离散时间信号与系统的时域分析课件.ppt

1、第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析1/79第第1 1章离散时间信号与系统的时域分析章离散时间信号与系统的时域分析n1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列n1.21.2序列的卷积和序列的卷积和n1.31.3线性移不变系统线性移不变系统n1.41.4线性常系数差分方程线性常系数差分方程n1.51.5连续信号的抽样连续信号的抽样n1.61.6离散线性相关离散线性相关第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析2/79 本章首先介绍了离散时间信号的基本概念、常用序列和基本运算；其次介绍了序列的卷积和及其求解方法；然后着重讨论了线性

2、移不变系统的特性和差分方程的时域解法；最后介绍了相关函数的基本概念，讨论了相关函数和线性卷积的关系。内容提要内容提要第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析3/791.1离散时间信号序列 时间为离散变量的信号称为离散时间信号，它只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列，常用 表示。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体x(n)。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。这里 既指序列的第 个数，又指整个序列。()x n)(nxn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析4/79 是由一个连续时间信号 的抽样样得到的。若 表示一

3、个连续时间信号，以 采样间隔对其进行周期抽样得到离散时间信号 （取整数）。通常，为常量，所以 就记为 。)(nx)(tx)(txST)(snTxnST)(snTx)(nx第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析5/79 其他表示方法：其他表示方法：数的集合数的集合 的形式的形式 例如：表达式表达式 例如：图形图形 例如：)(nxnnx2)()0,0,1,1,1,1,0,0 x n图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析6/79)(n0,00,1)(nnn

4、1-2-1 0 1 2 nnmnmnmn,0,1)(1-2-1 0 1mmnn1.1.单位抽样序列单位抽样序列 (单位样值)1.1.1常用序列任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和,即即mmnmxnx)()()(第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析7/792.2.单位阶跃序列单位阶跃序列0)2()1()()()()1()()()(mnnnmnnunununun()u n)(nu01231n0,00,1)(nnnu第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析8/793.3.矩形序列矩形序列n

5、NnnRN其他,010,1)()1()1()()()()()()(10NnnnmnnRNnununRNmNN)(nRN()NR n0121N1n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析9/794.4.正弦型序列正弦型序列0()sin()x nAn其中，为数字频率。02ssTfT 数字角频率模拟角频率抽样间隔频率第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析10/795.5.实指数序列实指数序列)(nuan发散时收敛时,1,1aa为实数，当a第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析11/796.6.复指数序列复指

6、数序列0()00()(cossin)ojnjnnnx neeeenjn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析12/797.7.周期序列周期序列 如果存在一个最小的正整数正整数N，满足 则序列 为周期性序列，N为周期。()()x nx nN()x n下图为周期序列示意图第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析13/79讨论一般正弦序列的周期性讨论一般正弦序列的周期性0()sin()x nAn()()()x nNx nx nN要使，即为周期为 的周期序列000()sin()sin()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN则要求，即

7、，为整数，且 的取值保证 是最小的正整数第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析14/7902Nk00sin()sinnNn02Nksin10n3sin25n3sin10n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析15/79讨论：讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔则抽样时间间隔Ts和连续正弦信号的周期和连续正弦信号的周期T0之之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？是周期序列？设连续正弦信号：设连续正弦信号：抽样序列：抽样序列

8、：0()sin()x tAt0000021/2/fTf 00()()sin()sin()st nTsx nx tAnTAn000022sssTTf TT 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析16/79当当 为整数或有理数时，为整数或有理数时，x(n)为周期序列。为周期序列。令：令：，N，k为互为素数的正整数为互为素数的正整数即：即：，N个抽样间隔应等于个抽样间隔应等于k个连续正弦信个连续正弦信号周期号周期002sTT0sTNTk0sNTkT第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析17/793()sin(2)14x nn000321

9、42143NTkT0143()14TTx n当时，为周期为的周期序列例：例：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析18/79 1.1.2 序列的基本运算1.1.移位移位 设某一序列 ，当 为正时，指原序列 逐项依次延时 （右移）位；而 则指 逐项依次超前 （左移）位，当 =1时称为单位延时。这里 为整数。)(nxm)(mnx)(nxm)(mnxmmm)(nx第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析19/791 1(),1()2 20,1nnx nn 2,02,)21(41)1(nnnxn例例1(),0(1)20,0nnx nn第第1

