空间解析几何与向量代数习题课12726-课件.ppt
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- 空间 解析几何 向量 代数 习题 12726 课件
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1、第七章第七章 空间解析几何与空间解析几何与向量代数习题课向量代数习题课一、向量的基本概念一、向量的基本概念 1向量的坐标向量的坐标:2向量的模向量的模:方向余弦为方向余弦为:(,)xyzaaaa 设起点设起点 和终点和终点 ,则则 ),(1111zyxM2222(,)Mxyz12212121(,)M Mxxyy zz 222xyzaaaa 3方向角:方向角:向量向量 与三个坐标轴正向的夹角与三个坐标轴正向的夹角 a,222222222cos,cos,cosyzxxyzxyzxyzaaaaaaaaaaaa 1coscoscos222 向量代数向量代数4单位向量:单位向量:0222(,)|xyzx
2、yzaaaaaaaaa 5向量的投影:向量的投影:Pr|cos(,)aj bba b 二、向量的运算二、向量的运算 1线性运算线性运算(1)(,)xxyyzzabab ab ab (2)(,)xyzaaaa 2数量积数量积(1)定义:)定义:(2)坐标表示:)坐标表示:cos(,)a ba ba b xxyyzza ba ba ba b 分配律:分配律:()abca cb c 结合律:结合律:()()()ababa b (4)向量的夹角:)向量的夹角:cos(,)a ba ba b (5)性质:)性质:2;0;xxyyzza aaaba ba ba ba b 2向量积向量积(1)定义:)定义:
3、(3)运算律:)运算律:交换律:交换律:a bb a cab sin(,)ca ba b 模模:方向:方向:垂直垂直 与与 确定的平面,且符合右手规则。确定的平面,且符合右手规则。c b a 结合律:结合律:()()()ababab (4)性质:)性质:0,/0aaabab 分配律:分配律:()abcacbc 反交换律:反交换律:abba (3)运算律:)运算律:(2)坐标表示:)坐标表示:xyzxyxijkabaaabbb 一、平面与直线的方程一、平面与直线的方程 1平面方程平面方程:(1)点法式方程:)点法式方程:0)()()(000 zzCyyBxxA其中其中 为平面的法向量,为平面的法
4、向量,(,)nA B C 0000(,)Mxyz为平面的为平面的 一定点。一定点。(2)一般方程:)一般方程:0 DCzByAx(3)截距式方程:)截距式方程:,其中,其中 1 czbyaxcba,分别为平面在分别为平面在三坐标轴三坐标轴 zyx,上的截距。上的截距。2点到平面的距离:点到平面的距离:222000CBADCzByAxd 平面与直线、空间曲面与曲线平面与直线、空间曲面与曲线3直线方程:直线方程:(1)一般方程:)一般方程:0022221111DzCyBxADzCyBxA(2)对称式方程:)对称式方程:pzznyymxx000 其中其中 为直线的方向向量,为直线的方向向量,(,)s
5、m n p ),(0000zyxM为直线的一定点。为直线的一定点。(3)参数方程:)参数方程:ptzzntyymtxx000则它们的夹角为:则它们的夹角为:222222212121212121cospnmpnmppnnmm (2)两平面相交(夹角)两平面相交(夹角)设设 与与 平面的法向量分别为平面的法向量分别为 与与 1 2 1111(,)nA B C 2222(,)nA B C 4线、面之间的位置关系:线、面之间的位置关系:(1)两直线相交(夹角)两直线相交(夹角)设设 与与 的方向向量分别为的方向向量分别为 与与 1111(,)sm np 2222(,)sm np 1L2L(3)直线与平
6、面相交(夹角)直线与平面相交(夹角)设直线设直线 的方向向量为的方向向量为 ,L(,)sm n p 222222sinpnmCBACpBnAm 平面平面 的法向量为的法向量为 (,),nA B C 则它们的交角:则它们的交角:则则 222222212121212121cosCBACBACCBBAA (4)线、面之间的平行与垂直)线、面之间的平行与垂直 设直线设直线 与与 的方向向量分别为的方向向量分别为 ,1L2L1111(,)sm np 2222(,)sm np 平面平面 与与 的法向量分别为的法向量分别为 1 2 1111(,),nA B C 2222(,),nA B C 11112122
