开环的零点开环的极点课件.ppt
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- 开环 零点 极点 课件
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1、2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系1本章重点本章重点 根轨迹的概念、幅值条件、根轨迹的概念、幅值条件、相角条件相角条件 根轨迹的基本绘制规则根轨迹的基本绘制规则 等效传递函数的概念等效传递函数的概念 根轨迹的简单应用根轨迹的简单应用2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系2一单位负反馈系统的开环传递函数为:一单位负反馈系统的开环传递函数为:(2)gkkGss s 试分析该系统的特征方程的根随系统参数试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变化在的变化在S S平面平面上的分布情况。上的分布情况。gk例5-1系统
2、的闭环特征方程:系统的闭环特征方程:220gssk特征方程的根是:特征方程的根是:1,211gsk 设设 的变化范围是的变化范围是0,0,gk解解2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系3当当 时时,0gk 120,2ss 当当 时时,与与 为不相等的两个负实根;为不相等的两个负实根;01gk 1s2s当当 时,时,为等实根;为等实根;1gk 121ss 该系统特征方程该系统特征方程的根,随开环系的根,随开环系统参数统参数k k从从0 0变到变到时,在时,在S S平面平面上变化的轨迹如上变化的轨迹如图所示。图所示。1P2P0gk0gk1gkgK gKj
3、S当当 时,时,共轭复根。共轭复根。1gk 1,211gsj k 性能2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系4 二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能稳定性稳定性 当增益当增益K1K1由由0 0,根轨迹不会越过虚轴进入,根轨迹不会越过虚轴进入s s平面右半平面右半边,因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根边,因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根都位于都位于s s平面的左半部,系统是稳定的,否则是不稳定的。若根平面的左半部,系统是稳定的,否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半轨迹穿越虚轴进入右半s s平面平面,根轨迹与虚轴交
4、点处的根轨迹与虚轴交点处的K K值,就是值,就是临界稳定的开环增益。临界稳定的开环增益。稳态性能稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点,所以属开环系统在坐标原点有一个极点,所以属型系统型系统,因而根轨迹上的因而根轨迹上的K K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的值就是静态速度误差系数。如果给定系统的稳态误差要求,则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。稳态误差要求,则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。动态性能动态性能 当当 时时,所有闭环极点均位于实轴上所有闭环极点均位于实轴上,系统为系统为过过阻尼阻尼系统,其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。系统,其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当
5、当 时,特征方程的两个相等负实根,系统为时,特征方程的两个相等负实根,系统为临界阻临界阻尼尼系统,单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。系统,单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当当 时,特征方程为一对共轭复根系统为时,特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统欠阻尼系统,单位阶跃响应为阻尼振荡过程,振荡幅度或超调量随单位阶跃响应为阻尼振荡过程,振荡幅度或超调量随 值的值的增加而加大,但调节时间不会有显著变化。增加而加大,但调节时间不会有显著变化。10gk1gk1gkgK2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系5设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函
6、数为:gk为根轨迹增益为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数或根轨迹的放大系数)三、根轨迹的概念三、根轨迹的概念 ()()gkk N sGsD s 其中其中:1()(),njjN ssz 1()()njjD ssp 可得到系统的闭环特征方程式为可得到系统的闭环特征方程式为:1010kgN sGskD s 即:即:11()()1()()niingjjszN sD sksp 开环的零点开环的零点iz开环的极点开环的极点ip2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系6 根轨迹图根轨迹图是闭环系统特征方程的根(闭环极点)随开环系是闭环系统特征方程的根(闭环极点)随开环系
7、统某一参数由统某一参数由0 0变化到变化到时在时在S S平面上留下的轨迹。平面上留下的轨迹。由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为:由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为:1111()()1()()nniiiinngjjjjszszkspsp 11()()(1 2),0,1,2,3.mniiijszspkk 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系7 我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成:凡是满足幅值条件和相角条件的凡是满足幅值条件和相角条件的s s值称为特征方程值称为特征方程的根的根即
