流体运动方程的应用-课件.ppt

1、流体的运动方程描述了流体动量传递的基本规律，给出了通用流体的运动方程描述了流体动量传递的基本规律，给出了通用的动量传递微分方程。该微分方程可以用于求解层流流动的动的动量传递微分方程。该微分方程可以用于求解层流流动的动量传递速率、速度分布和流动阻力问题。但由于方程本身的非量传递速率、速度分布和流动阻力问题。但由于方程本身的非线性及复杂性，即使对于层流流动，也仅对于少数比较简单的线性及复杂性，即使对于层流流动，也仅对于少数比较简单的稳态流动，才能得到方程的解析解。稳态流动，才能得到方程的解析解。对于比较复杂的流动问题，直接求解运动方程往往是非常困难对于比较复杂的流动问题，直接求解运动方程往往是非常

2、困难的。为此，可以根据问题的特点，比较方程中各项物理量的相的。为此，可以根据问题的特点，比较方程中各项物理量的相对大小，将某些虽然不等于零但对流动影响较小的项略去，使对大小，将某些虽然不等于零但对流动影响较小的项略去，使方程得以简化，然后再分析求解。例如本章对于爬流、势流问方程得以简化，然后再分析求解。例如本章对于爬流、势流问题的处理就是采用这种方法。题的处理就是采用这种方法。第三章第三章 流体运动方程的应用流体运动方程的应用 流体流动研究的核心问题就是流动阻力问题，也就是动量流体流动研究的核心问题就是流动阻力问题，也就是动量传递速率问题。粘性流体流动时，流体内部存在速度梯度，导传递速率问题。

3、粘性流体流动时，流体内部存在速度梯度，导致流体流动产生粘性摩擦力。另一方面，速度梯度的存在使动致流体流动产生粘性摩擦力。另一方面，速度梯度的存在使动量自发地从高速区向低速区传递，其结果是流体的动量不断地量自发地从高速区向低速区传递，其结果是流体的动量不断地被消耗。这就是流体流动阻力产生的来源。被消耗。这就是流体流动阻力产生的来源。应该指出，流体的这种内摩擦力与固体表面上的摩擦力存在着应该指出，流体的这种内摩擦力与固体表面上的摩擦力存在着本质上的不同。固体摩擦仅发生在固体的外表面上，而流体与本质上的不同。固体摩擦仅发生在固体的外表面上，而流体与壁面之间的摩擦则发生在流体内部，因为紧贴壁面的流体与

4、壁壁面之间的摩擦则发生在流体内部，因为紧贴壁面的流体与壁面之间没有相对运动。流体的流动阻力是由于壁面的介入，使面之间没有相对运动。流体的流动阻力是由于壁面的介入，使流体内部出现速度梯度而进行动量传递，从而消耗了流体能量流体内部出现速度梯度而进行动量传递，从而消耗了流体能量的结果。的结果。流体流动问题按其流动方式可以分为两类：一类是流体包流体流动问题按其流动方式可以分为两类：一类是流体包围着固体壁面的流动（绕流流动）；另一类是流体被壁面包围围着固体壁面的流动（绕流流动）；另一类是流体被壁面包围的流动（约束流）。下面分别给出这两种流动的阻力系数定义。的流动（约束流）。下面分别给出这两种流动的阻力系

5、数定义。第第1 1节节 流体流动方式及流动阻力系数流体流动方式及流动阻力系数一、绕流流动与曳力系数一、绕流流动与曳力系数当粘性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，流体将受到物体当粘性流体流过一个固体表面或围绕浸没物体流动时，流体将受到物体壁面的阻力，而物体则受到流体所施加的曳力壁面的阻力，而物体则受到流体所施加的曳力(drag force)，此曳力和阻，此曳力和阻力大小相等，方向相反。力大小相等，方向相反。其中，其中，Fd流体对物体施加的总曳力流体对物体施加的总曳力 u0远离物体表面的流体速度远离物体表面的流体速度 A与流动方向向垂直的投影面积与流动方向向垂直的投影面积 CD曳力系数曳力

6、系数上式称为牛顿阻力平方定律，称为动能因子。202u 理论分析和实验研究均表明流体对圆柱体所施加理论分析和实验研究均表明流体对圆柱体所施加的曳力与物体在垂直于流动方向上的横截面积以的曳力与物体在垂直于流动方向上的横截面积以及流速的平方成正比，用公式可以表述如下：及流速的平方成正比，用公式可以表述如下：202DduFCA （31）现以流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的现以流体绕过置于流场中的一根长圆柱体的流动状况为例进行讨论，如右图所示。流动状况为例进行讨论，如右图所示。总曳力总曳力Fd由两部分组成，一部分是由于压力在物体表面上的不对称分布所由两部分组成，一部分是由于压力在物体表面上的不对称分布

