两个重要极限课件.ppt

1、两个重要极限两个重要极限Two important limits高等数学高等数学 advanced mathematics&知识目标知识目标 1 1、掌握两个重要极限的公式掌握两个重要极限的公式 2 2、掌握两个重要极限在经济方面的应用掌握两个重要极限在经济方面的应用&能力目标能力目标 会利用两个重要极限求指定函数和经济贸会利用两个重要极限求指定函数和经济贸易方面实际问题的极限易方面实际问题的极限两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics播放播放案例案例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形

2、，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个

3、重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边

4、形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important

5、 limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当

6、圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 a

7、dvanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例引例【圆的面积圆的面积】为了求圆面积，可以先作圆的内接正四边形，其面积记作A4；又作圆的内接正六边形，其面积记作A6；如此循环下去，当圆的内接正多边形的边数不断增加时，其

8、相应的面积与圆的面积就越来越接近,当边数n无限增大时，圆的内接正多边形的面积就是圆的面积两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics该极限问题从结构上看，该极限问题从结构上看，应为应为 从数学运算的角度看，就是求极限nnAlimnnRAnnn2sin2limlim2解解)3(2sin22nnnRAn正n边形的面积为)22sin(lim2nnRn?xxxsinlim0（或（或 ）xxx11sinlim从类型上看，应为从类型上看，应为00两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等

9、数学 advanced mathematics-1 5-1 0-551 01 5-0.5-0.2 50.2 50.50.7 51xxxfsin)(oxxxsinlim .1 0两个重要极限两个重要极限 x 1 0.5 0.1 0.010.8410.9590.9980.99998xxsin=1(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematicsxxx22sinlim 01 例求求解：xxx22sinlim0 xxxx2cossin2lim0 xxxxxcoslimsinlim 001 两个重要极限两个重要极限(Two important limi

10、ts)高等数学高等数学 advanced mathematics训练1:求下列函数的极限22sinlim10 xxx）（1)1sin(lim21xxx）（xxx11sinlim3）（xxxsinlim4）（=1=1=1=0两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics型；类型是00)1(1)()(sinlim)x(0 xfxfxx或0)(lim)(0 xfxxx或其中归纳：1sinlim0uuu(2)当u=f(x)时，1sinlim0两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数

11、学 advanced mathematicsxxx2sinlim 0例2 求解：xxx2sinlim 0222sinlim 0 xxx2 .2tanlim 0 xxx求解解.2xxxx2cos12sinlim0 xxx2tanlim 0例3两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematicsxxx34sinlim 0(1)求解解xxx34sinlim 0 xxx434sin4lim 0 xxx44sinlim34 0.34 训练2xxx3sin2sinlim 0(2)求解解xxx3sin2sinlim 0 xxxxxxx

12、333sin222sinlim 0.32 3233sinlim22sinlim 00 xxxxxx两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics.2sin3tanlim0 xxx 求解解23xxxx3cos12sin3sinlim0 xxx2sin3tanlim 0(3)两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics练习:xxxx2tan7sin3tanlim)1(0 xxx2cot5sinlim)2(0 xxxxxsinsinlim)

13、3(0)2tan7sin2tan3tan(lim0 xxxxx22723xxx2tan5sinlim025xxxxxsin1sin1lim001111两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics例4 求3)9sin(lim23xxx解：3)9sin(lim23xxx)3(9)9sin(lim223xxxx)3(lim9)9sin(lim3223xxxxx6两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics.cos1lim20 xxx 求2

14、20)2(2sinlim21xxx 2202sin2limxxx原式20)22sinlim(21xxx 例例5 5解解.21 两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics.31sin2limxxx求xxx31sin2lim.32训练训练3 3解：解：323131sinlimxxx.1sinlimxxx 求解：解：xxx1sinlimxxx11sinlim.1例6两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics)3(2sin22nnnRA

15、nnnAS lim圆nnRn2sin2lim2解解 如前所述，可以通过求圆的内接正如前所述，可以通过求圆的内接正n n边形的面积的边形的面积的极限计算圆的面积，而内接正极限计算圆的面积，而内接正n n边形的面积为边形的面积为)22sin(lim2nnRnnnRn22sinlim2引例解决：引例解决：求半径为求半径为R R的圆的面积的圆的面积2R两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics引例2【银行信贷问题】某企业从银行贷款20万美元，约定以连续复利方式计算利息，且年利率4%，若10年后一次性还本付息，试请你帮助

16、该企业计算贷款到期时还款总额？两个重要极限两个重要极限(Two important limits)n分析：现有一笔贷款A0=20万元（称本金），年利率r=4%，按连续复利计息方式，银行一年应结算n次（），则每次的利率为r/n,则一年后本金和为nnrA)1(010年后的本息和为nnrA100)1(高等数学高等数学 advanced mathematicsnnnnnnrA10100)05.01(lim10)1(lim?)11(limxxx提问：随着结算次数的无限增加，10年后本息和为=？两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced math

