数学建模与数学实验第四讲§1课件.ppt

1、1 传染病模型传染病模型 传染病的传播问题是现代人类社会十分关注的一类问题。建立传染病的数学模型，用来传染病的传播过程，分析被感染人数的变化规律，预报传染病高潮期的到来等等，一直是整个社会关注的问题。人们不可能做传染病传播的试验来获取数据，从医疗卫生机构得到的资料也是不完整的和不充分的，所以通常是用机理分析的方法建立模型。不同类型传染病传播过程的特点不同，弄清这些特点需要相当多的医学知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立数学模型。为简单起见我们假设，在传染病传播期内所考察的地区总人数 N 不变，即不考虑生死和迁移，时间以天为单位。模型模型 I：假设条

2、件 1.人群分为易感染者易感染者(Susceptible)和已感染者已感染者(Infective)两类,因此称为SI模型模型,以下简称为健康者健康者和病人病人。时刻 t 两类人在总人数中所占的比例分别为s(t)和 i(t)。2.每个病人每天有效接触的平均人数为(称为日日接触率接触率)当病人与健康者有效接触时,使健康者被感染成为病人。根据假设,每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人,而病人数为N i(t),所以每天有s(t)N i(t)个健康者被感染，于是s N i 就是病人数N i的增加率，即i sNdtdiNdtdNi又因为：s(t)+i(t)=1，记初始时刻(t=0)病人的比例为i0则0

3、)0()1(iiiidtdi 这个微分方程的形式在介绍人口增长的阻滞模型时介绍过,称为Logistic模型,并讨论过它的解,即teiti)11(11)(0i(t)t 和i 的图形为dtdioitidtdi21o11idtdi图形i(t)t 图形i0001ln1iitmtm1/2dtdi第一、当i=1/2时,达到最大值,此时001ln1iitm这时的病人数量增加的最快,即预示传染病传播高潮的到来。tm是医疗卫生部门关注的时刻。tm与成反比,由于日接触率(即病人平均每天有效接触的人数)表示该地区的环境卫生水平,越小环境卫生水平越高,所以改善保健设施,提高环境卫生水平可以推迟传染病传播高潮期的到来。

4、第二、当 t时 i1，即所有人最终都被传染为病人，这显然不符合实际情况。其原因在于模型中没有考虑病人可以被治愈或恢复健康的情况，这是SI模型的致命缺陷。下面，改进SI模型。模型II：有些传染病如感冒、痢疾等治愈后的免疫力极低，可能很快再次被传染，因此可以假定治愈后无免疫力。于是病人被治愈后成为健康者(易感染者)，所以这个模型称为SIS模型。SIS模型的假设条件：其1、2两条与SI模型相同。增加的假设条件为 3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为,称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。那么,1/是这种传染病的平均传染期。由假设3可以看出：SI模型中的病人数量Ni的增加率为s(t)N

5、 i(t)-N i(t)，所以其微分方程为iNi sNdtdiN于是我们得到其带初始条件的微分方程为02)0()()1(iiiiiiidtdi 这个微分方程的解法与SI模型的微分方程解法是相同的，只是需要考虑与的关系。其解为101)(0)1()1()(iteitii 为了讨论这个模型的解，定义=/，由和1/的含义(为每个病人每天有效接触的平均人数,即日接日接触率触率,1/是这种传染病的平均传染期平均传染期)可知,为一个传染期内每个病人有效接触的平均人数,称为接触数接触数。由上式可知：当t时10111)(i根据以上讨论我们将病人数量的变化曲线描绘如下：iioott1-1/11时,即一个病人在一个

6、传染期内传染健康者的数量超过一个,当i0较小时,病人数量会增加是容易理解的,即 110i其表明一天内病人有效接触健康者的数量小于一天内治愈病人的数量,故病人总数下降。而在SI模型中,相当于这里=0的情形,即治愈率为零的情形。病人有效接触健康者的绝对数量较大;但当病人数量 i0较大时,病人有效接触健康者的绝对数量较小,实际使得健康者感染得病的机会大大减少。这就是当 i0较大时,病人数量会减少,而当 i0较小时,病人数量会增加的实际意义。另外由可以得出:)1(0i 模型模型III：大多数传染病如天花、肝炎、麻疹等,其治愈后有很强的免疫力,所以病愈的人既非健康者(易感染者)也非病人(已感染者),他们