7、所引起的形体曳力引起的形体曳力(form drag)或称为压差曳力或称为压差曳力Fdf，另一部分是物体表，另一部分是物体表面上的剪应力所引起的摩擦曳力面上的剪应力所引起的摩擦曳力(skin drag)Fds。总曳力为形体曳力与。总曳力为形体曳力与摩擦曳力之和。摩擦曳力之和。从上式中即可求出曳力系数从上式中即可求出曳力系数202dDFCu A （32）式（式（32）即为曳力系数或绕流阻力系数的定义式。）即为曳力系数或绕流阻力系数的定义式。CD可由可由动量传递理论推导出来或由实验测定出来，通过动量传递理论推导出来或由实验测定出来，通过CD可以计算可以计算绕流问题的流动阻力（动量传递速率）。绕流问题

8、的流动阻力（动量传递速率）。L二、约束流动与范宁摩擦因数二、约束流动与范宁摩擦因数工程上，许多流体都是在封闭的管道工程上，许多流体都是在封闭的管道内输送的。右图即为粘性流体在一水内输送的。右图即为粘性流体在一水平圆管内稳态流动的示意图。在管中平圆管内稳态流动的示意图。在管中心处取一长为心处取一长为L，半径为，半径为r 的流体元进的流体元进行受力分析。行受力分析。在此流体元上存在着两个方向相反的力，一个是促使流体流在此流体元上存在着两个方向相反的力，一个是促使流体流动的推动力动的推动力F1，该力的方向与流动方向一致，力的大小为，该力的方向与流动方向一致，力的大小为2112()Fppr 另一个是流

9、体的内摩擦力，该力为阻止流体向前运动的力另一个是流体的内摩擦力，该力为阻止流体向前运动的力F2，力的方向与流动方向相反，其大小为：力的方向与流动方向相反，其大小为：22FrL 在稳态流动下，推动力和阻力大小相等，即在稳态流动下，推动力和阻力大小相等，即F1 F2，所以有所以有21ppp 令令带入（带入（33）式得，）式得，2122()pprrL（33）2prL （34）在壁面处，在壁面处，r=d/2，带式（，带式（34）得壁面处的剪应力）得壁面处的剪应力4wpdL （35）上式两侧同乘以剪应力上式两侧同乘以剪应力w的作用面积，即管内表面积的作用面积，即管内表面积A，得流体流，得流体流动的摩擦阻

10、力动的摩擦阻力其中，其中，A=d L。理论分析及大量的实验研究表明，对于管内流动，流体产生的理论分析及大量的实验研究表明，对于管内流动，流体产生的摩擦阻力与流体的动能因子及流体与壁面的接触面积成正比，摩擦阻力与流体的动能因子及流体与壁面的接触面积成正比，即即其中，其中，um流体的平均流速流体的平均流速 A 流体与壁面的接触面积流体与壁面的接触面积 f 比例系数，称为范宁摩擦系数比例系数，称为范宁摩擦系数4dwp dFAL （36）22mdwuFfA（37a）或或22mwuf （37b）流体在封闭的管道中流动时，流动阻力可以通过沿程压力损失表流体在封闭的管道中流动时，流动阻力可以通过沿程压力损失

11、表现出来，研究发现压力损失与管道的长径比和流体的动能成正比，现出来，研究发现压力损失与管道的长径比和流体的动能成正比，可表示为可表示为将上（将上（39）式与（）式与（35）式带入（）式带入（38）式，得）式，得该式即为范宁摩擦因数该式即为范宁摩擦因数 f 的定义式，的定义式，f 可由动量传递理论推导或由实可由动量传递理论推导或由实方法求得，通过方法求得，通过 f 可以计算流体在管内的流动阻力。可以计算流体在管内的流动阻力。从式（从式（37b）中可以求得范宁摩擦系数）中可以求得范宁摩擦系数（38）22wmfu 22muLpd （39）称为摩擦阻力系数称为摩擦阻力系数CD和和 f 是雷诺数的函数，

12、它是在计算动量传递速率（流动阻力）是雷诺数的函数，它是在计算动量传递速率（流动阻力）时首先要确定的系数。关于时首先要确定的系数。关于CD和和 f 的求法，将在本章及下两章中的求法，将在本章及下两章中详加讨论。详加讨论。14f （310）第第2 2节节 无限大平行平板间的稳态层流无限大平行平板间的稳态层流在工程实际中，经常遇到流体在两平壁间作平行稳态流动的问在工程实际中，经常遇到流体在两平壁间作平行稳态流动的问题，例如板式换热器、平板题，例如板式换热器、平板式式膜分离装置等。这类装置的特点膜分离装置等。这类装置的特点是平壁的宽度远远大于两平壁间的距离，因此可以认为平壁无是平壁的宽度远远大于两平壁

