微分几何第一章课件.ppt

1、微微 分分 几几 何何几何几何学学解析几何微分几何其它几何初等几何用微积分方用微积分方法研究几何法研究几何图形的性质图形的性质包括平面几包括平面几何和立体几何和立体几何何用代数的方用代数的方法研究图形法研究图形的几何性质的几何性质金融几何金融几何代数几何代数几何计算几何计算几何教材教材彭家贵、陈卿：彭家贵、陈卿：微分几何微分几何，高等教育出版社，高等教育出版社（20022002）参考书参考书书书梅向明、黄敬之：梅向明、黄敬之：微分几何微分几何（第四版），高（第四版），高等教育出版社出版（等教育出版社出版（20082008）陈维桓：陈维桓：微分几何初步微分几何初步，北京大学出版社，北京大学出版社

2、（19991999）周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：周振荣、杨文茂、郑高峰、赵玮：微分几何微分几何，武汉大学出版社（武汉大学出版社（20082008）教材与参考书蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如如 a、r(u,v)、A 等等粉红色字母代表特殊常数，如圆周率粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p p 和和自然对数的底数自然对数的底数 e 等等黄色字母代表特殊函数（如正弦函数黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq q 等）、特殊空间（如欧氏空间等）、特殊空间（如欧氏空间 R3、平面、平面R2 和实数集和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标）、特殊向量（如单位

3、坐标向量，如向量，如 i、j、k ）或者变换群）或者变换群字母右上角的字母右上角的撇撇号代表对一般参数求导数，号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的右上角或者顶上的圆点圆点代表对弧长参数求代表对弧长参数求导数导数符号说明第一章内容概要本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、合同变换群等内容，这些内容是后面积分、合同变换群等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的讨论曲线曲面的微分几何时所需要的向量代数包括向量的线性运算（加法和数向量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度

4、和夹角等内容，其中拉和夹角等内容，其中拉格朗日公式格朗日公式是这一节是这一节的重点的重点向量函数的微积分和普通函数的微积分基本向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解类似，所以本节作为一般了解返回章首1.1向量代数向量代数内容：向量积、内积、混合积的性质与计内容：向量积、内积、混合积的性质与计算算重点：拉格朗日公式重点：拉格朗日公式返回章首集合集合 R3=(x,y,z)|x,y,zR 称为三维实向称为三维实向量空间，其元素量空间，其元素 (x,y,z)叫做一个向量。叫做一个向量。aijkO返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量向量例如例如 i=(1,0,0)，j=

5、(0,1,0)，k=(0,0,1)是是 R3 的三个向量。的三个向量。除了除了 i、j、k 这三个向量以外，我们一般用这三个向量以外，我们一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a、r、a a、b b 等。等。几何上，我们用一个箭几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。端点叫向量的终点。再设再设 a=(x,y,z)，lR，则，则 l 与与 a 的的数数乘乘定义为定义为 la=lxi+lyj+lzk=(lx,ly,lz).设设 a1=(x1,y1,z1)，a2=(x2,

6、y2,z2)，则它们则它们的的和和定义为定义为 a1+a2 =(x1+x2,y1+y2,z1+z2).a1 a2 a1+a2a la 返回章首1.11.1 向量代数向量代数-线性运算线性运算设设 i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)，则任意，则任意向量向量 a=(x,y,z)可表示为可表示为 a=xi+yj+zk（如（如图）图）aijkOzkyjxixi+yj=xi+yj+zk返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量向量设设 ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是是 R3 中中的两个的两个向量，它们的向量，它们的内积内积定义为定义为a1 a2=x1x2+y1y2+

7、z1z2内积内积具有如下性质：具有如下性质：正定正定性性a a 0，等式成立，等式成立当且仅当当且仅当 a=0；对称性对称性a b=b a；线性线性性性a (kb+hc)=ka b+ha c向量向量 a 的的长度长度为为|a|=(a a)1/2；长度长度为为 1 的的向量叫向量叫单位向量单位向量返回章首1.11.1 向量代数向量代数-内积内积1.11.1 向量代数向量代数-两个不等式两个不等式定理定理.对对任意的两个任意的两个向量向量 a、bR3 有有下下面两个不等式成立：面两个不等式成立：许瓦滋不等式许瓦滋不等式a b|a|b|闵可夫斯基不等式闵可夫斯基不等式|a+b|a|+|b|这两个不等