7、22/ABCnnABC1111212222/mnpLLssmnp/0LsnAmBnCp 12121212120nnA AB BC C12121212120LLssm mn np p/ABCLsnmnp 二、空间曲面二、空间曲面1一般方程:一般方程:0),(zyxF2旋转面:曲线旋转面:曲线 (,)00f y zx 同理可得同理可得 面上的曲线绕面上的曲线绕 轴旋转所得旋转面的方程及轴旋转所得旋转面的方程及 zoxz绕绕 轴旋转所得旋转面的方程。轴旋转所得旋转面的方程。x绕绕 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面z22(,)0;fxyz 方程为方程为 绕绕 轴旋转所成的旋转曲面轴旋转所成的旋转曲
8、面 y22(,)0;f yxz方程为方程为 三、空间曲线三、空间曲线 1一般方程一般方程 0),(0),(zyxGzyxF2参数方程参数方程 )()()(tzztyytxx3空间曲线在坐标面上的投影曲线:空间曲线在坐标面上的投影曲线:(1)0),(0),(zyxGzyxF在在 面上的投影曲线:面上的投影曲线:xoy 00),(zyxH(2)0),(0),(zyxGzyxF在在 面上的投影曲线:面上的投影曲线:yoz(,)00R y zx (3)0),(0),(zyxGzyxF在在 面上的投影曲线:面上的投影曲线:xoz(,)00T x zy 向量代数典型例题向量代数典型例题 【例例1】已知两点
9、已知两点 和和 ,求向量求向量 1(4,2,1)M2(3,0,2)M余弦和方向角。余弦和方向角。12M M 的模、方向的模、方向 解:解:12(1,2,1)M M 12|2M M 方向余弦为方向余弦为 ,cos12 cos22 cos12 方向角为方向角为 ,23 34 13 【例例2】确定确定 的值,使向量的值,使向量 与向量与向量 ,3(1)ijk 相等。并求此时向量的模与方向余弦。相等。并求此时向量的模与方向余弦。(3)()3ijk 分析:分析:向量相等的定义是向量坐标对应相等。向量相等的定义是向量坐标对应相等。解:解:由已知条件得由已知条件得 3133 易得易得 141 即当即当 时两
10、向量相等。时两向量相等。1,4,1 33aijk 方向余弦为方向余弦为 。193,193,191,19 a模为模为 此时向量为此时向量为【例例3】已知已知 都是单位向量,且满足都是单位向量,且满足 ,求求 .,a b c 0abc a bb cc a 分析:向量分析:向量 的坐标没给出,也没给出之间的夹角,的坐标没给出,也没给出之间的夹角,无法利用数量积定义,只能考虑数量积运算规律。无法利用数量积定义,只能考虑数量积运算规律。,a b c 解:解:0()()abcabc 于是于是 32a bb cc a 32()a bb cc a 2()a ab bc ca bb cc a 求求 。【例例4】
11、已知向量已知向量 两两互相垂直,且两两互相垂直,且 ,p q r ,3,2,1 rqprqp 分析:由于向量分析:由于向量 没给出坐标,只给出了模,注意没给出坐标,只给出了模,注意,p q r 2aa a ,并利用条件,并利用条件 ,0pqp q 便可求出便可求出 rqp Spqr ;或可不妨置;或可不妨置 计算向量的模。计算向量的模。于坐标系中于坐标系中 解法解法1:2()()pqrpqrpqrp pp qp rq pq qq rr pr qr r 222222012314pqr14 rqp所以所以 解法解法2:因三向量两两垂直,故可在直角坐标系中设:因三向量两两垂直,故可在直角坐标系中设,
12、2,3pi qj rk 23Spqrijk 则则 于是于是 22212314pqrS 【例例5】已知向量已知向量 与三向量与三向量 123(,)xxxx (0,1,1),(1,0,1)的数量积分别为的数量积分别为3,5,4,试求向量试求向量 及与其同向的单位向量。及与其同向的单位向量。x(1,1,0),解:依题意有解:依题意有 3,5,4xxx 即即 453313221xxxxxx解得解得 ,3,2,1321 xxx14 x与与 同向的单位向量为同向的单位向量为 x 0123(,)141414xxx (1,2,3)x 则则分析:利用分析:利用 与每个与每个 的数量积,可得出关于的数量积,可得出
13、关于 x 321,xxx 的联立方程组,解之便得结果。的联立方程组,解之便得结果。,【例例6】已知已知 和和 。求与。求与)1,3,3(),2,1,1(21MM)3,1,3(3M1223,M MM M 同时垂直的单位向量,并且求以同时垂直的单位向量,并且求以 1223,M MM M 为两邻边的平行四边形面积。为两邻边的平行四边形面积。分析:应用向量积构造与两个向量都垂直的向量;分析:应用向量积构造与两个向量都垂直的向量;利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。利用向量积模的几何意义得平行四边形的面积。解:解:1223(2,4,1),(0,2,2)M MM M 1223aM MM M 2410