10、 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析20/792.2.反褶反褶(反转反转)若有序列 ，用 置换 中的自变量 ，定义定义 为对为对 的反褶信号的反褶信号，此时 的波形相当于将 的波形以 为轴翻转得到。()x n()xn0n n()x nn()x n()xn()x n1 1(),1()2 20,11 1(),1()2 20,1nnnx nnnxnn 例例第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析21/793 3 序列的加减序列的加减 两序列的加、减指同序号 的序列值逐项对应相加、减而构成一个新的序列，表示为)(n)()()(nynxnz4 4

11、 乘积乘积 两序列的乘积指同序号 的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列，表示为)(n)()()(nynxnz第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析22/791 1(),1()2 20,1nnx nn 2,0()1,0nny nnn例例 已知序列 1()()()z nx ny n2()()()z nx ny n求序列，第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析23/795.5.差分差分)()1()(nxnxnx序列 的一阶前向差分 定义为)(nx)(nx)1()()(nxnxnx一阶后向差分定义为)()1(nxnx前向差分和后向差分运

12、算可相互转换，即 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析24/79例例 已知序列 ，则 前向差分和后向差分如下图()0,0,1,1,1,1,0,0 x n()x n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析25/796 6.累加累加 设某一序列为 ，则 的累加序列定义为nkkxny)()()x n()x n 该定义表示序列 在 时刻的值等于 时刻 的值以及 时刻以前所有 值的累加和。序列的累加运算类似于连续信号的积分运算。nnn)(nx)(nx)(ny第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析26/79例

13、已知序列 ，则1 1(),1()2 20,1nnx nn 1,01,)21(21)()(1nnkxnynkknk第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析27/797 7 时间尺度变换时间尺度变换 序列的尺度变换类似于连续时间信号的时域伸缩变换，包括抽取抽取和插值插值两类。抽取：抽取：令 ，M为正整数，称 是由 作M倍的抽取所产生的，即从 中每隔M-1点取1点。)()(Mnxny)(ny)(nx)(nx第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析28/79y(-1)=x(-13)y(0)=x(03)y(1)=x(13)解：如图所示如图所示，

14、取取M=3,则则y(n)=？其分解过程见下例其分解过程见下例第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析29/79插值：插值：令 ，L为正整数，称 是由 作L倍的插值所产生的。)/()(Lnxny)(ny)(nx分解过程如下：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析30/79例例 一序列的抽取和插值的过程。作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作插值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析31/791.2 序列的卷积和1.2.1 卷积和的定义及计算 设序列 、它们的卷

15、积和 定义为 卷积和计算分四步：卷积和计算分四步：反褶反褶(反转反转)、移位、相乘、相加。、移位、相乘、相加。mmnhnxmnxmhmnhmxny)()()()()()()()x n()h n()y n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析32/79计算步骤计算步骤 1）变量置换 把离散信号 和 的变量 ，都用m置换，作出 的波形。)(nx nh)()(mhmx和n2）反转 以 为对称轴，将 反转，得到 。0m)(mh)(mh 3）移位 把 移位，变为 。，把 向右移位；，把 向左移位。)(mh)(mnh)(mh 0n0n)(mh 第第1 1章章离散时间信号与系

16、统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析33/794）累加 计算累加 mmnhmx)()(第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析34/79例例/2,13()0,1,02()0,nnx nnnh nn其他其他mmnhmxnhnxny)()()()()(求：01231/213/2m012m1()h n()x n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析35/79图解法图解法第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析36/79(0)0(1)1/211/2(2)1/21113/2(3)1/21113/213(4)1

17、/20113/21015/2(5)3/213/2yyyyyy-1012345n1/23/235/23/2()y n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析37/79例例 已知 ，求 23145 36931215 2462810 123145)()2()1()0(0123)(othernnnnx3254110312)(nnnnnnh列表法列表法5)5(,14104)4(,241581)3(,171223)2(,11362)1(,1394)0(,6)1(yyyyyyy()()*()y nx nh n(0)x(1)x(2)x(1)h(0)h(1)h(2)h(3)h第第1

