环境系统工程环境系统工程3-模型推导课件.ppt

1、 1 污染物在环境介质中的运动 一、基本概念 1、环境介质：能帮助传递物质、能量的物质，传递过程中物质与能量有可能有耗散。三大类介质：流体(又可分为液体与气体)，固体，混合体(如土壤)。2、运动:事物状态的变化(广义)。物质状态的变化(位置、速度、密度、形态、质量、温度、带电量、组成成分)的变化。如：机械运动、物理运动、化学运动、生物运动、政治运动。3、污染物：对环境生态系统(特别是人体健康)有不良影响的物质、能量，一般为过量的有害物质，物质质量相对于介质质量则是微量的。二、污染物在介质中各种运动（重要概念）1、推流迁移运动：污染物迁移量(质量通量)：（单位：物质量/单位时间*单位面积，如g/

2、m2s）X轴方向：fx=uxC=Y轴方向：fy=uyC，Z轴方向：fz=uzC。SLuxQtucctLtSQCxzyuy这段河道中这段河道中的总水量的总水量2扩散扩散(稀释稀释)运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随运动：物质质量在空间分散化、均匀化，使物质浓度随时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。时间不断变小。物质浓度总从高处向低处扩散。1）分子扩散：分子扩散：由于分子随机运动引起的扩散由于分子随机运动引起的扩散溶解，其速度与溶解，其速度与“热热”有关有关。浓度梯度浓度梯度 ：在某个方向上的浓度变化率：在某个方向上的浓度变化率 FickFick第一定律（通量）第一定律（通量）

3、X X上某点浓度梯度上某点浓度梯度单位：物质量单位：物质量/单位时间单位时间*单位面积单位面积E Em m为分子扩散系数，且各向同性；为分子扩散系数，且各向同性；2)2)湍流扩散：湍流扩散：由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动由于流体的湍流运动造成污染团内部质点强烈的随机运动撕裂撕裂FickFick第一定律（通量）：第一定律（通量）：xcExCEImmx1yCEImy1zCEImz1xCEIxx2yCEIyy2zCEIzz2*xc=c2-c1xc1c2xyzI1XI1ZI1Y单位：物质量单位：物质量/单位时间单位时间*单位面积单位面积Ex,Ey,Ez为为x,y,z三个方向的湍流扩

4、散系数，各向异性，一般三个方向的湍流扩散系数，各向异性，一般x,y 方向的方向的扩散系数大于扩散系数大于z方向的扩散系数。为对时间求平均的平均浓度。方向的扩散系数。为对时间求平均的平均浓度。3)弥散扩散弥散扩散：由于介质宏观运动：由于介质宏观运动(流速流速)分布不均匀，造成流体形分布不均匀，造成流体形变引起的扩散。变引起的扩散。为断面平均值为断面平均值,单位：物质量单位：物质量/单位时间单位时间*单位面积单位面积xCDIxx3yCDIyy3zCDIzz3C*1C2C12cccxc1c21C2Cx 弥散 湍流扩散 分子扩散 大气 无 z方向 10-2 210-1 (m2/s)x,y方向 101

5、105 很大 1.510-5 (m2/s)海洋：无 z方向 10-5 10-2 x,y方向 10 2 10 4 很大 河流：10 1 10 4 (m2/s)很大 10-2 10 0 中等 10-5 10 4 很小 须考虑须考虑 3裒减、转化运动：裒减、转化运动：由于生物或化学的作用，由一种物质变由于生物或化学的作用，由一种物质变化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是化为另一种物质，对原物质是裒减了，而对于新生物质而言则是增生了。增生了。以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质以上数学模型是一阶一次常系数微分方程。描述的是某物质“浓度浓度”变变化速率，是该物质化速率

6、，是该物质“浓度浓度”本身的常系数一次函数，又称本身的常系数一次函数，又称一级动力学模一级动力学模型型。当当物质量为增生时：物质量为增生时：c2c1时，时，当当物质量为衰减时：物质量为衰减时：c1c2时时衰减速度常数kCdtdC单位时间、单位体积内的物质增量*tt2t1c1c21212ttcctcdtdC0tcdtdCkCdtdC0tcdtdCkCdtdC浓度变化速度 4（综合三种作用）的图像理解（综合三种作用）的图像理解只有推流迁移只有推流迁移推流迁移推流迁移+扩扩 散散推流迁移推流迁移+扩散扩散+裒减裒减推流迁移推流迁移+裒减裒减无推流迁移无推流迁移仅有扩散仅有扩散无推流迁移无推流迁移有扩

