高级微观经济学课件.ppt

1、高级微观经济理论Advanced Microeconomic TheoryGeoffrey A.JehlePhilip J.Reny概况一点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容整体概述概况三点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容概况二点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容Slide 3n微观经济学基本理论和内容都是一样的。n但是划分初、中、高级微观经济学n的关键是理论在一般化、n形式化程度上有差别。Slide 4微观经济学基本核心n三大假定n三大原理n三大分析方法n资源稀缺、经济理性、保护私有财产n供求原理、等价交换原理、福利最大化原理n均衡分析方法（动态与静态）

2、、收益成本分析（动态与静态）、帕累托标准分析Slide 5一个好模型u研究可观察的真实世界的各种现象，而不是虚构各种事实，或者研究虚拟世界。解释的现象如果太特殊，理论没有意义，解释的现象如果太空泛，放之四海的真理容易变成套套逻辑。u假设和“前提性假设”。假设为我们的研究设定了一个范围和条件，使待研究的现象变得更简单，让研究者的精力集中在主要方面，而暂时忽略一些次要内容。在满足这个假设条件下，得到的推论是可靠的。但是，关于假设条件是否必须为真，经济学家之间通常有严重分歧。如弗里德曼认为，假设是否为真不重要，重要的是得到的结论有比较普遍的解释能力。如理性假设、完全竞争市场模型的四个假设条件、古诺模

3、型的假设条件。u在界定范围后，需要引入的变量。需要注意哪些变量是外生变量，哪些变量是内生变量。在确定变量后，选择合适的函数形式。函数形式既要考虑经济含义，又要考虑处理的方便。太复杂的函数通常不容易求解出结果，推导过程也会很复杂。u由于资源总是稀缺的，因此，还必须加入约束条件。如何处理好约束条件，是模型构建的难点和重点，也是经济学家水平的重要分水岭。u一个好模型必须能够解释观察到的各种现象，推测的结果要用真实世界观察到的现象或者素材来检验，一个好模型还必须是有可能被可证伪的。这样，理论才能不断创新，不断发展。Ch 0.导论Slide 7数学基础（一）nA set is any collectio

4、n of elements.We can be defined by enumeration(列举）of their elements or by description of their elements.n一个集合是所有元素的合并。我们既可以用列举法来定义集合中的这些元素，也可以用描述法来定义集合中的这些元素。A=1,3,5,7,9 or A=小于10的奇数Slide 8数学基础（一）nMembership or inclusion in a set,we use the symbol .otherwise,nA set S is a subset of another set T,we

5、write S T(S is contained in T)orIf T S(T contains S),then x S x TSlide 9数学基础（一）nThe empty set（空集）symbol is.nS=T means two sets are equal.If and only if S T and T S.nThe union(并集）of T and S is S T x x S or x TnThe intersection(交集）of T and S is S T x x S and x TSlide 10数学基础（一）u实数集xx R=Slide 11数学基础（一）n

6、Convex sets in Rnu is a convex set if for all we have 如果一个集合包含了该集合中每对点的所有凸组合，它才是凸的。当且仅当我们可把集合内的两点用一条直线连接，该连接线又完全处在集合内的情况下，这一集合才是凸的。nS R1xS12x(1)xttS0,1t Slide 12数学基础（一）n :binary relation between S and TuAny collection of ordered pairsus与t存在特定关系(,),s t some sS tTRRRstR或(,)s tRSlide 13数学基础（一）nComplete

7、ness（完备性）uA relation on S is complete if,for all elements x,y in S,RxyR or yxRRxyR and yzRxzRnTransitivity（传递性）u A relation on S is transitive if,for any three elements x,y,z in S,implies 。Slide 14数学基础（一）n度量与度量空间)x-x)(x-x()x,x(212121d21x,xnn欧氏空间u欧氏度量：Slide 15数学基础（一）n开邻域0),x(0B)x,x(Rx)x(00dBn0*0(x)B)

8、x,x(x)x(00*dBnn闭邻域Slide 16数学基础（一）n例1：在R1上的邻域)(0 xB0 x0 x0 x)(0*xB0 x0 x0 xSlide 17数学基础（一）n 上的邻域：x-xx)x(00nRB0 x0(x)B2R0 x*0(x)BSlide 18数学基础（一）n开集u如果 ，都 使 ，那么 是 上的开集。SxSB)x(,0nRS SnRSlide 19数学基础（一）n闭集 Su如果 S 的补集 Sc 是开集，那么 S 是闭集。Slide 20数学基础（一）n定理：u一个集合 是一个闭集，当且仅当，对所有的序列 ，如果对任意的m有 ，那么，就有 。XA XxxmAxmAx