14、22ijk644ijk与与 同时垂直的单位向量为:同时垂直的单位向量为:1223,M MM M 1(3,2,2)17aa 平行四边形面积平行四边形面积 22212236(4)(4)2 17SM MM M 【例例7】在在 坐标平面上求向量坐标平面上求向量 ,它垂直于向量,它垂直于向量 xOyp(5,3,4),q 并与向量并与向量 有相等的模。有相等的模。q 分析:分析:先设出向量先设出向量 ,再用两个条件确定其系数。,再用两个条件确定其系数。p 解:由已知条件解:由已知条件,可设可设 ,(,0)pa b 254)3(5222 q 由已知条件有由已知条件有 ,(,0)(5,3,4)530p qa
15、bab aaabap1732350222225 q 则则15525,31717aba (1517,2517,0)p 于是于是ab35 则则【例例8】已知向量已知向量 ,轴与三坐标轴正向构成轴与三坐标轴正向构成(4,3,2)a u相等锐角,相等锐角,求求 在在 轴上的投影。轴上的投影。a u分析:先求出分析:先求出 轴上的单位向量,再利用向量投影公式。轴上的单位向量,再利用向量投影公式。u解:设解:设 轴的方向余弦分别为轴的方向余弦分别为 ,u cos,cos,cos由已知条件由已知条件 及及1coscoscos222 即即 轴上的正向单位向量为轴上的正向单位向量为 ,u0111(,)333u
16、0001Prcos(,)(432)33ua uj aaa ua uu 于是于是 1cos32 得得1coscoscos3 所以所以【例例9】设向量设向量 ,其中,其中 ,2pab qkab 1 a2 b且且 。问:。问:ab (1)为何值时,为何值时,kpq 以以 与与 为邻边的平行四边形面积为为邻边的平行四边形面积为6。(2)为何值时,为何值时,kp q 分析:(分析:(1)用向量垂直的充分必要条件;)用向量垂直的充分必要条件;(2)用向量积的模的几何意义。)用向量积的模的几何意义。解:(解:(1)当当 时时 (2)()0p qabkab 即即 ,222(2)0k abk a b 亦即亦即
17、,时时002122 k2 k0p q 故当故当 ,时,时 。2 kpq (2)平行四边形面积平行四边形面积 bakbaqpS 2 abkbabbaak 22 bak )2(002sin,k a ba b 2sin212 k622 k则则 ,于是,于是 或或 32 k5 k1 k以以 与与 为邻边的平行四边形面积为为邻边的平行四边形面积为6。p q 当当 或或 时,时,5 k1 k直线与平面典型例题直线与平面典型例题【例例1】求平行于求平行于 轴且经过两点轴且经过两点 的平面方程。的平面方程。x)7,1,5(),2,0,4(分析:(分析:(1)已知平面过两点,可采用平面的点法式,用已知)已知平面
18、过两点,可采用平面的点法式,用已知知两点确定的向量与向量知两点确定的向量与向量 的向量积求平面的法向量;的向量积求平面的法向量;i(2)由平面平行于)由平面平行于 轴的特殊条件,可采用平面的一般式,轴的特殊条件,可采用平面的一般式,x设出不含设出不含 的平面方程,再由已知两点确定平面方程的的平面方程,再由已知两点确定平面方程的 待定系数。待定系数。x解法解法1:由已知点由已知点 ,确定向量,确定向量 ,)7,1,5(),2,0,4(BA(1,1,9)AB 轴上的单位向量轴上的单位向量 ,可确定所求平面的法向量,可确定所求平面的法向量 x(1,0,0)i 1199(0,9,1)100ijknAB
19、ijk 平面过点平面过点 ,则所求平面的点法式方程为,则所求平面的点法式方程为(4,0,2)0)2(9 zy即即 029 zy解法解法2:平面平行于:平面平行于 轴,则平面方程中不含变量轴,则平面方程中不含变量 ,于是于是xx可设平面方程为可设平面方程为0 DCzBy点点 在平面上,满足平面方程,即有在平面上,满足平面方程,即有)7,1,5(),2,0,4(07020DCBDC,得,得 CBCD92则平面方程为则平面方程为 029 CCzCy即即 029 zy【例例2】求经过两点求经过两点 且与平面且与平面 2480 xyz )4,0,6(),9,2,3(垂直的平面方程。垂直的平面方程。分析:
20、已知平面过两点,可采用平面的点法式,用已知两点确分析:已知平面过两点,可采用平面的点法式,用已知两点确定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。定的向量与已知平面法向量的向量积可求出平面的法向量。,平面,平面 过向量过向量 ,所以,所以,。(9,2,5)AB nAB 已知平面已知平面 的法向量为的法向量为 ,1:0842 zyx1(2,1,4)n 因为因为 ,所以,所以 ,可取,可取 1 1nn 19253265214ijknABnijk 则所求平面的点法式方程为则所求平面的点法式方程为 0)9(5)2(26)3(3 zyx即即 02263 zyx解:设所求平面解:设所求平面 的法向
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