7、散有扩散+裒减裒减 2 基本模型的推导 1.质量守恒原理初始存量为：存量1，一段时间后：存量2对于输入端：物质总量=存量1+进入量 （1）对于输出端：物质总量=存量2+出去量 （2）存量1+进入量=存量2+出去量 存量2-存量1=进入量-出去量存量的变化量（增量）=进入量-出去量存量进入量出去量 2.零维模型推导(完全混合）（重要）在 t1 t2的 t时段内 浓度 c1 c2 c=c2-c1 物质量 vc1 vc2 m=v(c2-c1)=v c 单位时间的物质变化量：kVQ,C0SQ,Cdtdcvtcvttcvtm时，取极限得：当0 根据质量平衡原理根据质量平衡原理,单位时间单位时间的物质变化

8、量也可表示为的物质变化量也可表示为 Q*c0+S-(kc)*v-QC 所以：所以：vkcSQCQCdtdcv)(0m3/smg/m3mg/smg/s*m3m3进入量出去量衰减项 一维模型推导一维模型推导 推流：推流：fx=uxC 扩散：扩散：立方体体积立方体体积:迎水面面积：迎水面面积：图3-3 体积元的质量平衡分析ZYXzxyx)(xfx)(xIx)(xxfx)(xxIxxCEIxxzySzyxVst1 t2c1 c2图3-3 体积元的质量平衡分析xxCDxxCDxCuxCuxxxx)()(xCDCuxxZYXzyx在在x方向上立方体内污染物在方向上立方体内污染物在t1t2时段内的变化量：时

9、段内的变化量：在在单位时间内的变化量单位时间内的变化量：单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间单位时间内，流经端面的物质总量应为物质通量与面积的乘积，故单位时间内输入量为内输入量为:(设任意点推流通量函数为设任意点推流通量函数为f(x),f(x),扩散通量扩散通量I(x)I(x)f(x)=uxC,x0X0+xxCExIm)(cvccvvcvcmvcm)(2121tcvttcvtm时，取极限左式当0,kI1(扩散）扩散）I2（扩散）（扩散）xI=I2-I1 f=f2-f1 21(),当 x0时，取的极限()xCvs Is IItcItxIxcEcxtx ucf xCE

10、Ixf1（推流）（推流）f221(),当 x0时，取的极限()Cvs fs fftcftxfxcuctx2121()(),当,x0时，取,的极限()()xCvs fs Is ffS IItcfItxxfItxxcEcucxtxx 综合上述两种情况；综合上述两种情况；根据泰勒公式，可将任意函数f(x)在某点x=x0处用级数展开：将推流函数f(x)在x=x0展开：所以在x=x0+x处：因为微元很小,x也很小，可将所有含大于2阶得导数项省略，得：将扩散函数I(x)在x=x0展开:nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)(.)(!2)()()()(00)(200 000nnxxxxxxncuxx

11、cuxxcucuxf)(!)(.)(!2)()()()(0)(20 0nnxxxxnnxxxxxncuxcuxcucuxxxncuxxxcuxxxcucuxxf)(!)(.)(!2)()()()(!)(.)(!2)()()()()(2 00)(200 000)()()()(0 xxcucuxcucuxxfxxxxnnxxxxxxnxcExxxcExxxcExcExI)(!)(.)(!2)()()()(0)(20 0 所以在x=x0+x处，将所有含大于2阶得导数项省略，得：单位时间输入量：断面面积单位时间输出量：t时间，该体积元的物质变化量为（2）-（3）)()()(000 xxxxcExcEx