8、闭环极点。即闭环极点。因为因为 变化,因此不论什么变化,因此不论什么s s值值,总有一个总有一个 存在存在,使幅值条件得到满足使幅值条件得到满足,所以所以,实际上只要满足实际上只要满足相角条件的相角条件的s s值就是闭环极点值就是闭环极点,而由此而由此s s值值,再由幅值条再由幅值条件可确定此时系统对应的件可确定此时系统对应的 值。值。gK0从gKgK2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系8规则一规则一 根轨迹的起点根轨迹的起点此时系统的闭环极点与开环极点相同此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合重合),把,把开环极点开环极点称为根轨迹的起点称为根轨迹
9、的起点。当当 ,必有必有由根轨迹的幅值条件可知:由根轨迹的幅值条件可知:111mjjngiiszkspis(i1,2,n)p 0gk 通常,我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为通常,我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为普通根轨迹(或普通根轨迹(或 180180根轨迹根轨迹),简称根轨迹。),简称根轨迹。2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系9规则二规则二 根轨迹的终点根轨迹的终点由根轨迹的幅值条件可知:由根轨迹的幅值条件可知:结论:结论:根轨迹起始于开环极点根轨迹起始于开环极点 ,终止于开,终止于开环零点环零点 。(0)gk()gk
10、 111mjjngiiszksp 当当 时,必有时,必有 此时,系统的闭环极点与开环零点相同(重合),我们把此时,系统的闭环极点与开环零点相同(重合),我们把开环零点称为根轨迹的终点开环零点称为根轨迹的终点。(1,2,)jszjm gk 如果开环极点数如果开环极点数n n大于开环零点数大于开环零点数m,m,则有则有n-mn-m条根轨迹终条根轨迹终止于止于S S平面的无穷远处平面的无穷远处(无限零点无限零点),如果开环零点数,如果开环零点数mm大于开大于开环极点数环极点数n n,则有,则有m-nm-n 条根轨迹起始于条根轨迹起始于S S平面的无穷远处。平面的无穷远处。2022-11-22北京科技
11、大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系10规则三规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特征方程的根(即闭环极点)征方程的根(即闭环极点)在在s s平面上的分布,那么,根轨迹平面上的分布,那么,根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。的分支数就应等于系统特征方程的阶数。由由例例5-15-1 看出,系统开环根轨迹增益看出,系统开环根轨迹增益 (实变量)与复变量(实变量)与复变量s s有一一对应的关系。有一一对应的关系。gk 当当 由由0 0到到连续变
12、化时,描述系统特征方程根的复变量连续变化时,描述系统特征方程根的复变量s s在平面上的变化也是连续的,因此在平面上的变化也是连续的,因此,根轨迹是根轨迹是n n条条连续连续的曲线。的曲线。gk 由于实际的物理系统的参数都是实数由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复如果它的特征方程有复数根的一定是对称于实轴的共轭复根,因此,根轨迹总是数根的一定是对称于实轴的共轭复根,因此,根轨迹总是对称对称于实轴于实轴的。的。结论:结论:根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨根轨迹是连续且对称于迹是连续且对称于实轴实轴的曲线。的曲线。2022-11-22北京
13、科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系11规则四规则四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹由相角条件可证实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零设某段右侧的零,极点数分极点数分别为:别为:则则:即即右侧开环零右侧开环零,极点数的和为奇数时极点数的和为奇数时,该段为根轨迹该段为根轨迹。,zpNN11(12)mnijzpijNNk 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系12规则五规则五 渐近线渐近线 当开环极点数当开环极点数 n n大于开环零点数大于开环零点数mm时时,系统有系统有n-mn-m条根轨条根轨迹终止于迹终止于S
14、S平面的无穷远处,这平面的无穷远处,这n-mn-m条根轨迹变化趋向的直线条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线,因此渐近线也有叫做根轨迹的渐近线,因此渐近线也有n-mn-m条条,且它们交于实且它们交于实轴上的一点。轴上的一点。渐近线与实轴的交点位置渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角和与实轴正方向的交角 分别为分别为:11nmijijPZnm 21,0,1,2,1kknmnm 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系13(1)根轨迹渐近线的倾角 根据幅角条件:当 时,零点 、极点 与 矢量复角可近似看成相等 得到 所以渐近线的倾角:因共有(n-
15、m)条渐近线,所以只要取(n-m)个不同的倾角即可。sjzips180(21)aamnk180(21),0,1,2,1akknmnm11()()180(21),0,1,2,mnjijiszspkk 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系14(2)渐近线与实轴的交点 幅值条件:当 ,则对应于 ,此时 ,上式可写成:上式左边展开:上式右边展开 比较对应 s 幂项系数相等,求得:所以渐近线相交于同一点1*1nmspspKszsz*K siiszsp12121)()(mnmnmnszzzppps1()n mn masnm s1212()()()anmnmppp