8、式中的等式成立的充分必要条这两个不等式中的等式成立的充分必要条件件是是 ab返回章首1.11.1 向量代数向量代数-两向量的夹角两向量的夹角向量向量 a 与与 b 的夹角为的夹角为如果两个向量的夹角是如果两个向量的夹角是 p p/2/2，就称这两个，就称这两个向量相互向量相互垂直垂直或或正交正交因此两向量正交的充因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零分必要条件是它们的内积为零arcco.|s|qa ba b由许瓦兹不等式可知由许瓦兹不等式可知|cosq q|1.返回章首1.11.1 向量代数向量代数-距离距离两两个个向量向量 a、b 作为作为 R3 的的点，它们之间的点，它们之间的距离距

9、离定义定义为为 d(a,b)=|a b|在在 R3 上上装备装备了这样的距离函数之后就叫了这样的距离函数之后就叫欧氏空间欧氏空间距离具有如下性质：距离具有如下性质：正定正定性性d(a,b)0，等式，等式成立成立当且仅当当且仅当 a=b；对称性对称性d(a,b)=d(b,a)；三角不等式三角不等式d(a,b)d(a,c)+d(c,b)返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量积向量积aba bq q伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量向量 a 朝向量朝向量 b 旋转一个较小的角度（旋转一个较小的角度（小于小于180180）到达）到达 b，则大拇指所指

10、的方向就是，则大拇指所指的方向就是 a b 的方向的方向（如图）（如图）设向量设向量 a、b 的夹角为的夹角为 q q，则它们的则它们的向量积向量积（也叫（也叫外积外积）a b 是这样一个向量，其长度是这样一个向量，其长度为为|a b|=|a|b|sinq q，方向满足右手法则：，方向满足右手法则：返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向量积的性质根据向量积的定义，我们有根据向量积的定义，我们有i j=k,j k=i,k i=j.反交换律：反交换律：a b=b a（见下图）（见下图）分配律：分配律：a (b+c)=a b+a c.aba babb a返回章首1.11.1 向量代数向量代数-向

11、量积的计算公式向量积的计算公式12111222xyzxyzaaijk 注意：注意：|a b|等于由等于由 a 和和 b 张成的平行张成的平行四边形的面积四边形的面积（如图）设设 ai=(xi,yi,zi)（i=1,2）是是 R3 中的两个中的两个向量，则有：向量，则有：abq q|a|sinq q|a|b|sinq q|a b|返回章首1.11.1 向量代数向量代数-混合积混合积三个向量三个向量 a、b、c 的的混合积混合积定义为定义为(a,b,c)=(a b)c向量的混合积满足轮换不变性：向量的混合积满足轮换不变性：(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b).向量的混合积满足反交换性，即

12、交换两个向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如向量的位置改变混合积的符号，如 (a,b,c)=(c,b,a)，等等，等等.返回章首 注意：注意：|(a,b,c)|等于由向量等于由向量 a、b、c 张成张成的平行四面体的体积的平行四面体的体积 （如图）（如图）bacq q|a b|q q|c|cosq q a b|(a,b,c)|=|(a b)c|=|a b|c|cosq q=平行四面体的体积平行四面体的体积返回章首1.11.1 向量代数向量代数-混合积的几何意义混合积的几何意义1.11.1 向量代数向量代数-混合积的计算公式混合积的计算公式设设 ai=(xi,yi,

13、zi)（i=1,2,3）是是 R3 中中的三的三个向量，则有：个向量，则有：两个向量垂直的充分必要条件是它们的内两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零要条件是它们的混合积为零111123222333(,).xyzxyzxyza a a返回章首1.11.1 向量代数向量代数-拉格朗日公式拉格朗日公式设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则特别地有()()a ca dabcdb cb d2222|().a aa bababa bb