18、 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析38/79例：已知序列例：已知序列x(n)和和h(n)如下：如下：求其卷积。求其卷积。000,()0,0()0,n nnnnx nnnnNh nn其他第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析39/791.2.2 卷积和的性质1）交换律)()()()(1221nxnxnxnx2）结合律)()()()()()()(3121321nxnxnxnxnxnxnx3）分配律)()()()()()(321321nxnxnxnxnxnx4）是离散卷积的单位元)(n)()()(nxnnx第第1 1章章离散时间信号与系统

19、的时域分析离散时间信号与系统的时域分析40/795）是单位延迟器)1(n)1()1()(nxnnx一般地有 )()()(knxknnx)()(*)(2121nnnfnnnnf6）是数字积分器)(nunknunxkx)(*)()(7）是离散卷积的单位元)()()(nxnnx()n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析41/79例例 已知 ，试求信号 ，使它满足 。)2(2)1(3)()(1nnnnx)3()()(2nununx)(nx)()()(21nxnxnx)()2(2)1(3)(3nRnnn解解 )3()()2(2)1(3)()()()(21nununnnn

20、xnxnx)2(2)1(3)(333nRnRnR)4(2)3(5)2(6)1(4)(nnnnn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析42/79 如果两序列长度分别为 和 ，则它们的卷积长度为 1n2n121 nn结论结论第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析43/791.3 线性移不变系统 系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即()T()y nx n)(ny)(nx第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析44/79 若离散时间系统满足均匀性与叠加性，则称此系统为

21、离散时间线性系统。1.3.1 线性系统线性系统 若输入序列为 与 ，输出序列分别为 与 ，即 ，假设输入 时，若系统的输出 满足下式则该系统就是线性系统。)(1nx)(2nx)(1ny)(2ny)()(11nxTny)()(22nxTny)()()(21nbxnaxnx)(ny)()()()()()(2121nbynaynbxnaxTnxTny第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析45/79例例 证明 所代表的系统不是线性系统。4)(3)(nxny证明证明 因为4)(3)()(111nxnxTny4)(3)()(222nxnxTny所以)(4)(3)(3)()(

22、2122112211aanxanxanyanya4)()(3)()(22112211nxanxanxanxaT但是 )()()()(22112211nyanyanxanxaT因而所以此系统不是线性系统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析46/791.3.2 移不变系统移不变系统定义：定义：若系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统为移不变系统。若)()(nxTny)()(mnxTmny则用公式表述为：)(nx)(ny)(mnx)(mny即 表明表明输入移动任意位，其输出也移动相同位数，而其幅值保持不变。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时

23、间信号与系统的时域分析47/79例例 判断 所代表的系统是否是移不变系统。4)(3)(nxny证明 4)(3)(mnxmnxT 4)(3)(mnxmny)()(mnxTmny因为所以此系统是移不变系统。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析48/791.3.3 单位抽样响应与卷积和单位抽样响应与卷积和 设系统输入序列为设系统输入序列为 ，输出序列为，输出序列为 。任一。任一序列序列 可写成可写成 的移位加权和，即的移位加权和，即)(nx)(ny)(nx)(nmmnmxnx)()()(则系统输出为则系统输出为mmnmxTny)()()()()(mmnTmxmmnh

24、mx)()(第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析49/79结论：结论：系统在激励信号系统在激励信号 作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为 与与系统的单位抽样响应的线性卷积，即系统的单位抽样响应的线性卷积，即)(nx)(nx)()()(nhnxny一般用一般用h(n)代表系统，示意图如下代表系统，示意图如下第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析50/791.3.4 因果系统因果系统 因果系统就是指系统某时刻的输出只取决因果系统就是指系统某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前时刻的输入，即于此时刻和此时刻以前时刻的输入，即 时时

25、刻的输出刻的输出 只取决于只取决于 的输入的输入 。0nn)(0ny0nn)(nx定义：定义：0)(nh0n线性移不变系统是因果系统的充分且必要条件是：线性移不变系统是因果系统的充分且必要条件是：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析51/79 证明：证明：充分性充分性 若若nn0的的x(m)无关。无关。因此，该系统为因果性系统。因此，该系统为因果性系统。()()()my nx m h nm000()()()nmy nx m h nm第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析52/79 必要性必要性 ：采用反证法。假定系统为因果性采用