16、zzz1212()()nmapppzzznm1212()()()()()()()n mnamspspspsszszsz2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系15已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。2(2)(1)(4)gkksGssss例5-21 1渐近线:渐近线:系统有系统有n=4,m=1,n-m=3n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为:三条渐近线与实轴交点位置为:13241解解实轴正方向的交角分别是实轴正方向的交角分别是0)(k6031)(k1802)(k6035渐近
17、线如图所示。渐近线如图所示。-4-4-3-3-2-2-1-10 0j03000180060060B BC CA A2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系162022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系17规则六规则六 根轨迹的分离点、会(汇)合点根轨迹的分离点、会(汇)合点 根轨迹在根轨迹在s s平面上相遇,表明系统有相同的根。即在分离点平面上相遇,表明系统有相同的根。即在分离点和会合点处必有闭环特征重根和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为令闭环特征方程为:12()()()()()()()0gdnF sk N
18、 sD sssss 如果令如果令 12112()()()()()()()()()0dndndF sdssssdsdsssss即可求得即可求得 ()0dF sds2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系18故在重根处有故在重根处有:()()()()()0ggd k N sD sdF sk N sD sdsds因为:因为:所以:所以:()()gD skN s()()()0()D sN sD sN s即:即:2()()()()()gdkD s N sD s N sdsNs 分离点分离点/会合点会合点:和和()0dF sds0gdkds以上分析没有考虑以上分析没
19、有考虑 (且为实数且为实数)的约束条件,所以的约束条件,所以只有满足只有满足 的这些解,才是真正的分离点(或会的这些解,才是真正的分离点(或会合点)。合点)。0gk 0gk 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系19事实上,分离点还可由下式确定 因为 即 其中 即 所以-1111mnijijszsp()()()()N sD sN sD s ln()ln()ddN sD sdsds 1212()()()()()()()()mnN sszszszD sspspsp1212111ln()111ln()mndN sdsszszszdD sdsspspsp111
20、1mnijijszsp()()()()0D s N sD s N s 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系20一般来说一般来说:如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点如果根轨迹位于实轴上两相邻的开环极点(零点零点)之间;则出现分离点之间;则出现分离点(会合点会合点)。如果根轨迹位于。如果根轨迹位于实轴上一个开环极点与一个开环零点之间,则或者既实轴上一个开环极点与一个开环零点之间,则或者既不存在分离点,也不存在会合点,或者既存在分离点不存在分离点,也不存在会合点,或者既存在分离点,又存在会合点。,又存在会合点。四重分离点四重分离点 复数分离点复数分离点2
21、022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系21的单位负反馈系统的的单位负反馈系统的(180)根轨迹。根轨迹。绘制开环系统传函数为绘制开环系统传函数为例5-3()(1)(2)gkkGss ss 1 1)此系统无开环零点,有三个开环极点,分别为:)此系统无开环零点,有三个开环极点,分别为:01p12p23p2 2)渐近线:)渐近线:根据规则可知,系统根轨迹有三条分支,当根据规则可知,系统根轨迹有三条分支,当 分别从分别从开环极点开环极点 出发,出发,时趋向无穷远处,时趋向无穷远处,其渐其渐近线夹角为:近线夹角为:0gk123ppp、gk 解解渐近线与实轴的交点为
22、渐近线与实轴的交点为 002160,180n m0,1,2,n m 1kk 111nmijijPZnm 2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系22由上式可求由上式可求上式的根为上式的根为求分离点:求分离点:分离点必位于分离点必位于0 0至至-1-1之间的线段上,之间的线段上,故故 为分离点为分离点d d的坐标。的坐标。10.423s 120.4231.577ss 2362gdkssds 3232 gksssj S0122022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系232022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北
23、京科技大学自动化学院自动化系24规则七、根轨迹的出射角和入射角规则七、根轨迹的出射角和入射角由相角条件可直接得到由相角条件可直接得到 11(12)mnijijk 出射角出射角:11,mnijijj k入射角:入射角:1,1mnijii kj2022-11-22北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系25规则八规则八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根(实部为零)。(实部为零)。(1)(1)用用 代入特征方程可得代入特征方程可得js()()|0gsjk N sD s 令此方程中虚部
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