13、间的距离，因此可以认为平壁无限宽，流体在平壁间的流动可视为一维流动。限宽，流体在平壁间的流动可视为一维流动。试求在这种情况下流体在流道截面上的速度分布及流动阻力试求在这种情况下流体在流道截面上的速度分布及流动阻力的问题的问题右图即为流体在平壁间作稳态层流右图即为流体在平壁间作稳态层流横断面上的示意图。设流体不可压横断面上的示意图。设流体不可压缩，且所考察的部位远离流道的进缩，且所考察的部位远离流道的进出口（即不需要考虑端效应的影出口（即不需要考虑端效应的影响），流道在宽度方向上响），流道在宽度方向上（z方向）方向）上为无限宽，流道的高度为上为无限宽，流道的高度为2b。坐。坐标系选用直角坐标。标

14、系选用直角坐标。2boyxuxux2.1 数学模型的建立数学模型的建立上一章给出了稳态流动下不可压缩流体的连续性方程上一章给出了稳态流动下不可压缩流体的连续性方程u0yzxuuuxyz 由于流体在两平行平板间的流动属不具有自由表面的流动，由于流体在两平行平板间的流动属不具有自由表面的流动，故选用动压力梯度表示的运动方程更为简便，在直角坐标系故选用动压力梯度表示的运动方程更为简便，在直角坐标系中，以动压力表示的不可压缩流体的运动方程为中，以动压力表示的不可压缩流体的运动方程为 x方向方向 222222yyyyyyydxyzuuuuuuupuuutxyzxyzy 222222zzzzzzzdxyz

15、uuuuuuupuuutxyzxyzz 222222xxxxxxxdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzx y方向方向 z方向方向 2.2 微分方程的化简微分方程的化简(1)连续性方程的化简：连续性方程的化简：由于流动仅为由于流动仅为x方向上的一维流动，故方向上的一维流动，故 uy=uz=0。所以连续性方程。所以连续性方程0yzxuuuxyz 可简化为可简化为0 xux 22100():xxuuxx 30():yzuu (2)x方向运动方程的化简：方向运动方程的化简：20():(xut 稳稳态态流流动动）222222xxxxxxxdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzx x方向运方

16、向运动方程动方程简化条件简化条件由于由于z方向上为无限宽，故可以忽略任何物理量沿着方向上为无限宽，故可以忽略任何物理量沿着z方向的变化，方向的变化，所以有所以有22(4):0;(5):0 xxuuzz 将上述简化条件代入将上述简化条件代入x方向运动方程，方向运动方程，化简后，可得化简后，可得22dxpuxy 0 xux 又又由由于于0 xuz xuxzy所所以以与与 和和 均均无无关关，仅仅仅仅是是 的的函函数数22xuy 所所以以可以写作可以写作22ddxuy所以所以x方向运动方程最终可化简为：方向运动方程最终可化简为：22dddxpuxy (3)y方向运动方程的化简：方向运动方程的化简：2

17、22222yyyyyyydxyzuuuuuuupuuutxyzxyzy 将简化条件将简化条件 uy=0 代入代入y方向上的运动方程方向上的运动方程可得，可得，0dpy (4)z方向运动方程的化简：方向运动方程的化简：222222zzzzzzzdxyzuuuuuuupuuutxyzxyzz 可得，可得，0dpz 同理，将简化条件同理，将简化条件 uz=0 代入代入z方向上的运动方程方向上的运动方程由此可见，由此可见，pd 与与y和和 z 无关，也仅仅是无关，也仅仅是 x 的函数的函数dpx 所所以以可以写作可以写作dddpx这样连续性方程和三个方向上的运动方程最终可化简为：这样连续性方程和三个方

18、向上的运动方程最终可化简为：221 dddddxpuxy 2.1.3 微分方程的分析微分方程的分析由上述分析可知由上述分析可知pd仅仅为仅仅为x的函数，而的函数，而ux仅仅为仅仅为y的函数，因而的函数，因而pd对对x求导只能是一个关于求导只能是一个关于x的函数，或者是一个常数；同样的函数，或者是一个常数；同样ux对对y求导只能是一个关于求导只能是一个关于y的函数或者是一个常数的函数或者是一个常数。而。而x、y又是又是两个独立变量。故欲使该方程（两个独立变量。故欲使该方程（3-6）成立，方程两侧只能同时）成立，方程两侧只能同时等于一个等于一个与与x和和y都无关的常数都无关的常数C，即：，即：（3