14、 ab b()()()().a c b da d b c返回章首看证明练习题练习题1证明证明(a b)c=(a c)b (b c)a（提示：用分量验证，并由此证明拉格朗（提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式日公式返回章首1.2 1.2 向量分析向量分析内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则重点：链式法则重点：链式法则返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的极限向量函数的极限设设 r(t)是一个向量函数，是一个向量函数，a 是常向量，如果对是常向量，如果对任意的任意的 e e 0，存在，存在 d d

15、0，使得当，使得当 0|t t0|d d 时，时，|r(t)a|e e 成立，则称成立，则称 a 是是 r(t)当当 t 趋趋向于向于 t0 时的时的极限极限，记为，记为 ,或者记或者记为为 r(t)a(当当 tt0)0lim()tttra一元向量函数是形如一元向量函数是形如 r(t)=(x(t),y(t),z(t)的向量，其中的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t)是普通的是普通的一元一元函数函数，叫该向量函数的，叫该向量函数的分量函数分量函数返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数极限的计算向量函数极限的计算这个定理表明这个定理表明对向量函数求极限就是对它的对向量函数求极限就是对

16、它的每个分量求极限每个分量求极限这样，向量函数的极限就转这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限化成普通函数的极限定理定理.设设 r(t)=(x(t),y(t),z(t)，a=(x0,y0,z0)，则则0lim()tttra00lim(),ttx tx00lim(),tty ty00lim().ttz tz当且仅当当且仅当返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的极限的性质向量函数的极限的性质推论推论.（极限的运算性质极限的运算性质）设当设当 tt0 时，时，有有 r(t)a，s(t)b，l(t)c，则我们，则我们有：有：r(t)s(t)ab，l(t)r(t)car(t)s(t)a

17、br(t)s(t)a b返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的连续性向量函数的连续性如果当如果当 t t0 时有时有 r(t)r(t0)成立成立，则称，则称向量向量函数函数 r(t)在在 t0 处处连续连续；如果如果 r(t)在在它它的定义域内的每一点都连续，则的定义域内的每一点都连续，则称称 r(t)是是连续函数连续函数连续函数的和、差、积（内积、向量积、连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的混合积、数乘）是连续的r(t)=(x(t),y(t),z(t)在在 t0 处处连续的充分必要连续的充分必要条件是每个条件是每个分量分量 x(t)、y(t)、z(t)都在都

18、在 t0 处处连续连续返回章首1.21.2 向量分析向量分析-一元向量函数的导数一元向量函数的导数显然，若显然，若 r(t)在一点在一点 t0 处可导，则它在该处可导，则它在该点处必定连续点处必定连续存在，则称向量函数存在，则称向量函数 r(t)在在 t0 处可导，而该处可导，而该极限就叫极限就叫 r(t)在在 t0 处的处的导数导数，记为，记为 r(t0)如如果果 r(t)在它的定义域内处处可导，则称在它的定义域内处处可导，则称 r(t)可导，此时可导，此时 r(t)叫叫 r(t)的的导函数导函数（也简称（也简称导数）导数）设设 r(t)是一元向量函数如果极限是一元向量函数如果极限000()

19、()limtttttt rr返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数导数的性质向量函数导数的性质向量函数向量函数 r(t)=(x(t),y(t),z(t)的导数为的导数为 r(t)=(x(t),y(t),z(t)设设 l 是普通函数，是普通函数，r、s、u 都是向量函数，都是向量函数，则则(lr)=lr+lr；(rs)=r s；(r s)=r s+r s；(r s)=r s+r s；(r,s,u)=(r,s,u)+(r,s,u)+(r,s,u)返回章首 可导的向量函数可导的向量函数 r(t)具有固定长度的充要条具有固定长度的充要条件是件是 r(t)垂直于垂直于 r(t)可导的向量函数可

