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类型二章节群基本知识课件.ppt

  • 上传人(卖家):晟晟文业
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    关 键  词:
    章节 基本知识 课件
    资源描述:

    1、 第二章第二章 群的基本知识群的基本知识群论是研究系统对称性的数学工具。aABCD定义:定义:在元素集合G(A,B,C,)中,定义一种结合法则(群乘)(combination,composition),满足:(1)封闭性:AG,BG,则ABG(2)结合律:A,B,CG,则(AB)C=A(BC)(3)集合中有单位元素EG,使得对于任何AG,恒有EA=A(4)对于任何的AG,均存在逆元A-1G,使得A-1A=E 2.1 群的概念群的概念2.1.1 群的定义群的定义例如:例如:构成一个群 ii,1,1可以证明:AE=A;AA-1=E证明:1)(若EA=A,必有AE=A)若 ,BAAEABAEA111

    2、AAABAAAABAEGA1111111111EBEABA证明:2)左逆=右逆,假定:设 EAA1BAAAABAAA11111BAAAABAAGA1111111111BEBE证明:3),且 AA11EAA1EAA111111111AAAAAAA证明:4)群中的单位元素是唯一的。假定有两个单位元E1 和E2,由 ,得 or 1221EEEE21EE 21111EAAEAAEA证明:5)(逆元)且 (单位元)EE1EEEEE1111 EEE1 EE111)(ABAB111111111111)()()()()()()(ABABABABABBAABAEAABEABAB证明:6)试讨论以下集合是否构成群

    3、:1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模(绝对值)为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘 nn2.1.2 群的种类群的种类定义:定义:有限群中元素的数目称为群的阶(order)有限群(finite group),群元个数有限离散群(discrete group)可数连续群(continuous group)不可数群 无限群(infinite group),群元个数无限多定义:定义:若群元素之间的结合满足交换律:,则该群称为Abel群,或对易群(commutation Group)。BAAB 1重排定理(重排定理(

    4、rearrangement theorem)(它对无限群不成立)设群 的阶为h.若 ,则(Ai为G中任意元素)2.1.3 有限群的性质有限群的性质 hkAAAAG,21GAiGAAAAAAAAGAhikiiii,21GAAAAAAAAGAihikiii,21即:AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素,而共有h个群元,不能超过G的元素,则AiG就是G。证明:(1)必出现 (2)x不能出现两次 若 ,得:GxAAririikiiArikiAAAAAAAAAAi111rkAA GxAAkiGxAAkiGAGAki,GxAAki例:例:群 符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群,所得到的

    5、仍然为原来的群,只是次序有变。ii,1,1r为满足此式的最小整数2群元素的级群元素的级 有限群G,AG 由于有限,必有 ,即 ,r称为该元素的级 级和阶是两个概念,但有时值可相等,如 中 就是如此 132,rrmAAAAAAAAAAr1AAArEArii,1,1ii,定义:若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到(不一定要求每一个元素,只要找到一个便可),则该群称为循环群(cyclic group)。Ai 该群的生成元定义:由群G的一个最小的群元的集合(如Ai,Aj,)及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元生成元(generator)。群乘关系称作生成关

    6、系生成关系。2.1.4 群的乘法表群的乘法表AEBCCEACBBBCEAACBAEECBAEGiiCiiiBiiiAiiECBAEGii111111111111 约定:表中元素是竖元素乘横元素,即 DCDCG(右因子)(左因子)例:例:矩阵组,21232321,1001,1001BAE21232321,21232321,21232321FDC按矩阵乘法构成一个群其乘法表为:DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG6 DBA21232321212323211001EFD10012123232121232321DEACBFFEFBACDDB

    7、AEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG62.1.5 群的实例群的实例 1)一阶群:)一阶群:E,满足 ,单位元素EE12)二阶群:)二阶群:,如 所有二阶群的构造均一样 如宇称变换;全同粒子交换(费米)生成元:A;A,A2AE,AA1EAAAEEAEV2111111112V3)三阶群:)三阶群:BAE,一阶、二阶、三阶群均是一阶、二阶、三阶群均是Abel群,也是循环群。群,也是循环群。AEBBEBAABAEEBAEG三阶群唯一可能的乘法表为:生成元:A;A,A2,A3 B;B,B2,B3 唯一可能 A2=B;同理 B2=A A2=A?不行,否则 A=E 又 A2=