19、-6）2.1.4 微分方程的求解微分方程的求解上述微分方程为二阶线性常微分方程。方程的边界条件为上述微分方程为二阶线性常微分方程。方程的边界条件为d0 0dxuyy，（中中心心对对称称）222()xCuyb0()xybu ，壁壁面面不不滑滑脱脱221 dddddxpuCxy 对式对式(3-7）连续两次积分，并将边界条件代入得：）连续两次积分，并将边界条件代入得：（3-7）（3-7a）（3-7b）式中的常数式中的常数C可以通过平均流速可以通过平均流速um来求得。来求得。根据平均流速的定义根据平均流速的定义 1dsmAVuu AAA 在流动方向上，取单位宽度，则流道的截面积为在流动方向上，取单位宽

20、度，则流道的截面积为 21Ab 则通过该截面的体积流率为则通过该截面的体积流率为 1(d)bsxbVuy 23mCub 32202223()dbCbybyC 2smmVu Aub 所以流体在两静止平板间作一维稳态层流时的速度分布方程为所以流体在两静止平板间作一维稳态层流时的速度分布方程为2312xmyuub 由上式可知，当由上式可知，当y=0时，即在两平壁中心处，速度最大，最大时，即在两平壁中心处，速度最大，最大流速为流速为 32maxmuu 所以平板间流体流动的速度分布方程还可以写作所以平板间流体流动的速度分布方程还可以写作21maxxyuub 由常数由常数C的值还可以求得流动方向上的压力梯

21、度，即的值还可以求得流动方向上的压力梯度，即23ddfdmppuLxb 23dddmpuxb 213dddmpCuxb 解得：解得：由上式可知，当流体作稳态流动且流体粘度不变时，动压力由上式可知，当流体作稳态流动且流体粘度不变时，动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，因此有梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，因此有 2.1.5 速度分布方程的应用速度分布方程的应用求流动阻力及阻力系数求流动阻力及阻力系数226wmmfuu b 3mwub ddxwy buy 由牛顿粘性定律可得，平板壁面处的剪应力为由牛顿粘性定律可得，平板壁面处的剪应力为将速度分布方程代入得：将速度分布方程代

22、入得：根据摩擦阻力系数定义有根据摩擦阻力系数定义有 需要注意的是，上述关于平壁间一维流动的运动公式仅适用于需要注意的是，上述关于平壁间一维流动的运动公式仅适用于流体在流道中作层流流动，当流体在流道中作湍流流动时，上流体在流道中作层流流动，当流体在流道中作湍流流动时，上述关系式不成立述关系式不成立62mwuFABLb 流动阻力为流动阻力为 BL流道的宽度流道的长度Re 4000，湍流。，湍流。另外注意在计算另外注意在计算Re时，时，d 应该用当量直径。应该用当量直径。什么是当量直径？什么是当量直径？当流道的宽度当流道的宽度B远远大于流道的高度远远大于流道的高度2b时，平壁间的当量直径时，平壁间的

23、当量直径为为42424()eBbdbBb 将当量直径将当量直径de与与b的关系代入平板间流动阻力系数的计算式有：的关系代入平板间流动阻力系数的计算式有：62424Remmefu bu d 例例3.110的水以的水以4m3/h的流率流过一宽的流率流过一宽1m、高、高0.1m的矩形水平管道。假定的矩形水平管道。假定流动为已经充分发展的一维流动，试求截面上的速度分布及通过单位流动为已经充分发展的一维流动，试求截面上的速度分布及通过单位长度管道的压力降。已知时，水的粘度为长度管道的压力降。已知时，水的粘度为1.30710-3Pas解：（解：（1）题意分析）题意分析 首先，由于该水平管道的宽度（首先，由

24、于该水平管道的宽度（1m）比管道的高度（）比管道的高度（0.1m）大的多，）大的多，所以可以视为流体在无限大的两平壁之间流动。所以可以视为流体在无限大的两平壁之间流动。其次需要判断一下流型，是属于层流还是属于湍流。这时就需要计其次需要判断一下流型，是属于层流还是属于湍流。这时就需要计算当量直径和平均流速。算当量直径和平均流速。4 1 0.10.1822(10.1)edm 当量直径当量直径平均流速平均流速4/36000.0111/1 0.1mum s 雷诺数雷诺数30.182 0.0111 1000154620001.307 10emd uRe 22max223112xmyyuuubb所以速度分

25、布可以用下面的公式来计算所以速度分布可以用下面的公式来计算22230.011116.66(0.0025)2(0.05)yy单位长度管道的压力降可以用式（单位长度管道的压力降可以用式（317）来计算）来计算3222d33 1.307 100.0111/0.0174/()d(0.05)dmpup LNmmxb 作业：作业：P72:3-1第第3节节 圆管内的稳态层流圆管内的稳态层流 流体在圆管内的流动是工业过程中最为常见的一种流动形式。流体在圆管内的流动是工业过程中最为常见的一种流动形式。本节主要研究流体在圆管内流动时的速度分布和流动阻力。本节主要研究流体在圆管内流动时的速度分布和流动阻力。现考察粘