9、Slide 21数学基础（一）nBounded Sets（有界集）uA set S in Rn is called bounded if it is entirely contained within someuThat is,.balln0,x R(x)SBSlide 22数学基础（一）nupper and lower bound of S in Ruupper bound:u最小上界：上确界（l.u.b.）ulower bound:l最大下界：下确界（g.l.b.）,uxxS,lxxS Slide 23数学基础（一）n定理1.5：实数子集的上界与下界u1、有界开集不包含上、下确界；u2、有

10、界闭集包含上、下确界。Slide 24数学基础（一）nCompact set（紧集）u有界闭集Ch1 消费者理论Slide 261.消费者理论n基本概念n偏好关系与效用函数n消费者问题n间接效用函数与支出函数n需求函数性质 Slide 271.1 消费集n商品 i 及其数量u种类有限性u数量无限可分n1,2,.,inix0ixnx,.,x21nxxxn 消费组合（束）Slide 281.1 消费集n消费集：u消费者可以想象自己可能消费的各种消费组合的集合。Rx|xnXXn R反映自然的约束以及消费者关于商品的信息 Slide 291.1 消费集n消费集基本假设uNonempty：u is cl

11、osedu凸性(convex)u nXRX0XSlide 301.1 消费集n可行集 Bu在给定环境约束下，所有消费者实际上可以选择的消费束。BX反映制度、技术、个人能力等因素Slide 311.2 偏好与效用n如何描述消费者的偏好？uBetham：效用可度量、可比较uJevons等：边际效用递减法则 需求规律u基数效用论Slide 321.2 偏好与效用n序数效用论Hicks（1939）:Value and CapitalSlide 331.2 偏好与效用n理性假设uthe consumer can choose能够判断自己喜欢什么uand choices are consistent自己的

12、偏好具有一致性Slide 341.2.1 偏好关系n二元关系(binary relation):u如果 ，有 ,那么 至少与 一样好。u读作：偏好于 。12x,xX1x2x1x2x12xxSlide 351.2.1 偏好关系n偏好公理1：完备性u 12x,x,X一定存在12xx21xx或。n 偏好公理2：传递性123x,x,x,X23xx和12xx如果有13xx那么一定有。u Slide 361.2.1 偏好关系n定义1.1：u如果在消费集 上的二元关系 满足公理1和2，那么我们称它为偏好关系。XSlide 371.2.1 偏好关系n定义1.2：strict preference relati

13、on12xx12xx21xx而且1x2xu 读作：严格偏好于n 定义1.3：indifference relation12xx而且12xx21xx1x2xu 读作：与 无差异Slide 381.2.1 偏好关系n消费集的分划u弱偏好集：u严格偏好集：u无差异集：00(x)x x,xx X贩00(x)x x,xx X00(x)x x,xx XSlide 391.2.1 偏好关系0(x)0(x)0 x0(x)2x1xn 消费集的分划Slide 401.2.1 偏好关系n公理3：连续性u ,如果 都有 而且有 和 ，那么就有nnn=1(x,y)xy,nn1ny=limynnx=limxnnxy.0(

14、x)0(x)和 是闭 集。连续定理：Slide 411.2.1 偏好关系0(x)0(x)0 x0(x)2x1x0(x)0(x)0(x)0 x0(x)2x1xSlide 421.2.1 偏好关系n公理 :局部非饱和性u ,使得 。40n+xR0 0 x(x),B0 xx总存在改进福利的可能性Slide 431.2.1 偏好关系0(x)0 xX12x1x不满足公理40(x)0(x)Slide 440(x)0 x0(x)2x1x0(x)局部非饱和性无差异集合是一条曲线，不存在无差异区域。1.2.1 偏好关系Slide 450(x)0 x0(x)2x1x0(x)X30(x)（好的）商品越多越好！X2S

15、lide 461.2.1 偏好关系n公理4：严格单调性u ，如果有 那么有 ，如果有 ，那么有u严格单调性局部非饱和性01nx,xR01xx01xx01xx10 xx Slide 472x1xX2X3X10(x)0 x1.2.1 偏好关系0(x)0(x)无差异曲线斜率为负严格单调性Slide 481.2.1 偏好关系n公理 ：凸性u如果 ，那么510 xx0,1t 001)1(xxttxSlide 490 x2x1x0(x)X2X1Xtt12xx+(1-t)xt0,1t1.2.1 偏好关系Slide 501.2.1 偏好关系n公理5 ：严格凸性u如果 和 ，那么(0,1)t 10 xx10 x