    8、E?不行,否则 A=A-1=B 唯一可能 AB=E ,即 A=B-1,B=A-1(互逆)AB=B?也不行,否则 A=E讨论:AB=A?不行,否则 B=E 是一个两阶群了。例:的三个根 1,组成三阶群(一般乘法)013x231i例;对称操作 (即绕一固定轴转 )也构成三阶群3C2,34,324)四阶群)四阶群:CBAE,Abel群群 (四阶循环群)四阶循环群)4C生成元:A;A,A2,A3,A4 C;C,C2,C3,C4BAECCAECBBECBAACBAEECBAEC4)A,B,C中,一个自逆B,另两个互逆A,C。乘法表示:23,2,2,绕某固定轴转 iiCCCE,1,1,34244CCBBA

    9、A111,)A,B,C均为自逆,(注意,不可能有两个自逆)乘法表为:Klein四阶群 EABCCAECBBBCEAACBAEECBAEV证明:(若 或 ,则 或 )同理 V Abel群(四阶反演群)群(四阶反演群)ECBA222CABBAAAB BAB EA EB ACBBCBCAAC,生成元:A,B;A,A2,B,AB 5)转动群:)转动群:所有旋转轴相交于一点的全部连续转动,构成 连续群 3RnnP321321nS,21,211nPnnnPE21210原来的位置新位置6)置换群()置换群(permutation group)意为:1换成1,2换成2,n换成n :n个物体所有这种可能置换的集

    10、合称为置换群 这种群对基本粒子的交换对称性有用。例:共 3!个群元素 3S123321,312321,321321BAE132321,213321,231321FDCDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3 注意:置换是先进行右边的置换,再进行左边置换,即从右到左。ACD312321213321231321DAB213321123321312321DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3例如:置换不满足交换律,是非Abel群坐标系上取固定的三点A,B和C,变换前正三角形三顶点

    11、A1,B1和C1分别与A,B和C重合。经变换,A1,B1和C1 的位置发生变化,但总是分别和 A,B和C 中的某一点重合。7)正三角形对称群)正三角形对称群 共有六个元素:恒等变换E,绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F,三角形分别对三条中线的反射变换A,B,C。3CyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BC3v的乘法表和S3一样 例如:等 可以证明:C3v是非Abel群FACDAB,yxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3i,1 8)四元数群()四元数群

    12、(guatermon)8阶群阶群 对复数:,有两个单位 ,二元素。定义四元素:且规定:bia dkcjbiaqjikkiikjjkkjiijkji,111,11222222.2 子群(子群(subgroup),陪集(),陪集(coset),),共厄元素(共厄元素(conjugate)和类()和类(class)2.2.1 子群子群定义:定义:若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群,子群。任何群的单位元素构成子群 G的全体也构成G的子群 非真子群(平庸子群)真子群的条件真子群的条件:1 存在单位元 2 任意元素的逆元素也在这一子集内 3 任意两元素的乘积也在这一子集内例:C3v群中,中

    13、 构成真子群。323323,CCCCE323,CCE沿A轴反演顺时针赚120,E3,CE23,CEyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(B例:实数(加法),单位元为:0 有理数(加法),单位元为:0 子群 整数(加法),单位元为:0 子群 子群链 偶数(加法),单位元为:0 子群 偶整有实2.2.2 陪集陪集 定义:定义:群中G有一个子群gH1,H2,Hh,有一群元xG,集合xg=xH1,xH2,xHh称为g的左陪集(left coset),gx=H1x,H2x,Hhx称为的右陪集(right coset).注:注:如果 xg,则 xg=gx=g为子群本身。陪集可能是G的一个子群,

    14、也可能不够成群。gx例:C3v群中,子群E,D,F只有一个陪集A,B,C 子群E,A对的右陪集为B,D,左陪集为B,F 对C的右陪集为C,F,左陪集为C,DyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3定理定理:(1)子群g的两个左(右)陪集,或者包含相同的一组元素,或者没有共同元素。证:假如:,则有(作 ),即 hixHxHxHxHxg,21hiyHyHyHyHyg,21jiyHxH 11jHx1111jjjiHyHxHxHxyxHHji11gHHji1gyx1gygx1xgyg(2)