26、性不可压缩流体在水平圆管内的稳态层流，并设所现考察粘性不可压缩流体在水平圆管内的稳态层流，并设所考察的部位远离管路进出口。流动方向为轴向一维流动。考察的部位远离管路进出口。流动方向为轴向一维流动。3.1 数学模型的建立数学模型的建立由于管内流动属于轴对称流动，故采用柱坐标系下的运动方由于管内流动属于轴对称流动，故采用柱坐标系下的运动方程较为方便。程较为方便。如图所示，已知流体在直径为如图所示，已知流体在直径为d(半径为半径为ri)的圆管中流动，的圆管中流动，流动流动方向为方向为z方向，圆周方向为方向，圆周方向为。对于封闭管道内的流动，属于无自由表面的情况，所以对于封闭管道内的流动，属于无自由表

27、面的情况，所以采用以动压力表示的运动方程较为方便。采用以动压力表示的运动方程较为方便。在柱坐标系中，不可压缩流体稳态流动的连续性方程为在柱坐标系中，不可压缩流体稳态流动的连续性方程为 1()10zruururrrz 在柱坐标系中，以动压力表示的运动方程为在柱坐标系中，以动压力表示的运动方程为 r方向方向2222222()112()rrrrrzdrrruuuuuuuutrrrzpuuururr r rrrz 方向方向z方向方向222222()1112()rrzdruuuuu uuuutrrrzpuuururr r rrrz 22222()11()zzzzrzdzzzuuuuuuutrrzpuuu

28、rzr rrrz 3.2 微分方程的化简微分方程的化简(1)连续性方程的化简连续性方程的化简连续性方程连续性方程1()10zruururrrz 可得可得 0zuz (2)r方向运动方程的化简方向运动方程的化简将简化条件将简化条件ur=u=0代入代入r方向上的运动方程方向上的运动方程2222222()112()rrrrrzdrrruuuuuuuutrrrzpuuururr r rrrz 0dpr 得：得：由于管内流动为沿方向的一维流动，所以由于管内流动为沿方向的一维流动，所以ur=u=0(3)方向运动方程的化简方向运动方程的化简同理，将同理，将ur=u=0代入代入方向上的运动方程方向上的运动方程

29、由此可见，动压力由此可见，动压力pd与与r和和无关无关222222()1112()rrzdruuuuu uuuutrrrzpuuururr r rrrz 0dp 得：得：(4)z方向运动方程的化简方向运动方程的化简(1)0()zut 稳态流动22(2):0;(3):0()zzuu轴对称流动22(4):0;(5):0()zzuuzzz方向为无限宽22222()11()zzzzrzdzzzuuuuuuutrrzpuuurzr rrrz(5):ur=u=0(一维流动一维流动)z方向运方向运动方程动方程将简化条件代入将简化条件代入z方向上的运方向上的运动方程后可得：动方程后可得：1zduprzrrr

30、简化条件简化条件由于动压力由于动压力pd与与r和和无关，只是无关，只是z的函数，因此的函数，因此ddddppzz 0zu 0zuz 同时由于同时由于 ，所以所以uz也仅仅是也仅仅是r的函数的函数 ddzzuurr 1zduprzrrr 因此，偏微分方程因此，偏微分方程可化为常微分方程可化为常微分方程1ddddddzduprzrrr （3-21）3.3 简化后的微分方程的分析简化后的微分方程的分析 方程（方程（3-21）为二阶线性偏微分方程，方程左侧为）为二阶线性偏微分方程，方程左侧为pd对对z求导求导,由于由于pd仅仅为仅仅为z的函数，因此的函数，因此pd对对z求导只能是一个关于求导只能是一个

31、关于z的函的函数，或者是一个常数；同理，方程右侧数，或者是一个常数；同理，方程右侧uz对对r求导结果只能是求导结果只能是一个关于一个关于r的函数，或者是一个常数；而的函数，或者是一个常数；而z和和r又是两个相互独又是两个相互独立的自变量，故该式两侧只有同等于某一常数立的自变量，故该式两侧只有同等于某一常数C时方程才能时方程才能成立。所以可将上式进一步写为成立。所以可将上式进一步写为 dd1 ddddzduprCzrrr 该方程的边界条件为该方程的边界条件为d0 0()durr ，中中心心对对称称0irru ，（壁壁面面不不滑滑脱脱）（3-24）（3-24a）（3-24b）3.4 微分方程的求解

