第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群课件.pptx
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- 第五章 4阿贝尔群 循环群 置换群课件 第五 贝尔 置换 课件
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1、v 阿贝尔群(Abelian Groups)v 循环群(Cyclic Groups)v 置换群v 小结定义5-5.1 设 是一个群,如果 是一个可交换运算,那么群 就称为可交换群(Commutative Groups),或称阿贝尔群(Abelian Groups),或称加法群(Additive Groups)。否则称为不可交换群(Non-commutative Groups)。一、阿贝尔群(Abelian Groups)例1 (a)均为阿贝尔群。(b)设A是任一集合,P表示A上的双射函数集合,则 是一个群,这里“”表示函数复合,f-1是 f 的逆函数,通常这个群不是阿贝尔群。(c)设G=所有n
2、阶可逆方阵,“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群,但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d,f:SS,其中f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f,f 2=f f,f 3=f 2 f,f 4=f 3 f,f 0=Is,则 为阿贝尔群。其运算表为:f 0f 1f 2f 3f 0f 0f 1f 2f 3f 1f 1f 2f 3f 0f 2f 2f 3f 0f 1f 3f 3f 0f 1f 2(c)设G=所有n阶可逆方阵,“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群,但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d,f:SS,其中f(a)=b,f(b)
3、=c,f(c)=d,f(d)=a,则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f,f 2=f f,f 3=f 2 f,f 4=f 3 f,f 0=Is,(c)设G=所有n阶可逆方阵,“”是G上的矩阵乘法运算则 是一个群,但它不是阿贝尔群。例2 S=a,b,c,d,f:SS,其中f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,则f 为集合S到S的一个双射。记 f 1=f,f 2=f f,f 3=f 2 f,f 4=f 3 f,f 0=Is,则 为阿贝尔群。其运算表为:f 0f 1f 2f 3f 0f 0f 1f 2f 3f 1f 1f 2f 3f 0f 2f 2f 3f 0f 1f 3f
4、3f 0f 1f 2例3 设 是一个独异点,并且对于G中的每一个元素a都有aa=e,则 是一个阿贝尔群。证明 aG,由于aa=e,所以 a-1=a,即G中的每一个元素a都有逆元素,故G,是一个群。又a、bG,ab=a-1b-1=(ba)-1=ba,所以G,是一个阿贝尔群。例4 设G=e,a,b,c,为G上的二元运算,它由下表给出。是4阶循环群。定义5-5.2 设 是群,若G中存在元素a,使得G中每个元素都由a的幂组成,则称 为循环群(Cyclic Groups),元素a称为该循环群的生成元。二、循环群(Cyclic Groups)eabceeabcaabcebbceacceab生成元为a,c。
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