有引力定律的演绎牛顿万有引力定律的演绎模型假设模型假设u 开普勒第一、二、三定律开普勒第一、二、三定律u 牛顿运动第二定律牛顿运动第二定律l a=F/m(F=m a):物体加速度的大小跟作用力成正比,跟:物体加速度的大小跟作用力成正比,跟物体的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同。物体的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同。27极坐标系极坐标系(r,)太阳太阳(0,0)行星位置:向径行星位置:向径)(),()(ttrtrO(太阳太阳)P(行星行星)rr牛顿万有引
21、力定律的演绎牛顿万有引力定律的演绎模型假设模型假设28O(太太阳阳)P(行星行星)rra长半轴长半轴,b短半轴短半轴,e离心率离心率 1)行星运行轨道)行星运行轨道)1(,cos12222eababpeprAr2/2 3)行星运行周期)行星运行周期 T32aTrmf 2)单位时间)单位时间 扫过面积为常数扫过面积为常数 Arm 行星质量行星质量 绝对常数绝对常数 4)行星运行受力)行星运行受力 f模型构成模型构成29向径向径 的基向量的基向量(平面直角坐标)(平面直角坐标)rjiujiur)cos()sin()sin()cos(rurrrruuuuurrurrrururrrr )2()(2Ar
22、2/2324,2rrArA 02 rrrurrr )(2cos1 epr32)(4,sin2prrpArpAer ruprAr 224rmf rrrrprmAf0022,4rurrO(太阳太阳)P(行星行星)rrruuxy30rrrrprmAf0022,4万有引力定律万有引力定律02rrkMmf需证明需证明 4A2/p=kM(与哪一颗行星无关)(与哪一颗行星无关)A单位时间单位时间 扫过面积扫过面积r32aTabTAO(太阳太阳)P(行星行星)rrkM/42/22pA)1(,cos12222eababpepr2.2.建模的逻辑思维方法建模的逻辑思维方法4)4)类比类比u 在两类不同的事物之间进
23、行对比,找出若干相同或在两类不同的事物之间进行对比,找出若干相同或相似点之后,推测在其它方面也可能存在相同或相相似点之后,推测在其它方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式。似之处的一种思维方式。u 实例研究实例研究l 1)机械系统和电路系统的类比。)机械系统和电路系统的类比。l 2)方式算法:遗传算法、蚁群优化算法、人工神经网)方式算法:遗传算法、蚁群优化算法、人工神经网络、粒子群优化算法络、粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization)31PSOPSO算法算法PSOPSO是一种基于群体智能的进化计算方法是一种基于群体智能的进化计算方法,由由KennedyKenn
24、edy和和EberhartEberhart博士于博士于19951995年提出。年提出。基本原理基本原理32 将最优解的搜索类比于鸟群的捕食行将最优解的搜索类比于鸟群的捕食行为。为。设想一群鸟在随机搜寻食物,在这个设想一群鸟在随机搜寻食物,在这个区域里只有一块食物,所有鸟都不知区域里只有一块食物,所有鸟都不知道食物在哪里,但是他们知道当前的道食物在哪里,但是他们知道当前的位置离食物还有多远,那么找到食物位置离食物还有多远,那么找到食物的最优策略是什么呢的最优策略是什么呢?最简单有效的就最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域,根据自己飞行的经验判断食物的域
25、,根据自己飞行的经验判断食物的所在。所在。基本原理基本原理u在在PSOPSO中,把一个优化问题看作是在空中觅食的鸟群,那么中,把一个优化问题看作是在空中觅食的鸟群,那么“食物食物”就就是优化问题的最优解,而在空中飞行的每一只觅食的是优化问题的最优解,而在空中飞行的每一只觅食的“鸟鸟”就是就是PSOPSO算算法中在解空间中进行搜索的一个法中在解空间中进行搜索的一个“粒子粒子”(Particle)(Particle)。u粒子在搜索空间中以一定的速度飞行,这个速度根据它本身的飞行经验粒子在搜索空间中以一定的速度飞行,这个速度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。所有的粒子都有一个被目标函数
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