§43局部线性化与微分课件.ppt
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- 关 键 词:
- 43 局部 线性化 微分 课件
- 资源描述:
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1、4.3.2 微分法则与微分不变性4.3 局部线性化与微分4.3.1 微分的概念4.3.3 微分在近似计算中的应用内容小结与作业x4.3.1 微分的概念1 1引例引例问此薄片面积改变了多少?设薄片边长为 x,面积为 A(x),2(),A xx0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xAxx 02)(x关于x 的线性主部高阶无穷小0 x时为故xxA02当边长从在0 x取得增量 时,x变到,0 xx一块正方形金属薄片受温度变化的影响,0 x边长由其0()()yf xf x 2“以直代曲”的定量描述xyOP0 xT()yf x当函数 在 处()yf x0 xx可导且 时,0
2、 xx000()()()fxxxo xx所以当 x 充分接近 x0 时,有000()()()()f xf xfxxx000()()()yf xfxxx以直代曲:局部线性化:000()()()()L xf xfxxxx4.3.1 微分的概念微分的概念 比较函数 在 附近比较函数的增量与该点切线纵坐标的增量。2()1f xx012x 例例14.3.1 微分的概念微分的概念0()()yf xf x 2“以直代曲”的定量描述xyOP0 xT()yf x当函数 在 处()yf x0 xx可导且 时,0 xx000()()()fxxxo xx所以当 x 充分接近 x0 时,有000()()()()f xf
3、 xfxxx000()()()yf xfxxx以直代曲:局部线性化:000()()()()L xf xfxxx4.3.1 微分的概念微分的概念即内有定义,处的增量 可以表示为0 x00()()yf xxf x 00()()(0)()yf xxf xxA xox 3微分的定义A x或 ,0d()x xf x0dx xy0dx xyA x定义4.3.1()yf x00(,)xx设函数 在的某邻域()yf x0 x则称函数 在 处可微(或可微分),称为 在 处的()yf x0 x微分,记为在一般点 x 处的微分,简记为d.yA xxA若存在与 无关的常数 ,使函数在点 4.3.1 微分的概念微分的概
4、念 设函数 在 的某邻域 内有定义,则函数 在 可微的充要条件是 在 处可导,且 在点 处的微分为00d()().x xf xfxx00(,)xx00d()x xyfxx()f x0 x()yf x()yf x0 x0 x()yf x0 x或 函数可微的条件 当ydy0()0fx,有0limdxyy 00lim()xyfxx 001lim()xyfxx 001()1()fxfx。定理4.3.14.3.1 微分的概念微分的概念 设 ,证明 在任何点 处可微,且 ()f x()f xx0 x0d()x xf xx 对任何 ,有x00()()yf xxf x()0ox1A 0d()x xf xA x
5、x 0d.x xxx 例例2证证此时,所以,得,即00()xxx.x d.xx 一般地,4.3.1 微分的概念微分的概念从而微分形式可以写成00d()d,x xyfxxd()d.yfxxd()dyfxxd()().df xfxx由此得到,或1()()fxy()()xyf ux(),()yf uux若 和 互为反函数,则有()xy()yf x对复合函数ddd.dddyyuxuxd1.dddyxxy4.3.1 微分的概念微分的概念和 ,并求 在 处的局部线性化(1,6)()f x()L xd()f x32()236f xxxx1d()xf x2d()(343)df xxxx1d()4d.xf xx
6、2()343fxxx(1)4f 000()()()()4(1)642L xf xxxf xxx 例例3解解,,所以,()f x(1,6)在点 处的局部线性化函数为因为已知函数 ,求函数 .4.3.1 微分的概念微分的概念 函数的增量是曲线的纵坐标的增量,它的微分是对应的切线的纵坐标的增量,这两者的差是横坐标增量的高阶无穷小。4微分的几何意义xyOPQ()yf xxxxRydy对应切线的纵坐标的增量。微分的几何意义4.3.1 微分的概念微分的概念d()dyfxx5基本初等函数的微分公式根据函数微分的表达式函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分.由此可以得到基本初等函数的微分公式。例如:(sin
7、)cosxx()xxee 1()aaxax 1d()daaxaxxd(sin)cos dxx xd()dxxeex4.3.1 微分的概念微分的概念4.3.2 微分法则与微分不变性 设函数 在 处可导,(),()u x v xx定理4.3.2 这里为书写方便将 简记为 dud()u x(3).2ddduv uuvvv(2);d()dduvv uuv处可微,且 d()dduvuv(1);(四则运算)()()0)()u xv xv x则 、和()()u xv x()()u x v xx在定理定理4.3.3(复合运算)d()()dyfuxx其中 和 均可微,则函数 ()yf u()yfx()ux()y
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