26、反证法。假定系统为因果性 系统，但在系统，但在n0时时h(n)0，按卷积公式，对于任按卷积公式，对于任何输入何输入x(n)，n0时刻的其输出时刻的其输出y(n0)为为 这样，由于这样，由于n n0的的x(m)有有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有须有n0时时h(n)=0。证毕。证毕。000001()()()()()nmm ny nx m h nmx m h nm第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析53/791.3.5 稳定系统稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO

27、BIBO）的系统。的系统。定义：定义：一个线性移不变系统是稳定系统的充分且必要条件是：一个线性移不变系统是稳定系统的充分且必要条件是：()nh np 即单位抽样响应绝对可和。即单位抽样响应绝对可和。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析54/79例例 设线性时不变系统的单位抽样响应 ，式中 是实常数，试分析该系统的因果稳定性。)()(nuanhna解：（1）讨论因果性由于 时，所以系统是因果系统。0n0)(nh（2）讨论稳定性可见，只有当 时，才有因此系统稳定的条件是 1,1,11)(0aaaanhnnn1aanhn11)(1a第第1 1章章离散时间信号与系统的

28、时域分析离散时间信号与系统的时域分析55/791.4 线性常系数差分方程线性常系数差分方程 连续时间系统用微分方程描述，而离散时间系统则用差分方程描述。一个离散时间系统无论是由连续时间系统离散化得到的，或者本身就是离散的，其数学模型都可以用差分方程来描述。本节主要讨论线性移不变离散时间系统差分方程的描述形式和求解方法。第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析56/791.4.1线性常系数差分方程的描述线性常系数差分方程的描述一个一个 阶线性常系数差分方程一般形式为阶线性常系数差分方程一般形式为NMiNiiiinyainxbny01)()()(或者或者1 )()(0

29、00ainxbinyaMiiNii，式中，式中，、分别指系统的输入和输出。分别指系统的输入和输出。系数系数ai(i=1,N)，bi(i=1,M)均为常数均为常数 阶数指方程中阶数指方程中y(n-i)的最高阶与最低阶之差的最高阶与最低阶之差线性指方程中仅有线性指方程中仅有y(n-i)的一次幂，不含它们的相乘项。的一次幂，不含它们的相乘项。)(nx)(ny第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析57/79例例1.4.11.4.1 图1.4.1所示电路为一阶 低通模拟滤波器。为输入信号、为输出信号。试由描述该电路的微分方程求出相应的差分方程。RC)(tx)(ty)(ty

30、RC图1.4.1 低通滤波器 )()()(txtydttdyRC解解 很容易得到描述该系统的微分方程为第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析58/79若对 进行抽样，且抽样间隔 足够小，则有tsTssssTTnTynTydttdy)()()(结合 得 snTt)()()()(ssssssnTxnTyTTnTynTyRC取 为单位时间的情况下得到所求差分方程为sT)(11)1(1)(nxRCnyRCRCny第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析59/79例例1.4.21.4.2 求累加器 的差分方程表示式。nkkxny)()(解解

31、依据已知 列出时刻的输出为)1(n1)()1(nkkxny则得到所求差分方程为)1()()()()(1nynxkxnxnynk第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析60/79例例1.4.31.4.3 滑动平均滤波器可以表示成的形式。例如，模板为3个点的平滑滤波器可以写成。1()()(1)(1)y nx nx nx nNN1()()(1)(2)3y nx nx nx n第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析61/791.4.2 线性常系数差分方程的求解线性常系数差分方程的求解z求解差分方程的方法有：1、序列域（离散时间域）法 时域经

32、典解法；迭代法；卷积求和法 2、变换域法（如 变换求解法）。z第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析62/79 当差分方程方程阶数较低的时候，用迭代法求解差分方程比较简单。例例1.4.5 某系统可用差分方程 来描述，分别求解系统在下列初始条件下的单位抽样响应：1、；2、。)()1()(nxnayny0)1(y0)1(y第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析63/79解解 依题意，输入序列 ，则)()(nnx)()()()(nhnhnny1、时，递推过程如下：0)1(y（1）时由递推公式 得0n)()(1)1(nxnyany,0)4