7、已经退出传染系统,称为病愈免疫的移出者移出者(Removed),但是他们并没有退出整个人群系统,而是在整个系统中起到举足轻重的作用。此模型称为SIR模型。此时的模型假设模型假设为：1.人群分为健康者、病人和移出者三类，他们在总人数中占的比例分别记为s(t)、i(t)、r(t)。2.,的含义与前面相同。由假设1知,s(t)+i(t)+r(t)=1由假设2知,对病愈免疫的移出者而言,有iNdtdrN 再记初始时刻(t=0)的健康者和病人的比率分别为 s0(0)和 i0(0),(不妨设移出者的初始值 r0=0)。由前面的讨论易知,SIR模型的微分方程组为00)0(,)0(ssiisidtdsiisd

8、tdi 上式的微分方程组无法求出 s(t)和 i(t)的解析解,但是我们还是可以求出它们的数值解,并对其插值函数进行分析。先在 s i 的相平面上讨论其解的性质。相轨线的定义域D应满足：D=(s,i)|s0,i 0,s+i 1()在方程组中消去 dt,即,将 i 看作 s 的函数,并注意相轨线的定义域D和初始条件,可得00|11iisdsdiss 这个方程的解是容易得到的:000ln1)(sssisi 在定义域D内,上式方程代表的曲线称为相轨线。其图形为soi其中，设=2.5,r0=0s0=0.24s0=0.39s0=0.54s0=0.69s0=0.84s0=0.99 模型分析：以下分析当时间

9、 t 时,r,s 和 i 的变化趋势。他们的极限分别记作r,s,i。结论1：无论初始条件 s0,i0如何,i=0。证明证明：由微分方程 我们利用微分方程的数值解,画出函数 r(t),s(t),i(t)的图形如下tr(t),s(t),i(t)及0s1知,s存在。又由0r1及0idtdr知 r存在。再由s+i+r=1得,i存在。假若 i0,不妨设i=0,则由r的微分方程知,存在充分大的t,使得02dtdr即tr2这必使得 r=,这与前面导出的 r存在矛盾。从相轨线和数值解的图形都可以看出,无论怎样,i(t)的曲线终将与 s 轴相交。这也从另一方面说明,无论初始条件 s0,i0 如何,总有 i=0

10、成立。0i sdtds 结论结论2：最终被感染的人数s是方程 0ln1)(000sssis在区间(0,1/)内的实根。结论结论3：当s01/时,则 I(t)先增加后减小,在s=1/时,i(t)达到最大值 im,且)ln1(1)(000sisim而s(t)则是单调减小至s。结论结论4：当s01/时,则 i(t)单调减小至0,而 s(t)单调减小至s。这几个结论也均可由相轨线和数值解的图形观察得到,不再进行一一证明。被传染人口比例的估计：在一次传染病的传播过程中,被传染人数的比例(记作 x),是健康者的初始比例 s0 与结束时健康人数s之差,假定s0 1,i0 0,则由i=0及公式000ln1)(

11、sssisi0ln100ssss可得即0)1ln(10sxx将其用泰勒公式的前两项近似,得0)211(200sxsx)1(200ssx即 若记 s0=1/+,则可视为该地区健康人口比例超过阈值1/的部分,这个结果表明：00ln10ssss可得ssss00lnln此式可作为的估计式。在SIR模型中的接触数=/是一个重要的参数，可以由实际数据估计。由于一般情况下 i0 都非常小，若将其忽略，再由 i=0，故由公式000ln1)(sssisi整理可得 被感染的人数比例 x=2(1+),当较小时,x 约为的两倍。当卫生和医疗水平不变,即不变时,不会改变。如果当病人数量有增加的趋势时,我们认为该传染病在蔓延。那么,1/就是一个阈值。当s0 1/时传染病就会蔓延,否则就不会蔓延。但是在一般情况下,通常s0 1,所以,要控制传染病的蔓延,只有加大1/的值,即,提高医疗技术水平,增加日治愈率的值,改善环境卫生条件和人口的素质,减低日接触率的值,就可以达到加大1/值的目的。但是这两条受到科学技术、经济与文化发展和社会进步的制约。在现有医学科学技术水平基础的条件下,加大强制免疫措施,使更多的人在传染病出现之前已经获得抵御这种疾病的免疫能力,就可以使 s0 的值大大减低,最大限度地减少传染性疾病的传播和蔓延。而强制免疫措施要求具有免疫力人口的数量比例较大,且要均匀地分布在整个人群中,同样有一定难度。