16、x001)1(xxttxSlide 51 0(x)0 x2x1x0(x)0(x)X1Xt严格单调、严格凸性偏好严格凸向原点的无差异曲线1.2.1 偏好关系Slide 521.2.1 偏好关系n边际替代率u无差异曲线的斜率2121xMRSx u凸偏好边际替代率非递增u严格凸偏好边际替代率递减Ch 1.2.2 效用函数Slide 54数学基础：函数n连续性n如果定义域的一个“微小运动”并不导致值域的“大跳跃”，那么，函数基本上可以判断是连续的。u函数:xfDD0在点处连续，如果R z0，都0使得,00(x,x)(x),(x)dd ffSlide 55数学基础：函数n连续性（Cauchy）u 在此定

17、义中，函数的定义域不再在R中取值，而只是在R的一个子集中取值。m:xfDD0函数在点处连续，如果R000(x)(x)f BDBf，都0,使得：Slide 56Slide 57数学基础：函数n象与原象（inverse image）u n连续性与原象（定理A1-6）n:fD 连续Rn1,()SfSD开集是 的开集.Rn1,(),()AD f AASfSS 是 的象；是 的原象RSlide 58数学基础：函数n定理A1.7：连续函数在紧集上的象（image)是紧集:nfDSDD是连续函数，如果是 内的紧集，R()nnf S 那么，映射是内的紧集。RRSlide 59数学基础：函数n极值存在性定理（W

18、eierstrass）n:SfS 设 是上的非空紧集，如果连续，RR*xx,S那么，存在，使得：*(x)(x)(x)xfffS Slide 60数学基础：多变量函数的微分12(,.,)nyf x xx(x)H1n(x)(x)(x)(,.,)fffxx梯度(gradient)：一阶微分：二阶微分：1111nmmnffffi(x)iffx2(x)ijijffx x（海赛矩阵）Slide 61数学基础：矩阵n定义：u NN矩阵M，如果 都有u半负定矩阵的特点是其每个特征值都是0或负数；负定矩阵的特点是其每个特征值都是负数。Nz Rz M z0 那么，称M是半负定矩阵；如果不等号严格成立，那么称M为负

19、定矩阵。Slide 62数学基础：拟凹函数12:x,x,fDRD是拟凹函数，如果对都有t12(x)min(x),(x)0,1ffft Slide 63数学基础：拟凹函数12:x,x,fDRD是严格拟凹函数，如果对都有t12(x)min(x),(x)(0,1)ffft()S y 上等值集是严格凸集xxxSlide 641.2.2 效用函数n定义1.5：u实值函数 u:R R是表示偏好关系 的效用函数，如果u存在性u唯一性01x,x,nR01xx01(x)(x)uuSlide 651.2.2.1 效用函数存在性u定义在 的偏好关系 满足连续性和严格单调性，那么就存在一个连续的实值函数 表示.。XR

20、Run:Slide 661.2.2.1 效用函数存在性n定理1.1证明思路u先构造一个实值函数u然后证明它满足效用函数的条件Slide 67I、效用函数的构造2x1x0ex(x)euP.1（）u(x)exSlide 68n至此我们证明出，对于每个x属于R，正好存在一个函数u（x），使得u(x)ex。n到此为止,我们构造了一个效用函数,它给X中的每一消费束分配一个数字。以下我们将说明这一效用函数代表偏好关系。Slide 69II、是效用函数12x,xnR由P.1（）式得到1(x)u2(x)u和12xx12(x)e(x)euu（传递性）12(x)(x)uu（严格单调性）(x)uu(x)是表示偏好关

21、系 效用函数Slide 70III、是连续函数1(,)ua bn+x(x)aubR效用函数u(x)在开区间(a,b)上的逆映射(原象)n+xe(x)eeaubRn+xexeabR(e)(e)ab （定义）（单调性）（传递性）是开集（因为(e)(e)ab和的补集是闭集）(x)uSlide 711.2.2.2 效用函数的唯一性n正单调变化(x)(x)vf u:fRR其中在 的取值范围上是严格递增函数。uSlide 721.2.2.2 效用函数的唯一性n定理1.2：效用函数对正单调变化的不变性u实值函数u(x)能够表示偏好关系 ，那么，当且仅当v(x)是u(x)的正单调变换,v(x)也能够表示该偏好

