《层次分析法简介》课件.ppt
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1、层次分析法简介层次分析法层次分析法 美国运筹学家萨蒂(美国运筹学家萨蒂(T.L.Saaty)在)在70年代初提出年代初提出的层次分析法(的层次分析法(Analytical Hierarchy Process,简,简称称AHP)是一种具有定性分析与定量分析相结合)是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法,可将决策者对复杂对象的决策思维的决策方法,可将决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量化。过程系统化、模型化、数量化。AHP基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其相互关系,将问题所研究的全部元素按不素及其相互关系,将问题所研究的全部元素按
2、不同的层次进行分类,标出上一层与下层元素之间同的层次进行分类,标出上一层与下层元素之间的联系,形成一个多层次结构。在每一层次,均的联系,形成一个多层次结构。在每一层次,均按某一准则对该层元素进行相对重要性判断,构按某一准则对该层元素进行相对重要性判断,构造判断矩阵,并通过解矩阵特征值问题,确定元造判断矩阵,并通过解矩阵特征值问题,确定元素的排序权重,最后再进一步计算出各层次元素素的排序权重,最后再进一步计算出各层次元素对总目标的组合权重,为决策问题提供数量化的对总目标的组合权重,为决策问题提供数量化的决策依据。决策依据。层次分析法基本步骤层次分析法基本步骤 明确问题建立层次明确问题建立层次 构
3、造判断矩阵构造判断矩阵 层次单排序层次单排序 层次总排序层次总排序 一致性检验一致性检验明确问题建立层次明确问题建立层次 对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类对问题涉及的全部元素按各其相互间的影响与作用分类,每类作为一个层次每类作为一个层次,按最高层按最高层(即目标层即目标层,表示解决问题的目表示解决问题的目的的)、若干有关的中间层、若干有关的中间层(表示采用某种措施或根据某种准表示采用某种措施或根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节则来实现预定目标所涉及的中间环节)和最低层和最低层(表示解决表示解决问题的措施和方案问题的措施和方案)的形成排列起来形成一个层次结构图。的形成排列
4、起来形成一个层次结构图。构造判断矩阵构造判断矩阵 层次结构建立后层次结构建立后,明确了上下层次之间的从属关系。明确了上下层次之间的从属关系。假定假定A层中元素层中元素Ak与下层中元素与下层中元素B1,B2,Bm有联系,有联系,构造如下的判断矩阵:构造如下的判断矩阵:AkB1B2BmB1b11b12b1mB2b12b22b2mBmbm1bm2bmn其中其中bij表示对于表示对于Ak而言,而言,Bi对对Bj相对重要性的标度相对重要性的标度(MBi/MBj)。显然判断矩阵。显然判断矩阵B=(bij)有关系式有关系式 bij0,bii=1,bji=1/bij,i,j=1,2,m因此对因此对m阶判断矩阵
5、阶判断矩阵,仅需对仅需对m(m-1)/2个元素给出标度。个元素给出标度。标度值意义及一致性标度值意义及一致性判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和分析者的认识综合平衡后给出的,因此对判断矩阵的质量有一致性的要求,综合平衡后给出的,因此对判断矩阵的质量有一致性的要求,即即B中元素满足要求:中元素满足要求:bijbjk=bik i,j,k=1,2,m满足一致性的充分必要条件是:它的最大特征值满足一致性的充分必要条件是:它的最大特征值*=m。层次单排序层次单排序 利用判断矩阵,计算对于上一层某元素而利用判断矩阵,计算对于上一层某元素而言,本层次与
6、之有联系的元素的重要性次言,本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值(权向量)的过程,称为层次单序的权值(权向量)的过程,称为层次单排序。排序。层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的层次的单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题,即对于判断矩特征值与特征向量的问题,即对于判断矩阵阵B,求解满足,求解满足BU=U的最大特征值的最大特征值*以及以及对应对应*的正规化的正规化(单位化单位化)的特征向量的特征向量U*,U*的分量即为相应元素的单排序权重。的分量即为相应元素的单排序权重。一致性指标一致性指标 在一般情况下,判断矩阵的特征值为单根,且在一般情况下,判断矩阵的特征值为单根,且max
