lei2多元函数的极值及其求法课件.ppt
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1、返回返回上页上页下页下页目录目录第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第七章第七章(Absolute maximum and minimum values)一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法三、小结与思考练习三、小结与思考练习1/1/20231返回返回上页上页下页下页目录目录xyz一、一、多元函数的极值及最大值、最小值多元函数的极值及最大值、最小值 定义定义 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值(极小值极小值).例如例如:在点在点(0,0)有极小值有极小值;在点在点(0,0)有极大值有极大值;
2、在点在点(0,0)无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.),(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz1/1/20232返回返回上页上页下页下页目录目录说明说明:使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为的点称为驻点驻点.例如例如,函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值,取得极
3、值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点(0,0),但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值且在该点取得极值,则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 定理定理1(必要条件必要条件)1/1/20233返回返回上页上页下页下页目录目录时时,具有极值具有极值的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且且令令则则:1)当当A0 时取极小值时取极小值.2)当当3)当当这个定理不加证明这个定理不加证明.时时,没有极值
4、没有极值.时时,不能确定不能确定,需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(,),(,),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC定理定理2(充分条件充分条件)1/1/20234返回返回上页上页下页下页目录目录,0),(yxfx0),(yxfy1/1/20235返回返回上页上页下页下页目录目录例例1.1.求函数求函数解解:第一步第一步 求驻点求驻点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0)处处为极小值为极小值;
5、解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值.求二阶偏导数求二阶偏导数,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,1(f,0Axyxyxyxf933),(22331/1/20236返回返回上页上页下页下页目录目录在点在点(3,0)处处不是极值不是极值;在点在点(3,2)处处为极大值为极大值.,66),(xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3(f6,0,12CBA31)2,3(f,0)6(122 BAC,0A在点在点(
6、1,2)处处不是极值不是极值;6,0,12CBA)2,1(f,0)6(122 BACABC1/1/20237返回返回上页上页下页下页目录目录例例2.讨论函数讨论函数及是否取得极值是否取得极值.解解:显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此,022时当 yx222)(yxz0)0,0(z为极小值为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点在点(0,0)并且在并且在(0,0)都有都有 02 BAC33yxz可能为可能为0)()0,0()0,0(222yxz1/1/20238返回返回上页上页下页
7、下页目录目录二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数f在闭域上连续在闭域上连续函数函数f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在当区域内部最值存在,且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时,)(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值(大大)(大大)依据依据1/1/20239返回返回上页上页下页下页目录目录提示提示:首先考察函数首先考察函数z在三角形区域在三角形区域D内的极值内的极值其次,考察函数在三角形区域的边界上的最大值和其次,考察函数在三角形区域的边界上的最大值和最小值最小值.1/1/202310返回返回
8、上页上页下页下页目录目录首先考察函数首先考察函数Z在三角形区域在三角形区域D内的极值内的极值.令令 2(,)(832)0,(,)(42)0.xyfx yxyxyfx yxxy解此方程组,得到解此方程组,得到D内的驻点为内的驻点为(2,1).解解:令令2(,)(4)zf x yx yxy(2,1)4zf1/1/202311返回返回上页上页下页下页目录目录其次,考察函数在区域其次,考察函数在区域D的边界上的最大值和最小值的边界上的最大值和最小值.(1)在)在x=0上上,z=0;(2)在)在y=0上上,z=0;22(6)(46)2(6)zxxxxxx(3)在)在x+y=6上上,6(4)0dzx xd
9、x令解得驻点解得驻点x=0和和x=4 00;xz当时,464;xz 当时,60;xz当时,比较得最大值为比较得最大值为4,最小值为,最小值为64.1/1/202312返回返回上页上页下页下页目录目录把它折起来做成把它折起来做成解解:设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin)xsincossin2sin2422xxxx224x积最大积最大.)0,120:(2 xD为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面例例4 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的
10、长方形铁板,1/1/202313返回返回上页上页下页下页目录目录cos24xcos22x0)sin(cos222x令令xAsin24sin4x0cossin2xA解得解得:由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点,故此点即为所求故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x1/1/202314返回返回上页上页下页下页目录目录二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法极值问题极值问题无
11、条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值:条件极值的求法条件极值的求法:方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz)(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz1/1/202315返回返回上页上页下页下页目录目录例例 ,(0),?a a 设长方形的长 宽之和等于试问长方形的长 宽如何才能使面积积最大解解2 ()2,.,2.,().222aA xaxxaaaxxyA 由
12、得驻点由于为实际问题最大值存在为最大值点当时长方形面积最大为,.xyAxyxya设长方形的长为 宽为求目标函数在条件之下的最大值,(),.xyayaxAx ax从约束条件中容易解出代入目标函数问题归结为求一元函数的极值1/1/202316返回返回上页上页下页下页目录目录,0),(下在条件yx如方法如方法 1 所述所述,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记记.),(的极值求函数yxfz 0),(yx,)(xy)(,(xxfz例如例如,故故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有
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