32、微分方程的求解212ln4CurCrC 212=04iCCCr ，22()4iCurr 对式对式(3-24)两侧积分可得方程的通解两侧积分可得方程的通解:由边界条件式由边界条件式(3-24a)和和(3-24b)求得积分常数求得积分常数 由此可得速度分布式为由此可得速度分布式为 式中的常数式中的常数C可以管内平均流速可以管内平均流速um求得。求得。(3-26)1dsmAVuu AAA 022dirmur rur 222022()d48iriimCrrr rruCr 28miuCr 根据平均流速的定义式根据平均流速的定义式 可得：可得：将将速度分布方程速度分布方程(3-26)式式代入并积分得代入并

33、积分得 由此解得由此解得 于是，用管内平均流速于是，用管内平均流速um表示的速度分布方程为表示的速度分布方程为 maxm2uu 2max1iruur当当r=0时时(管中心处管中心处)，流速取得最大值，最大流速为，流速取得最大值，最大流速为 如果用最大流速来表示管内的速度分布，则有如果用最大流速来表示管内的速度分布，则有 此式称为哈根此式称为哈根-泊肃叶泊肃叶(Hagen-poiseuille)公式公式 2m21iruur(3-29)2d8dfdmippuCzLr 流动方向上单位管长的压力损失：流动方向上单位管长的压力损失：3.4 速度分布方程的应用速度分布方程的应用求流动阻力和阻力系数求流动阻

34、力和阻力系数流体在圆管中作稳态层流时，壁面处的摩擦剪应力可由流体在圆管中作稳态层流时，壁面处的摩擦剪应力可由牛顿粘性定律求得：牛顿粘性定律求得：m4ddiwr riuurr 流体在圆管中的流动阻力：流体在圆管中的流动阻力：mm428wiiuFAr Lu Lr 1、流动阻力：、流动阻力：644 fRe 2281616wmimmfuruduRe 由范宁摩擦系数的定义式得：由范宁摩擦系数的定义式得：摩擦阻力系数摩擦阻力系数为为 2、阻力系数：、阻力系数：作业：作业：P73:2第第4节节 套管内的稳态层流套管内的稳态层流4.1 套管环隙间的轴向稳态层流套管环隙间的轴向稳态层流 在热交换器中经常遇到流体

35、在套管环隙中的轴向稳态流动。在热交换器中经常遇到流体在套管环隙中的轴向稳态流动。1r2rzumaxru由于流动是轴对称的，故采用柱坐标系求解运动方程比较由于流动是轴对称的，故采用柱坐标系求解运动方程比较方便。方便。在这种情况下，方程的形式和简化条件与流体在圆管内在这种情况下，方程的形式和简化条件与流体在圆管内稳态层流的情况是完全一致的，因此化简的后形式也是一稳态层流的情况是完全一致的，因此化简的后形式也是一样的。即仍满足样的。即仍满足 4.1.1 数学模型的建立与求解数学模型的建立与求解 只不过边界条件发生了变化，这时的边界条件变为只不过边界条件发生了变化，这时的边界条件变为10rru，20r

36、ru，2222112121ln(/)()()4ln(/)Cr rurrrrrr(3-36a）(3-36b）对对(3-24)式式连续两次积分，并将边界条件代入得连续两次积分，并将边界条件代入得 21222111d2d()rmrAuu Aur rArr 式中的常数式中的常数C可由平均流速求得，根据平均流速的定义式可得可由平均流速求得，根据平均流速的定义式可得 将速度分布方程代入并积分，得将速度分布方程代入并积分，得d1 ddddddpurCzrrr（3-24）22222121218lnmCrrurrr r 于是，不可压缩流体在套管环隙间作轴向稳态层流时的速于是，不可压缩流体在套管环隙间作轴向稳态层

37、流时的速度分布方程为：度分布方程为：22222121218ddlnmdupCrrzrrr r 由此解得：由此解得：222211212222212121212ln(/)()()ln(/)lnmur rurrrrrrrrrrr r 4.2.2 速度分布方程的应用速度分布方程的应用 2221max212lnrrrrr r（1）求套管环隙间的最大流速）求套管环隙间的最大流速套管环隙间的最大流速可以根据速度分布方程，以套管环隙间的最大流速可以根据速度分布方程，以u对对r求导求导得到：得到：22212222212121212()d120dln(/)lnmurrurrrrrrrrrr r 令令解得：解得：将

38、其代回速度分布方程得：将其代回速度分布方程得：2222max1maxmax12122221max212ln(/)()()2ln(/)murrurrrrrrrrr （2）求套管环隙间的沿程压力降）求套管环隙间的沿程压力降 22222121218ddlnmdupCrrzrrr r Q由此可见，沿流动方向动压力梯度为一常数，即动压力沿流动由此可见，沿流动方向动压力梯度为一常数，即动压力沿流动方向呈线性变化，而静压力不变。于是单位管长的压力降就可方向呈线性变化，而静压力不变。于是单位管长的压力降就可以表示为以表示为 22221maxd8d2fdmppuLzrrr （3）求流体在套管中的流动阻力）求流体