33、(,0)3(,0)2(yyy即，0)()(nynh（2）时由递推公式 得0n)()1()(nxnayny；1)0()1()0(xayy；axayy)1()0()1(nany)(综合得)()()(nuanynhn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析64/792、时，递推过程如下：0)1(y（1）时0n由 得)()(1)1(nxnyany；0)1()1(1)0(xyay；1)0()0(1)1(axyay；2)1()1(1)2(axyaynanyany)1(1)(（2）时0n由 得)()1()(nxnayny0)2(y0)3(y0)4(y综合（1）、（2）得)1()

34、()(nuanynhn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析65/79 一个一个常系数线性差分方程是否因果系统，常系数线性差分方程是否因果系统，由由边界条件边界条件（初始）所决定。（初始）所决定。即初始条件具有即初始条件具有y(n)=0(n0方向递推，其解一般为因果的，方向递推，其解一般为因果的，反之为非因果。反之为非因果。注：注：第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析66/791.5 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 抽样抽样就是利用周期抽样脉冲序列 ，对连续信号 进行抽取，得到一系列离散值，即离散时间信号 （抽样信号）。)

35、(tp)(tx)(tx离散信号 的序列值再经量化编码后得到数字信号。)(tx抽样器可以等效成一个电子开关，如图所示。)(tx)(txT相乘)(tp)(tx)(tp抽样器原理第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析67/79 开关每隔 秒闭合一次，从而实现对连续时间信号 的周期抽样，得到离散时间信号 。抽样过程可以看作是用 和 进行相乘的过程，即T)(tx)(tx)(tx)(tp)()()(tptxtx若 是冲激函数序列 ，则为理想抽样；若 是宽度为 的矩形脉冲序列，则为实际抽样。)(tp)(tp)(tT第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的

36、时域分析68/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析69/791.5.1 理想抽样理想抽样（1 1）抽样过程及抽样信号频谱）抽样过程及抽样信号频谱 周期冲激序列 nTnTtt)()(理想抽样信号 nTnTttxttxtx)()()()()(nnTtnTx)()(理想抽样信号 的傅立叶变换)(tx)()(21)(jjXjXTnsnTjX)(2)(21nsjnjXT)(1第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析70/79理想抽样信号频谱理想抽样信号频谱 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析71/79

37、 由图可见，是由 以 为间隔周期重复所构成的，即周期延拓。)(jX)(jXTs/2 当 或 时，的各延拓分量就不会彼此重叠 hhshs2)(jX 可以采用一个截止频率为 ()的理想低通滤波器得到不失真的原信号频谱，从而将原信号从抽样信号中恢复出来。c)(hsch分析第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析72/79结论结论 为了避免产生混叠现象，能从抽样信号无失真地恢复出原信号，抽样频率必须大于等于信号频谱最高频率的两倍，即这就是奈奎斯特抽样定理。hs2第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析73/79（2 2）由抽样信号恢复连续信号

38、）由抽样信号恢复连续信号 若满足抽样定理，则抽样信号经一个适当低通滤波器滤波后，就可以恢复出原信号，即滤波器输出为 。)()(txty 理想低通滤波器频率响应函数为式中 为理想低通滤波器截止频率，经常选取 ccTjH,0,)(cTsc/2/第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析74/79 当理想低通滤波器的截止频率 时，其冲激响应为 Tc/TtTtdeTdejHthTTtjtj/)/sin(2)(21)(/第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析75/79滤波器的输出)()()()(thtxtxtydthx)()(dthnTxn)(

39、)()(dnTthxn)()()(nnTthnTx)()(nnTthnTx)()(nTnTtTnTtnTx/)(/)(sin)(抽样内插公式 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析76/79TnTtTnTt/)(/)(sin称为内插函数 内插函数在抽样点上值为1，而在其余抽样点上值为0。结合内插函数这一特点可知，低通滤波器的输出 等于各 与对应的内插函数乘积的叠加。也就是说该理想低通滤波器 在的冲激之间进行内插而形成连续时间信号 。)(tx)(nTx)(tx)(tx图1.5.5 内插函数tnT1nTTn)1(Tn)1(第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离