12、xIxx)()()(0 xxxcExcExxIxx zyxCECuzyIfxxxx)(zyxxCExxCExCuxCuxxxx)()(tzyxxxcExxcutzyxtcxx)()(（2）（3）推流增量扩散增量约去相同项：当ux,Ex,为常数时，如果考虑衰减作用：体积元内污染物按一级反应式衰减,衰减量为xxcExcutcxx)(22)(xCExcuxxcExcutcxxxxzyxKC-单位时间单位体积内的衰减量kcxcExcutczyxkczyxxxcExxcuzyxtcxxxx22)()(单位时间浓度变化推流增量扩散增量衰减变化量(源汇项）局地项推流项扩散项衰减项 二维模型推导 与一维基本模

13、型的推导相似，当在 x 方向和 y 方向存在浓度梯度时，可建立起二维基本模型 Y方向扩散项 Y方向推流项 式中，Ey y 坐标方向的弥散系数；uy y方向的流速分量；三维模型推导 如果在x、y、z 三个方向上都存在浓度梯度，可以用类似方法推导出三维基本模型：式中，Ex、Ey、Ez x、y、z 坐标方向的湍流扩散系数；uz z方向的流速分量。KCyCuxCuyCExCEtCyxyx2222KCzCuyCuxCuzCEyCExCEtCzyxzyx222222 模型使用范围（重要）零维模型：（假定内部无浓度梯度，浓度均匀化）-适合于箱体，湖泊环境 一维模型（在一个方向上有浓度梯度变化）-适合于细、长

14、、浅河流环境 二维模型（在二个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、浅大型河流，河口、海湾、浅湖 三维模型（在三个方向上有浓度梯度变化）-适合于宽、长、深环境，如大气、海洋、深湖 2稳定排放稳定排放的解析解的解析解 稳定排放定义：稳定排放定义：排放强度变化很小排放强度变化很小(变化率在变化率在10%以内以内)；排放时间长排放时间长(T X/u)。稳定排放问题没有初值，只有边值。稳定排放问题没有初值，只有边值。(1)0维维(箱模式箱模式)：有一股流量为：有一股流量为Q的污水，流经容积为的污水，流经容积为V的水箱，的水箱，污水流入水箱后与箱内水体充分混合，并与箱内微生物反应、造污水流入水箱后与箱内

15、水体充分混合，并与箱内微生物反应、造成污染物以成污染物以k的速率裒减的速率裒减控制方程：控制方程：解析解解析解当当t无穷大时：无穷大时：K,v,cQ,C0Q,CkCVQCQCdtdCV01)/(1)()/(0)/(0tVQktvQkeQVkCeCtC)/(1)(0QVkCtC 当当t足够长时足够长时，解为解为：(2)(2)一维稳态、无弥散、推流、裒减模式：一维稳态、无弥散、推流、裒减模式：设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。设置控制方程，此时已不是扩散问题，而是推流问题。控制方程为控制方程为:边值条件边值条件为为:x=0处处C=C0 求解过程：求解过程：0dtdC)/(10QVkC

16、CCkVQQCkCVQCQCdtdCV）（000022tckCxCuxcDxCukxCCukxC 得：得：代入边值条件：代入边值条件：由于一般河流中由于一般河流中|u|Dx|，所以考虑不考虑弥散并不重要所以考虑不考虑弥散并不重要ukxaukxaecxCeceexCaxukcdxukCdC*)(,)(ln得令两边取对数得：两边积分得：ukxecxccCeCc00*0*0)(定解：xc积分常数（3 3）一维稳态、有弥散、推流、裒减模式，一维稳态、有弥散、推流、裒减模式，控制方程为控制方程为：代入边值：代入边值：x=0,C=C=0,C=C0 0,x=,C=0=,C=0。可以推断解析解形式：可以推断解析解形式：C=f(x)导数形式导数形式而当解析解为：而当解析解为：c=f(x,y,z,)导数形式：导数形式：控制方程变为：控制方程变为：022kCxCuxCDxdxdc,.,ycxc022kCdxdCudxCdDx其特征方程为：其特征方程为：Dx2 2-u-k=0-u-k=0由此求出特征根由此求出特征根：其通解为：其通解为：代入边值：代入边值：x=0,C=C=0,C=C0 0,x=,C=0=,C=0。得得A=0A=0，B=CB=C0 0，故解为故解为)411(222,1ukDDuxxxxBeAeC21)141(202ukDDuxxxeCCcx