7、m,当,当B具有满意的一致性时,具有满意的一致性时,max稍大于稍大于m,其余的特征值接近于零,此时,层次分析得出的其余的特征值接近于零,此时,层次分析得出的结论基本合理。结论基本合理。我们可用我们可用CI=(*-m)/(m-1)作为检验作为检验B的一致性指标。的一致性指标。显然,当判断矩阵具有一致性,显然,当判断矩阵具有一致性,CI=0;*-m越大,越大,CI越大,一致性越差。越大,一致性越差。此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。通过多次随机的构造通过多次随机的构造m阶判断矩阵阶判断矩阵,计算其最大特计算其最大特征根征根,然后取平均值得然后取
8、平均值得,于是得到于是得到RI=(-m)/(m-1)。注:注:112阶判断矩阵的阶判断矩阵的RI值已编制成数表备查。值已编制成数表备查。随机一致比例随机一致比例CR 一、二阶判断矩阵必有一致性,其一、二阶判断矩阵必有一致性,其RI值只是值只是形式上的。形式上的。当判断矩阵阶数大于当判断矩阵阶数大于2时,时,CI与与RI之比称为之比称为判断矩阵的随机一致比例,记为判断矩阵的随机一致比例,记为CR。当当CR=0.10时,认为判断矩阵的一致性可时,认为判断矩阵的一致性可以接受,否则需要调整判断矩阵。以接受,否则需要调整判断矩阵。对于对于112阶的判断矩阵,阶的判断矩阵,RI值表如下值表如下:阶数阶数
9、123456789101112RI000.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54层次总排序层次总排序 为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合为了得到层次结构中某层元素对于总体目标组合权重和它们与上层元素的相互影响,需要利用该权重和它们与上层元素的相互影响,需要利用该层所有层次单排序的结果,计算出该层元素的组层所有层次单排序的结果,计算出该层元素的组合权重,这个过程称为层次总排序。合权重,这个过程称为层次总排序。层次总排序这一步,需要从上到下逐层排序进行,层次总排序这一步,需要从上到下逐层排序进行,最终计算结果得到最低层次元素,即要决策
10、方案最终计算结果得到最低层次元素,即要决策方案优先次序的相对权重。优先次序的相对权重。若有若有m层目标层目标(不含总目标不含总目标),把各方案作为把各方案作为m+1层层,每相邻两层之间具有完全层次关系每相邻两层之间具有完全层次关系,且设第且设第i层目标层目标有有ni个个,第第i+1层目标层目标(或方案或方案)有有ni+1个个,用用W(i)表示这表示这两层间的权重矩阵两层间的权重矩阵,它有它有ni行行ni+1列。可以知道各方列。可以知道各方案对总目标的权重向量案对总目标的权重向量W为:为:W=W(0)W(1)W(m)。层间的权重组合与权重矩阵层间的权重组合与权重矩阵W(j)若上一层所有元素若上一
11、层所有元素A1,A2,Ak的层次单排序已完的层次单排序已完成,得到的权重为成,得到的权重为a1,a2,ak,与与Ai(1ik)对应的本对应的本层次元素为层次元素为B1,B2,Bm单排序结果为单排序结果为Bi=(bi1,bi2,bim)(注:若注:若bij=0,则表示则表示Bi与与Aj无关无关)TjW)(一致性检验一致性检验 为评价层次总排序的计算结果的一致性如何,需为评价层次总排序的计算结果的一致性如何,需计算与层次单排序类似的检验量,记计算与层次单排序类似的检验量,记 CI层次总排序的一致性指标层次总排序的一致性指标 RI层次总排序随机一致性指标层次总排序随机一致性指标 CR层次总排序随机一
12、致性比例层次总排序随机一致性比例其中其中 KiiiCIaCI1KiiiRIaRI1RICICR CIi为为Ai对应的下一层对应的下一层B层次中判断矩阵的一致性指标。层次中判断矩阵的一致性指标。RIi为为Ai对应的对应的B层次中判断矩阵的随机一致性批标。层次中判断矩阵的随机一致性批标。当当CR0.10时时,则则 认为层次总排序计算结果的一致性可认为层次总排序计算结果的一致性可以接受。以接受。最大特征值的近似简化算法最大特征值的近似简化算法-和积法和积法(1)将判断矩阵)将判断矩阵B每一列正规化;每一列正规化;(2)每列正规化的判断矩阵按行相加;)每列正规化的判断矩阵按行相加;(3)对相加后得到的
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