40、散时间信号与系统的时域分析77/79 滤波器恢复出的信号在各抽样时刻点上的值等于原信号的值，而各抽样时刻之间的值则由各加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图1.5.6所示。因此，抽样时只要满足抽样定理，则原连续时间信号就可以用其抽样信号来表示，而不会丢掉任何信息。但是，由上面的讨论过程可以看出内插公式只限于带限信号。t0)(tx图1.5.6 抽样信号的内插恢复T第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析78/791.5.2 实际抽样实际抽样 矩形周期脉冲的宽度为 ，幅度为1，抽样间隔为 ，其傅立叶变换 为 T)(jPnsnnPjP)(2)(分析抽样信号的幅度谱可以看出

41、：抽样信号的频率分析抽样信号的幅度谱可以看出：抽样信号的频率是连续时间信号频谱的周期延拓。是连续时间信号频谱的周期延拓。nsnjnjXPjPjXjX)()()(21)(抽样信号 的傅立叶变换 为)(tx)(jX第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析79/79 与理想抽样不同的是，其频率分量幅度的包洛线以 的规律变化，如图1.5.7所示。同样，抽样过程若满足奈奎斯特抽样定理，则不会产生频谱混叠现象。因此，抽样时只要满足奈奎斯特抽样定理，就可以从抽样信号中无失真地恢复出原连续信号。)2/()2/sin(ssnn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与

42、系统的时域分析80/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析81/791.5.3 带通信号的抽样带通信号的抽样 在实际中，应用较多的还有一类带限信号：信号的频谱分布在某一最低频率 和最高频率 之间，即 ，称这类带限信号为带通信号。带通信号的最高频率 一般都很高，但其带宽 与 相比要小得多。若仍然按前述介绍的奈奎斯特抽样定理对其离散化，即 ，则抽样频率、抽样数据量将会很大。lhhl hhlhBhs2第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析82/79带通信号抽样定理带通信号抽样定理 当用周期冲激序列 对频谱形带通信号的 以等间隔 抽样

43、。得到 nTnTtt)()()(txsTksjkjXTjX)(1)(的周期是 ，如图1.5.5(b)所示。取图中标识 的一个周期进行分析。)(jXssT/2s若要频谱不发生混叠，须有shhsllskk第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析83/79第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析84/79整理得 kklsh2)1(2kklh2)1(2则需 即 ，定义 （即 不大于的 最大整数）。就是带通信号抽样定理。其中，。BklBKlKBlkklsh2)1(20,1,kK 带通信号的抽样频率 的取值范围由 个互不重叠的频率区间组成，即 。

44、s1KUKklhskk02),1(2表明第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析85/79 当对带通信号进行离散化时，可以依据带通信号抽样定理选取抽样定理 。显然，该抽样频率要比奈奎斯特频率 小得多。Bs2h2第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析86/791.6 离散线性相关1.6.1 线性相关的定义 已知离散时间信号 和 ，定义 为信号 和 的互相关函数。)(1nx)(1nx)(2nxnmnxnxmr)()()(2112)(2nx同理可得 和 的互相关函数为)(2nx)(1nxnmnxnxmr)()()(1221第第1 1章章离

45、散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析87/79它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为)()()()()(2211mnxnxmrmrmrn)()()(21nxnxnx当 时 它描述了同一个信号 在 时刻和 时刻的相似程度。)(nxnmn 若 、为复数信号，则)(1nx)(2nxnmnxnxmr)()()(2*112)()()()()(*2211mnxnxmrmrmrn第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析88/791.6.2 线性相关与线性卷积的关系和 的线性卷积)()()(21mxmnxngm)(1nx)(2nxnmnxnxmr)()()(2112互相关函数现将上式中的 和 相对换，得mn)(*)()()()(2121mxmxnxnmxmgn)()()()()()()(21212112nxnmxnxmnxmnxnxmrnnn比较可得线性相关和线性卷积的时域关系为 )(*)()(2112mxmxmr 第第1 1章章离散时间信号与系统的时域分析离散时间信号与系统的时域分析89/79同理，对自相关函数，有 )()()(mxmxmr 尽管相关和卷积在计算式上有相似之处，但二者所表示的物理意义是截然不同的。线性卷积表示了线性移不变系统输入、输出和单位抽样响应之间的一个基本关系，而线性相关只是反映了两个信号之间的相关性，与系统无关。