第4章 轴对称问题和空间问题有限元法课件.ppt
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1、1轴对称及空间问题有限元法轴对称及空间问题有限元法上海工程技术大学机械工程学院上海工程技术大学机械工程学院工程力学部工程力学部2第一节第一节 轴对称问题有限元法轴对称问题有限元法第二节第二节 空间问题有限元法空间问题有限元法3一一.轴对称问题的定义轴对称问题的定义 工程中有一类结构,它们的几何形状、约束条件及作用的荷载都对称于某一固定轴(可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果),其力学分析称为轴对称问题。典型例子为烟囱、储液罐等受恒载作用。1.1.离散化离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果,因此轴对称问题分析可在子午面内划分单元,实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单
2、元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。2.2.应力和应变应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系,对称轴为Z轴,径向为r 轴,环向为轴。xyzzr),(zrPuw 对称面上任一点p只会在该对称面上发生位移,即所有的应力、应变和位移只是z和r的函数,而与坐标无关。那么轴对称问题就可转化为二维平面问题来进行研究。但因与平面问题有区别,常称二维半问题。4xyabzp如图所示的受均布内压作用的长圆筒,通过z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性,轴对问题共有4个应力分量:Trzzr其中表示沿半径方向的正应力,称为径向应力;表示沿 方向的正应力,称为环向应力或切向应力;表示沿方向的正应力
3、,称为轴向应力;表示在圆柱面上沿方向作用的剪应力。rzrz5同样,轴对称问题共有4个应变分量:Trzzr其中表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变;表示沿方向的正应变,称为环向正应变或切向正应变;表示沿方向的正应变,称为轴向正应变;表示沿和方向的剪应变。rzzr在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移 u 和轴向位移 w,两个位移分量表示为,Tuwdxyzzr),(zrPuw基本方程基本方程1.平衡方程平衡方程00zzrzrzrzrrXrrzXzr6 rzrzuruurAANqBqwwzuwzr 2.几何方程几何方程000000000 xyzxyyzzxuxxvyyw
4、uzzvuvwyxyxvwzyzywuxzzx 72.物理方程物理方程 10111011(1)(1)(12)1011120002(1)rzrzDED8 轴对称单元的特点(与平面三角形单元的区别)l 轴对称单元为圆环体,单元与单元间为节圆相连接;l 节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力;l 单元边界是一回转面;l 应变分量 中出现了 ,即应变不是常量;且应变矩阵在r0时,存在奇异点,需特殊处 理,通常用该单元的形心坐标替代节点坐标。rur轴对称结构轴对称结构zj abriijmmdc9轴对称问题的有限元法轴对称问题的有限元法1.1.离散化离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果,因
5、此轴对称问题分析可在子午面内划分单元,实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。2.2.单元分析单元分析(rm,zm)uiwii(ri,zi)j(rj,zj)mrzOujumwjwm 参照平面问题的三角形单元位移函数,轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为,123456urzwrz123456uxyxy1012312ijmiijmjijmmaaaubbbuAcccu45612ijmiijmjijmmaaawbbbwAcccw其中:其中:mmjjiizrzrzrA11121ijmmjar zz rijmbzzimjcrrjmii mar z
6、z rjmibzzjimcrrmijj iarzz rmijbzzmjicrr1()(,)2ssssNab rc zsi j mA形函数:形函数:11 000000iiijmjijmjmmuwNNNuuqNNNwwuw dN用矩阵表示的单元位移为:单元应变:单元应变:将单元位移函数代入几何方程得:)(21mmjjiiubububAru)(21mmjjiiufufufAru其中,其中,(,)sssssac zfbsi j mrr)(21mmjjiiwcwcwcAzw)(21mmjjiiucucucAzu)(21mmjjiiwbwbwbArw用几何矩阵表示单元的应变:BqijmBBBB001(,)
7、02ssssssbfsi j mcAcbB由于在是坐标 r、z 的函数,分量在单元中不为常量,其它三个应变分量在单元中仍为常量。几何矩阵 不再是常数,轴对称三角形单元内的应变也不全为常量。sfB13单元应力:单元应力:由弹性矩阵 D 和几何矩阵 B 可以得到应力矩阵 S,并计算出单元内的应力分量,ijmSDBSSS其中:111122(1)(,)()2(1)(1 2)sssssssssssssbfAcAbfAcEsi j mA bfcAA cA bSDB式中:11A21 22(1)A由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到,为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 代替 B 矩
8、阵中的变量,将单元中的r和z近似地当作常量,并且分别等于 。1()3cijmrrrrr1()3cijmzzzzzcczr,cczr,14经过简化,就可以把各个单元近似地当作常应变单元。(,)sscsssccac zfbsi j mrr001(,)02ssssssbfsi j mcAcbB111122(1)(,)()2(1)(1 2)sssssssssssssbfAcAbfAcEsi j mA bfcAA cA bSDB153.3.单元刚度矩阵单元刚度矩阵 有了单元应力场和应变场,可以利用虚位移原理或最小势能原理建立单元刚度矩阵单元刚度矩阵的分块矩阵为2eTrdrdzKB DB2(,)Tspsp
9、rdrdzs pi j mKB DB由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到,为简化计算可以用三角形单元形心位置的坐标 代替 B 矩阵中的变量。)(31mjicrrrr)(31mjiczzzzcczr,r z 实践证明采用近似积分也能达到一定的精度,具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。16应变矩阵变成:其中:单元刚度矩阵的近似表达式为:2TcreKB DB单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为:12121222()()()Tspcspspspspspspspspspspspspspsprb bf fA b ff bA c cA b cf cA c bA c
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