    15、若x不是g的一个元,那么gx(xg)不是一个群。(3)G中的每一个元必然落在子群或某一个左(右)陪集中。(4)若子群g的阶为h,G的阶为H,则每一个左(右)陪集包含h个不同的元,即在集合gx(xg)的h个元中,没有相同的元存在。(5)若y是gx(xg)的元,那么,gy(yg)与 gx(xg)是相同的。Lagrange定理:定理:子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。证:若g遍举群G的全部元素,则h=H,故H/h=1;若不能遍举,作A1g,且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素,则H/h=2。若不能,作A2g,且它与g,A1g无共同元素,若g+A1g+A2g能遍举G,则H/

    16、h=3。因为是有限群,总有G=g+A1g+A2g+Al-1g H/h=i (i为子群的指数)例:例:证明:若群的阶为素数,则该群必为循环群。证明:设群的阶为h,若某元素A:Ar=E,若 rh,则 h/r=整数,但h为素数,故必有r=h。注意:陪集并不构成群。注意:陪集并不构成群。2.2.3 共厄元素和类共厄元素和类 定义:定义:A,B,xG,若xAx-1=B,则称B是A的共轭元素(conjuate)。性质:性质:1)共厄关系是相互的 2)共厄关系具有传递性 A,B,CG,若A,B分别与C共厄,即 则A和B共厄:由 3)任何元素与自身共厄:GyyByxBxBxxA,11111,11yCyBxCx

    17、AAxxCxCxA11 GyxyxAyxxyAyxyAxxyB11111111,AAAAAAEAEA11定义:定义:群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类(class),类中元素的数目称为类的阶。(相似变换的 x()x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的,x要取遍整个G)只要给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。单位元素单独成一类,这是因为xEx-1=E 普遍地,若A1,A2,Ai,Aj,An是一类,对任一xG,xAix-1必定在A1,An内,但它不构成群。任意x例:三点对称群有三个类:1)E自成一类,因为它与所有元素可对易 2)D、F组成一类,因 3)A,B,C组成一类,因为:3

    18、3SC,111FBDBFADADEDEDDDDDFDFFCDC111,111ABCBBACACECEBFCFADCDCCCC111,DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECS33性质:性质:1)单位元素E自成一类 2)Abel群的每个元素自成一类 3)同一类中的所有元素都具有相同的级。(n是A元素的级,若An=E)证:若An=E,则 4)群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除:即 h/l=整数。AAxxxAx11ExExxxAxAxxAxxAxxAxnn111111 5)不同的类中没有共同的元 6)除单位元这一类外,其余各类都不是子群

    19、(因为无单位元)7)对于矩阵群,同一类中的各元互为相似矩阵,因此,同类中各元具有相同的迹。8)若C是群G的一个类,C是C中所有元的逆的集合,那么,C也是群G的一个类,称为C的逆类。定理:若g为G的子群,A为G的任意元素,则AgA-1也是一个子群,称作群g的共轭子群(A 可以g)。证:H1,H2 g,作 ,1)封闭性:2)单位元素:3)逆元:由于g中必有 ,g和AgA-1至少有一个单位元是共同的2.2.4 共轭子群(共轭子群(conjugate subgroup)和正规子群(不变子群:和正规子群(不变子群:nomal divisor)11H111AAHH1122AgAAAHH211211121H

    20、HAAHAAHAHAH1AgA1 AEAE1111111111111AAHAHAAAHH1111 AgAAAHg1AgA例:例:其中,E,B构成子群 ,且:构成子群DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,EAEA1CDAABA11,AgACE指包含有相同的元素定义:g是G的子群,对任意AiG,恒有AigAi-1=g,则g称为G的不变子群或正规子群(即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等)。例:111111111111iiiiiiiiiiiiG 是它的不变子群,这是因为:1,1 1 1 1 1 11 1 111 1 11111ii