17、ematics2、xxx)11(lim)71828.2(e)1(x101021031041051062.592.712.722.722.722.71 x-10-102-103-104-105-1062.872.732.722.722.722.71xx)11(xx)11(=e两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics 从上表可以看出，当x无限增大时，函数 变化的大致趋势。可以证明当x 时，的极限确实存在，其值为e=2.71828182845，即 和一样，e也是一个无理数，它们是数学中最重要的两个常数。1727年，

18、欧拉（L.Euler,瑞士人，17071783，18世纪最伟大的数学家）首先用字母e表示了这个无理数。这个无理数精确到20位小数的值为e=2.71828182845904523536xx)11(xx)11(exxx)11(lim两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics训练4 求下列函数的极限xxx2)211(lim)1(xxx)11(lim)2(xxx10)1(lim)3(xxx210)21(lim)4(=e=e=e=eexxx)11(lim两个重要极限两个重要极限(Two important limits)

19、高等数学高等数学 advanced mathematics归纳归纳：)11(lim（1）极限类型为1（2）必须是 的形式，且底数中的 和指数中的 是“倒数关系”；)11(1（3）中间必须用“+”号连接=e两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics.)211(limxxx例例7 7 求求解解xxx)211(lim212)211(limxxx21e例例8 8 求求.)41(lim2xxx解解xxx2)41(lim.e8xxxxx244)4(1(lim两个重要极限两个重要极限(Two important limits

20、)高等数学高等数学 advanced mathematics训练训练5 5 (1)(1)求求解解 xxx10)541(lim.54 exxx10)541(limxxxxx154450)54(1 lim23)341(lim)2(xxx求解解23)341(limxxx243)341(limxxx2e两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics案例 人民医院1998年5月20日从美国进口一台彩色超声波诊断仪，贷款20万美元，以复利计算，年利率4%，2007年5月20日到期，一次还本付息，试确定贷款到期时还款总额（按连续

21、计息）ntnntrps)1(lim解rnrnrtnpetrp)1(lim以年为单位复利基本计算公式为nnrPS)1(若把一年均分为t期计息，于是n年的本息和为ntntrps)1(则连续复利的复利公式为所以到期还款总额为67.2820904.09es两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics两个重要极限两个重要极限(Two important limits)实例训练实例训练【股票筹资成本问题股票筹资成本问题】：在股票市场上，经常涉及股票筹资成本问题，需要计算股利逐年增长的普通股的筹资成本。设某普通股第一年股利为D

22、，且每年以固定比率G增长，普通股筹资额为P，筹资费用率为F，则普通股成本K可计算如下：按前面所述的资金现值计算方法知 该股票筹得资金的现值为P(1-F),等于各年股利按普通股成本K贴现的现值和，即322)1()1()1()1(11KGDKGDKDFP）（高等数学高等数学 advanced mathematics试利用数学方法计算股票筹资成本K解：按等比数列的求和公式知322)1()1()1()1(11KGDKGDKDFP）（KGKGKDn111)11(1(1）所以，当所以，当 时时n）（FPn1limGKD所以GFPDK)1(两个重要极限两个重要极限(Two important limits)

23、高等数学高等数学 advanced mathematics例例1010.)1232(limxxxxxxx)1221(lim e.求极限求极限解解xxxx)1232(lim 21212)1221(limxxx21212)1221()1221(limxxxx122212)1221(limxxxxx122limxxxee.两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics另解另解:xxxx)1232(limxxxxx)211()231(lim e.2123ee xxxx)211231(lim xxxxxx)211(lim)2

24、31(lim 训练6 求xxxx)32(lim两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics等价无穷小替代等价无穷小替代1、若极限 ，称(x）与(x)等价，记为:(x)(x)1)()(lim0 xxxx2cos1,1,)1ln(,arctan,arcsin,tan,sin02xxxexxxxxxxxxxxx 时当2、常见的几个等价无穷小xx33sin:注意两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics3、等价无穷小替代法则：在极限计算中

25、，函数的分子或分母中的无穷小因子用与其等价的无穷小来替代，函数的极限值不会改变。例10 求xxx4tan3sinlim)1(0 xxx4tan3sinlim0 xxx43lim043解：两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics30sintanlim)2(xxxx解：30sintanlimxxxx30sincossinlimxxxxxxxxxxcos)cos1(sinlim30 xxxxxcos21lim3202130limxxxx0)12ln()3tan(sinlim230 xxxx求训练7两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics小小 结结1、两个重要极限公式及其应用；2、用两个重要极限的注意点；3、等价无穷小的替换。两个重要极限两个重要极限(Two important limits)高等数学高等数学 advanced mathematics作业P:两个重要极限两个重要极限(Two important limits)