39、在套管中的流动阻力由牛顿粘性定律由牛顿粘性定律1,1ddwr rur dduy 得内管外壁处的剪应力得内管外壁处的剪应力此处取此处取“+”是因为在内管外壁面处，速度梯度与是因为在内管外壁面处，速度梯度与r方向相方向相同同将套管环隙速度分布方程代入得：将套管环隙速度分布方程代入得：221max,111 d2 dwrrpzr 内管外壁对流体流动产生的阻力内管外壁对流体流动产生的阻力221max1,11,11111 d2 dwwrrpFAd Ld Lzr 将套管环隙速度分布方程代入得：将套管环隙速度分布方程代入得：222max,221 d2 dwrrpzr 222max2,22,22221 d2 d

40、wwrrpFAd Ld Lzr 外管内壁对流体流动产生的阻力外管内壁对流体流动产生的阻力2,2ddwr rur 外管内壁处的剪应力外管内壁处的剪应力此处取此处取“-”是因为在外管内壁处，速度梯度与是因为在外管内壁处，速度梯度与r方向相反方向相反4.2 套管环隙间的周向稳态层流套管环隙间的周向稳态层流流体在两个转动的长同心圆筒环隙间的周向流动流体在两个转动的长同心圆筒环隙间的周向流动(方向方向)也是也是一种常见的流体流动形式。用于测量粘度的旋转粘度计就是一种常见的流体流动形式。用于测量粘度的旋转粘度计就是根据此原理制成的。根据此原理制成的。如图所示，同轴双层圆筒间充满不如图所示，同轴双层圆筒间充

41、满不可压缩的牛顿型流体，内筒的外半可压缩的牛顿型流体，内筒的外半径为径为r1，外筒的内半径为，外筒的内半径为r2，当内筒，当内筒以角速度以角速度1旋转、外筒以角速度旋转、外筒以角速度2旋转时，将带动环隙内流体按切线旋转时，将带动环隙内流体按切线方向作稳定的层流流动，假设圆筒方向作稳定的层流流动，假设圆筒足够长，端效应可以忽略，求流体足够长，端效应可以忽略，求流体在两圆筒之间的速度分布及壁面上在两圆筒之间的速度分布及壁面上的粘性摩擦力。的粘性摩擦力。()110zruururrrz 0rzuu4.2.1 数学模型的建立与化简数学模型的建立与化简 由于是轴对称流动，因此同样取柱坐标系研究比较方便由于

42、是轴对称流动，因此同样取柱坐标系研究比较方便,，取取r为半径方向，为半径方向，z为轴向，为轴向，为周向。为周向。(1)连续性方程的建立与化简连续性方程的建立与化简柱坐标下的连续性方程为柱坐标下的连续性方程为 由于流体仅沿由于流体仅沿方向流动，方向流动，所以所以因此，连续性方程可以化为：因此，连续性方程可以化为：0u 21duprr (2)r方向运动方程的建立与化简方向运动方程的建立与化简r方向运方向运动方程动方程2222222()112()rrrrrzdrrruuuuuuuutrrrzpuuururr r rrrz 可以化简为可以化简为简化条件简化条件(1)0()rut 稳态流动(2):0ru

43、 （轴对称流动）22(4):0;0()rruuzz不考虑端效应影响(3)0()u 连续性方程简化的结果(5)0rzuu（一维流动）同理，同理，方向和方向和z方向上的运动方程可分别简化为方向上的运动方程可分别简化为()10rurrr 方向方向z方向方向10dpz 4.2.2 微分方程的求解微分方程的求解 0u 0uz 由于由于所以所以u仅仅是仅仅是r 的函数的函数故故方向化简后的运动方程可以写作常微分方程的形式方向化简后的运动方程可以写作常微分方程的形式d()d10ddrurrr (3-47)11 1rrur ，21CuC rr 2222122 21 12122211()()r rurrrrrr

44、 22222 21 112121222222121()rrr rC Crrrr，方程的边界条件为方程的边界条件为22 2rrur ，对常微分方程对常微分方程(3-47)连续两次积分得：连续两次积分得：将边界条件带入得将边界条件带入得于是，流体在两圆筒间的速度分布方程为于是，流体在两圆筒间的速度分布方程为(3-50)4.2.3 速度分布方程的应用速度分布方程的应用计算流动阻力及测量粘度计算流动阻力及测量粘度根据第根据第3章的结论，柱坐标系下章的结论，柱坐标系下方向上的剪应力与形方向上的剪应力与形变速率的关系为变速率的关系为 1rruurrrr rurrr 22211222221()2()rr r