    21、ii 11111111111 11111iiii同理例:例:其中,E,D,F构成正规子群 DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3FDEg,gAgADCAAFAFBAADAEAEA111111;阿贝尔群的所有子群都是不变子群。指数为2的子群一定是不变子群。2.2.5 同构(同构(isomorphism)和同态)和同态(homomorphism)定义:定义:若群G和G的所有元素间均按某种规律存在一一对应关系,它们的乘积也按同一规律一一对应,则称两群同构。即:若R,SG;R,SG;RR,SS,必有RSRS,则GG。“”一一对应,“”同构

    22、 对G的所有定理,对G也成立,因此,在群论中,所有同构的群均被看作同一群。例:例:所有二阶群都同构于二阶反演群V2例:例:正三角形对称群C3V和S3有相同乘法表,因此互相同构。例:例:其中,E,B构成子群 ,共轭子群AgA-1为 两者同构DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,1,AgACE子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的定义:定义:如果群G的任一个元素A都唯一地对应于群G的一个元素 A,而群G中的一个元素对应于群G的元素不只一个,并且如果对应于AB=C,就有AB=C,则称G同态于G,记为 GG。即CBACBABBAAB

    23、BAACBAGCCBBAAGkji有且,2211212121例:1111ii11其中 称为同态对应的核core11111111111111111111iiiiiiiiiiiiG GG中与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核。同态定理:同态定理:若GG,分别与G中单位元相对应的G中元素的集合H构成群G不变子群,H称为同态对应的核。证明:(1)若 则 ,即对 ,因此是群G的子群。(2)若 则,AE BEABE EE,A BPABP P有具有封闭性,AP CGCCG而11CCACC E CE对一切 成立这就是说1CPCPCG对一切成立。所以P是G的正规/不变子群。2.2.6 商群(商群(

    24、quotient group)定义:定义:对于集合S(不一定是群)分成集合 若 ,则恒有 ,这种分解称为正则分解(regular resolution),21kjiSSSSSiSAjSBkSABiSjSkSAABBABBA定理:定理:群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。证:定义:定义:将群G按照正规子群g进行正则分解(陪集),所得到的元素集合(即g及其所有陪集)当作元素,则称这样元素的集合为G按g分解所得的商群。ABgABggBgAg正规子群左右陪集相等hHigAgAggGGi,2证明:证明:商群也构成群证:设群G按g划分成商群的元素:1封闭性:2单位元:3逆元:令 ,则 4组合律

    25、:同理:02211,FgEggAFgAFgAFffgAAggAAggAAFFjijijijiiiiiFgAgEgAFF0gAFii110111FggAAFFFFiiiiiigAAAgAAgAggAAgAFFFkjikjikiikjikjikjikjiFFFgAAAFFF例:例:4626366565626466563636462656366636656264646656364626265636646265636646266CCECCCCCECCCCCECCCCCCCCCCECCCCCECCCCCCCCEECCCCCEC111111112C C6群同态于C2,g为 是同态的核,且可以证明:g是一个

    26、正规子群。如果以g来划分G,得两阶商群:且 同构。4626CCE 563664626,CCCCCEG GG绕6次轴:不转和转2为E,转2/6为C6,转2/3为C62,转为C63,转4/3为C64,转5/3为C65。GG映照fC2直积封闭性要求2.3 群的直(接乘)积群的直(接乘)积 EEEba定义:设ga(阶为h)和gb(阶为k)为群G的两个子群,它们之间元素之积可对易,即:aiga,bjgb,有 那么按群G的乘法得到的hk个元素aibj也构成一个群,称为ga和gb的直积群,记为:,ga和gb称为直积因子。证:封闭性:逆元:单位元:显然:并是G的一个子群。kjhiabbaijji,2,1,2,1,bagg bajijjiijijiggbabbaababa ,bajijiggbaba111bagg abbagggg *直积群的不同直积因子(如ai,bi等)的元素是相互对易的,但同一个直积因子中的元素可不对易(如ai,aj等)。*直积因子ga和gb都是直积群 的正规子群 取其共轭元 令 则 gb是 的正规子群 同理,ga也是 的正规子群bagg blgb kkiiikiijljijiljibbaaabaabbbababba11111)()()(xbajibbgxxg1bagg bagg

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