20、导的向量函数 r(t)具有固定方向的充要条具有固定方向的充要条件是件是 r(t)平行于平行于 r(t)1.21.2 向量分析向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数具有固定长度和固定方向的向量函数返回章首看证明看证明1.21.2 向量分析向量分析-一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则定理定理.（一元向量函数的链式法则一元向量函数的链式法则）设设 r(u)可微的向量函数，可微的向量函数，u=u(t)是可微的普通函是可微的普通函数，则复合函数数，则复合函数 r(t)=r(u(t)也可微，并也可微，并且且ddd.dddututrr返回章首1.21.2 向量分析向量分析-二元向量函数的偏导数

21、二元向量函数的偏导数设设 r(u,v)是二元向量函数，如果极限是二元向量函数，如果极限存在，则称它为函数存在，则称它为函数 r(u,v)在点在点(u0,v0)处关处关于于 u 的的偏导数偏导数，记为，记为 ru(u0,v0)；同样，我们；同样，我们可以定义关于可以定义关于 v 的偏导数的偏导数 rv(u0,v0)二元向量函数二元向量函数是形如是形如 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)的向量，其中的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v)是普通是普通的二元函数的二元函数00000(,)(,)limuuu vu vu rr返回章首1.21.2 向量分析向量分析-二

22、元向量函数的微分二元向量函数的微分返回章首设设 r(u,v)是二元向量函数，令是二元向量函数，令 r=r(u0+u,v0+v)r(u0,v0).如果存在向量如果存在向量 a、b 使使 r=a u+b v+o(u)2+(v)2 1/2,则称则称 r(u,v)在点在点(u0,v0)处处可微可微，而而 a u+b v就叫就叫 r(u,v)在点在点(u0,v0)处的处的微分微分，记为，记为 dr(u0,v0)=a u+b vr 的微分简记为的微分简记为 dr=a u+b v 或或 dr=adu+bdv.定理定理.如果如果 r 是可微向量函数，则是可微向量函数，则 dr=rudu+rvdv.返回章首1.

23、21.2 向量分析向量分析-微分的计算微分的计算1.21.2 向量分析向量分析-二元向量函数的链式法则二元向量函数的链式法则,suvuvssrrr.tuvuvttrrr定理定理.（链式法则链式法则）设设 r(u,v)可微如果可微如果 u=u(s,t)和和 v=v(s,t)有连续偏导数，则有连续偏导数，则返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的积分向量函数的积分其中其中 a=t0 t1 tk-1 tk=b 是区间是区间 a,b 的分点，的分点，xi 是区间是区间 (ti-1,ti)内任一点，内任一点，l lk 是定义如下：是定义如下：11,max|.kiiikttl101()dlim(

24、)(),kkbiiiaittttlrr向量函数向量函数 r(t)在区间在区间 a,b 上的上的积分积分定义为：定义为：返回章首向量函数的积分就是将其每个分量进行积向量函数的积分就是将其每个分量进行积分分()d()d()d()d.bbbbaaaattx tty ttz ttjrik定理定理.设设 r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k，则有，则有 返回章首1.21.2 向量分析向量分析-向量函数积分的计算向量函数积分的计算1.21.2 向量分析向量分析-向量函数的积分的性质向量函数的积分的性质d()d().dtassstrr()d()d;bbaattttcrcr()d()d;bbaattt

25、tc rcr()()d()d()d;bbbaaatttttttrsrs()d()d;bbaac ttcttrr()d()d()d;bcbaacttttttrrr 设设 r(t)、s(t)是向量函数，是向量函数，c 是常向量，则有是常向量，则有（c 为常数）为常数）返回章首（c 为常向量）为常向量）（c 为常向量）为常向量）1.31.3 坐标变换坐标变换123(,)aaa123123233121eey,exeeeOPOxxyPy 设设 返回章首O;是正交标架，是正交标架，O;是另一正交标架，是另一正交标架，123e,e,e123e e,e,31312321ecee,eejijijcctOO 31iiijjjxct y31yiiijjjxct 作业作业 P13 1-5返回章首