45、rrr 由于由于ur=0，故上式可简化为，故上式可简化为将速度分布方程代入上式，化简可得将速度分布方程代入上式，化简可得12,0 如果外筒固定不动，内筒以角速度如果外筒固定不动，内筒以角速度 转动转动(即即。此时，作用于内筒外壁上的剪应力为。此时，作用于内筒外壁上的剪应力为 12222212()rr rrrr 若圆筒的长度为若圆筒的长度为L，则可以得到作用于内筒外壁上的摩擦力为，则可以得到作用于内筒外壁上的摩擦力为 121 21222142()rr rrrFr Lrr 内筒绕轴旋转的总摩擦力矩为内筒绕轴旋转的总摩擦力矩为 2212122214r rMFrLrr由此可得粘度的表达式由此可得粘度的

46、表达式 222122124M rrL r r 上式即为利用转筒粘度计测量流体粘度的计算公式，测量时由于上式即为利用转筒粘度计测量流体粘度的计算公式，测量时由于粘度计的粘度计的L,r1,r2等参数都是固定的，因此从粘度计指针偏转角等参数都是固定的，因此从粘度计指针偏转角度（与扭矩成正比）就可以直接读出粘度的数值。度（与扭矩成正比）就可以直接读出粘度的数值。第第5节节 降膜流动降膜流动5.1 降膜流动降膜流动?固体表面yxo液膜xu自由表面如右图所示，不可压缩流体沿倾角为如右图所示，不可压缩流体沿倾角为的的平板表面作降膜流动。平板表面作降膜流动。取流动方向为取流动方向为x方向，以壁面的外法线方向，

47、以壁面的外法线方向作为方向作为y方向，以液膜宽度方向作为方向，以液膜宽度方向作为z方方向，坐标原点取在壁面上，建立起直角向，坐标原点取在壁面上，建立起直角坐标系。坐标系。在自身重力的作用下，液体在倾斜或垂直的壁面上呈膜状在自身重力的作用下，液体在倾斜或垂直的壁面上呈膜状下流。此时液膜的一侧紧贴壁面，另一侧则为自由表面，与气下流。此时液膜的一侧紧贴壁面，另一侧则为自由表面，与气体接触。体接触。本节主要讨论液膜内流体处于稳态层流时液膜内的速度分布和本节主要讨论液膜内流体处于稳态层流时液膜内的速度分布和流动阻力问题。流动阻力问题。5.2 降膜流动数学模型的建立：降膜流动数学模型的建立：x方向方向 2

48、22222()yyyyyyyxyzuuuuuuupuuuYtxyzyxyz 222222()zzzzzzzxyzuuuuuuupuuuZtxyzzxyz 222222()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXtxyzxxyz y方向方向 z方向方向 在直角坐标系下，以全压力梯度表示的不可压缩流体运动方程为在直角坐标系下，以全压力梯度表示的不可压缩流体运动方程为连续性方程连续性方程u0yzxuuuxyz 由于降膜流动具有自由表面，因此运动方程应采用以全压力梯由于降膜流动具有自由表面，因此运动方程应采用以全压力梯度表示的微分方程。度表示的微分方程。5.3 运动方程的简化：运动方程的简化：5.

49、3.1 连续性方程的简化：连续性方程的简化：连续性方程连续性方程u0yzxuuuxyz uy=uz=0（一维流动）一维流动）0 xux 得：得：5.3.2 运动方程的简化：运动方程的简化：x方向方向 222222()xxxxxxxxyzuuuuuuupuuuXtxyzxxyz sinXg 22(2)00uuzz ：；（平板无限宽）(1):0ut （稳态流动）cosYg 0Z (3):uy=uz=0（一维流动）一维流动）简化条件：简化条件：将上述简化条件代入后，将上述简化条件代入后，x方向方向运动方程可简化为：运动方程可简化为：22sinxupgxy 22(4):00 xxuuxxcospgy

50、0pz 同理，同理，y方向和方向和z方向的运动方程简化后的形式分别为方向的运动方程简化后的形式分别为 00,xxuuxz，由由于于所以所以ux仅仅是仅仅是y的函数的函数因此因此x方向的运动方程可以写作方向的运动方程可以写作 22sinddxupgxy (3-57)cos()pgyF x d()dpF xxx 22dd()sinddxuF xgxycospgy 对对y方向的运动方程方向的运动方程 积分，得：积分，得：上式对上式对x微分，得：微分，得：代入代入(3-57）式，可得：）式，可得：上式左边是一个关于上式左边是一个关于x的函数，上式右边是一个关于的函数，上式右边是一个关于y的函数，的函数