复变函数§3-泰勒级数课件.ppt
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- 函数 泰勒 级数 课件
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1、3 泰勒级数 设函数 f(z)在区域D内解析,而|z-z0|=r为D内以z0为中心的任何一个圆周,它与它的内部全含于D,把它记作K,又设z为K内任一点.z0Kzrz按柯西积分公式,有1()()d,2Kff zizzzz-且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzzzzzzzzzz-由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以101000101()d()()2()1()()d.2()NnnnKnnn NKff zzzizfzzizzzzzzz-z0Kzrz由解析函数高阶导数公式,上式可写成()1000010()()()()!1()()()2
2、()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdizzzz-其中()000lim()0,()()()!NNnnnRzKfzf zzzn-如果能证明在 内成立 则在K内成立,即 f(z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzrz-令,q与积分变量z无关,且0q1.z0Kzrz K含于D,f(z)在D内解析,在K上连续,在K上有界,因此在K上存在正实数 M 使|f(z)|M.01221d|)(|21d)()()(21|)(|000010-NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRzzzzz因此,下面的公式在K内成立:()000()()()!nnnfzf z
3、zzn-称为f(z)在z0的泰勒展开式,它右端的级数称为 f(z)在z0处的泰勒级数.圆周K的半径可以任意增大,只要K在D内.所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则 f(z)在z0的泰勒展开式在圆域|z-z0|d 内成立.定理定理(泰勒展开定理)设 f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点,d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时,00()0()(),1(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn-成立 其中 注注:如果 f(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a
4、-z0|.yz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数,因而是唯一唯一的.利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:),2,1,0()(!10)(nzfncnn把 f(z)在z0展开成幂级数,这被称作直接展开法例如,求 ez 在 z=0处的泰勒展开式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,.),故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析,上式在复平面内处处成立,收敛半径为+.同样,可求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:3521242sin(1)3!5!(21)!cos1(1)2!4!(2)!nnnnzzzzzznzzzzzn
5、-除直接法外,也可以借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算性质和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,此方法称为间接展开法.例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:003521011()()sin(ee)22!(1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn-解 由于函数有一奇点z-1,而在|z|1内处处解析,所以 可在|z|1内展开成z的幂级数.因为 211(1),|1.1nnzzzzz-例1 把函数 展开成z的幂级数.21 1z将上式两边求导得 21121123(1),|1.(1)nnzznzzz-例2 求对数函数的主值ln(
6、1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy01ln(1)(1),1nnnzzz-因为逐项积分得0001dd(1)d,1zzznnz-231ln(1)(1)|1.231nnzzzzzzn-即解析在函数0)(zzf的幂级数的某邻域内可展开为在00)(zzzzf-解析在区域函数Dzf)(0()f zDzz-在 内任一点处可展开为的幂级数推论推论1:注:解析的等价条件:在区域函数Dzf)(内可导;在区域函数Dzf)()1(条件,内可微,且满足在区域RCDvu-,)2(关;内连续且积分与
7、路径无在区域函数Dzf)()3(内可展开为幂级数在区域函数Dzf)()4(推论推论2:解析,在区域设函数Dzf)(),(,00DzdistRDz00()f zzzRz-则在内可展开为 的幂级数推论推论3:幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点.(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛)例如:)(02zfnznn1,z 在上绝对收敛),1(21)(1-znzzzfn但)(1zfz时:近于沿实轴从单位圆内部趋当是一个奇点。即1z推论推论4:展开式:解析,且有在设函数Taylor)(0zzf00()(),nnnf zCzz-最近的一个奇点,的距是0)(zzfa为其收敛半径。则0zR-a例如:,61)(
8、02-nnnzCzzzf;2R则其收敛半径,)(61)(02-nnnizCzzzf5.R 则其收敛半径而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数211z1-z2+z4-它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数的展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式242211(1)1nnxxxx-的成立必须受|x|R1时,即|z|R,011()nnnnnncczzz-收敛。因此,只有在R1|z-z0|R2的圆环域,原级数才收敛.z0R1R2例如级数
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