单调性与最大(小)值(第二课时)课件.ppt

1、 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告告诉我们，对于一定量的气体，当其体积诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，减小时，压强压强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp 证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkp Vp VkVVVV由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp 即 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值判号化简作差定论定论 (

2、2)某市这一天何时的气某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？温最高和何时的气温最低？14时气温达到最高时气温达到最高,4时气温达到最低时气温达到最低.(3)从图象上看出从图象上看出14时的气温为全天的最时的气温为全天的最高气温高气温,它表示在它表示在024时之间时之间,气温气温于于14时达到时达到最大值最大值,从图象上看出从图象上看出,图象在这一点的位置最图象在这一点的位置最高高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题问题.设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x

3、)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是函数的最大值最大值(maximum value)1.1.函数的最大值：函数的最大值：上面我们从直观的感受知道了最值的概念上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义下面给出严格的定义.2.函数最大值应该是所有函数值中最大的函数最大值应该是所有函数值中最大的,即对于任意的即对于任意的xI,都有都有f(x)M 注意注意:1.函数最大值首先应该是某一个函数值函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在即存在x0I,使得使得f(x0)=M；定义中的两个条件缺一不可定义中的两个条件缺一不可,只有只有(1)(1)没有没有(2

4、)(2)不存在最大值点不存在最大值点,而只有而只有(2)没有没有(1),M不一定不一定是函数是函数y=f(x)的最大值的最大值.比照最大值的定义比照最大值的定义,最小最小值是如何定义的值是如何定义的?(1)对于任意的对于任意的x I,都有都有f(x)M;(2)存在存在x0 I,使得使得f(x0)=M.则称则称M是函数的是函数的最小值最小值(minimum value)设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为,如果存在实数如果存在实数M满足满足:2.2.函数的最小值：函数的最小值：函数的最大值从图象上看是在指定的区函数的最大值从图象上看是在指定的区间里间里最高位置对应的点的纵坐标最高位置对应的点

5、的纵坐标,好象有一种好象有一种一览众山小的情景一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景坐标，好像有一种坐井观天的情景.(1)()1;f xx 2(2)();f xx 请大家思考请大家思考,是否每个函数都有最大值是否每个函数都有最大值,最最小值？举例说明小值？举例说明.一个一个 函数不一定有最值函数不一定有最值.有的函数可能只有一个最大有的函数可能只有一个最大(或小或小)值值.如果一个函数存在最值，那么函数的最如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的值都是唯一

6、的,但取最值时的自变量可以有但取最值时的自变量可以有多个多个.2(3)()21,0,3)f xxxx 例例3.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面如果烟花距地面的高度的高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2()4.914.718,h ttt 例例3.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是

7、期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面如果烟花距地面的高度的高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2()4.914.718,httt 解解:作出函数作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象的图象.则函数则函数图象的顶点图象的顶点就是就是烟花上升的最高点，烟花上升的最高点，顶点顶点的的横坐标就是烟花爆裂的最佳横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻时刻,纵坐标就是这时距地面纵坐标就是这时距地面的高度的高

8、度.由二次函数的知识由二次函数的知识,对于对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有:当当时时，14.71.52(4.9)t 答答:烟花冲出后烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻秒是它爆裂的最佳时刻,这时距这时距地面的高度为地面的高度为29 m.例例3.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面如果烟花距地面的高度的高度h m与时间与时间t s之间的关系为之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时这时距地面的高度是多少距

9、地面的高度是多少(精确到精确到1m)?2()4.914.718,h ttt 24(4.9)1814.729.4(4.9)h 函数有最大值函数有最大值【1】求函数】求函数y=x2-2x-1的值域和最值的值域和最值.(1)x0,3 (2)x(2,4 (3)x-2,-1 ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.值域值域-2,2ymax=f(4)=7.值域值域(-1,7ymax=f(-2)=7.值域值域2,7ymin=f(-1)=2,练一练练一练 例例4.求函数求函数 在区间在区间2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值 21yx 解解:设设x1,x2是区间是区间2,6上的任意两个实数上的

10、任意两个实数,且且x1x2,则则2211(21)(1).()xxxx 由由2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,12()()0,f xf x121222()()11f xf xxx21212(1)(1)(1)(1)xxxx 于是于是 因此因此,函数函数 在区间在区间2,6上的两个端点上的两个端点上分别取得最大值和最小值上分别取得最大值和最小值.12()().f xf x 所以所以,函数函数 是区间是区间2,6上的减函数上的减函数.21yx 当当x=2时取最大值时取最大值21yx max2(2)2;21yf 当当x=6时取最小值时取最小值min22(6).615yf 即即xyo1 23 45

11、6132 【2】已知函数已知函数 求函求函数的最大值和最小值数的最大值和最小值(3,51)2,1xxyx min22(6).615yf 练一练练一练max2(2)2;21yf 【3】在已知函数】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-,-2上递减上递减,在在-2,+)上递增上递增,则则f(x)在在1,2上的值上的值域域_.21,49练一练练一练16,m 2()4161f xxx24(2)15.x1.函数的最大函数的最大(小小)值的定义及几何意义值的定义及几何意义 2.三类函数的最值的求法三类函数的最值的求法 利用利用二次函数二次函数的性质的性质(配方法配方法)求函数的求函数的最大最大(小

12、小)值值.利用利用图象图象求函数的最大求函数的最大(小小)值值.利用利用函数单调性函数单调性求函数的最大求函数的最大(小小)值值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递增上单调递增,则函数则函数y=f(x)在在x=a处有最小值处有最小值f(a),在在x=b处有最大值处有最大值f(b).函数在其定义域上的最大值函数在其定义域上的最大值,其几何其几何意义是图象上最高点的纵坐标意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为最小值为图象上最低点的纵坐标图象上最低点的纵坐标.如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上单调递上单调递减减,在区间在区间b,c上单调递上单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大(小小)值的方法值的方法3()1Rf xx1.证明函数在 上为增函数.22()23(1)()(2)()23(,1f xxxf xf xxx 2.已知函数，根据图像写出函数的单调区间；证明在区间是增函数；的的值值域域求求函函数数5,1,64.32 xxxy