22、关系。Slide 731.2.2.2 效用函数的唯一性n设 表示的是偏好关系 的结构。(x)u01xx01(x)(x)uu(x)(x)8vuu 3(x)(x)vuu 2(x)(x)vuu Ch 1.3 消费者问题Slide 75Ch 1.3 消费者选择问题n最优解的性质n最优解的充分必要条件Slide 76数学基础n约束最优化求解：拉格朗日方法n 受约束于n可构造拉格朗日函数，用无拘束三变量函数替代两变量函数：n ),(max21,21xxfxx0),(21xxg),(),(),(212121xxgxxfxxLSlide 77拉格朗日定理（定理A2-16）n设f（x）与 是一些定义域在 上的连

23、续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*是f的一个最优值点（最大值或最小值）；f受到 的约束，如果梯度向量 是线性独立的，那么总会存在m个不同的数 使得mjxgj,1),(nRD 0)(xgjmjxgj,1),(,1,mjjnixxgxxfxxLijmjjii,1,0)()(),(1Slide 78定理A2-19n受非负性条件约束的实值函数最优化的必要条件：n设f(x)是连续可微的1.如果在 的约束下,x*最大化了f(x),那么x*满足:0 xnixxfi,1,0*)(nixxfxii,1,0*)(*nixi,1,0*Slide 79定理A2-19,续2.如果在 的约束下,x*最小化了f

24、(x),那么x*满足:0 xnixxfi,1,0*)(nixxfxii,1,0*)(*nixi,1,0*Slide 80Kuhn-Tucker条件（定理A2-20）n受不等式条件约束的实值函数最优化的（Kuhn-Tucker）必要条件n设f（x）与 是一些定义域在 上的连续可微的实值函数。设x*是D的一个内点并且x*受到条件 约束的f的最优解（最大值或最小值解）。如果与所有束紧约束相关的梯度向量 是线性独立的，那么必存在唯一的向量 使得（x*，）满足Kuhn-Tucker 条件：mjxgj,1),(nRD mjxgj,1,0)()(xgjnixxgxxfxxLijmjjii,1,0)()(),

25、(10)(*xgjjmjxgj,1,0)(Slide 81Ch 1.3 消费者选择问题n分析框架u偏好关系：u消费集：可行集：u 最优化选择：nX RBX*xB*xx都有xB使得Slide 82Ch 1.3 消费者选择问题n假设1.2u消费者偏好具有完备性、可传递性、连续性和严格单调性。u消费者的效用可以由一连续、严格递增的拟凹实值函数 表示。形式理性(x)uSlide 83Ch 1.3 消费者选择问题n可行集u预算u行动规则制度、政府规制等交易规则：完全竞争性市场ynp,+xpxyByR可行集：0pSlide 84Ch 1.3 消费者选择问题n消费者问题(x)ux XMax.:stp xyS

26、lide 85Ch 1.3.1 解的性质：存在性A 1.10:如果定义域 D是一个紧集，那么连续实值函数u(x)则存在最大值。(x)u是 上的连续函数BB非空0BB是有界、闭集B是紧集存在最大值满足假设1.20pSlide 86Ch 1.3.1 解的性质：唯一性如果偏好关系满足严格凸性，可行集B是凸集，那么最优解唯一证明：122xx()(x)uu1假设，都是最优选择,有xB是凸集t12xx(1)xttBt12(x)min(x),(x)uuu：严格凸(x)u是严格拟凹函数与假设矛盾假设不成立解是唯一的Slide 87Ch 1.3.1 解的性质：唯一性n非凸偏好1x2xx1x2Slide 88Ch

27、 1.3.1 解的性质：唯一性n非严格凸偏好1x2xx1x2t12xx(1)xtt0,1tSlide 89Ch 1.3.1 解的性质：瓦尔拉斯法则n瓦尔拉斯法则u偏好的递增性u当且仅当 满足以下条件时效用函数取到最大值：*p xyx),(ypxxiSlide 90Ch 1.3.1 解的性质n偏好的理性、连续性n偏好的严格凸性n偏好的递增性n效用最大化问题的解就是马歇尔需求函数。存在性唯一性瓦尔拉斯法则p,x(p,):yyB R马歇尔需求函数Slide 91Ch 1.3.2 解的充要条件n偏好具有良好性质，可导(x)u(x)ux XMax.:stp xy(x,)(x)(p x)uyLSlide

28、92解的充要条件I、*yp x0*(yp x)0 II、0,0ixIII、根据Kuhn-Tucker条件nipxxuxLiii,.,1,0*)(Slide 93Ch 1.3.2 解的充要条件1,2,.,in偏好的严格单调性*(x)0iux（几乎处处成立）*(x)/0iiuxp内点解必要条件*yp x=0 0 xSlide 94Ch 1.3.2 解的充要条件n定理1.4：内点解必要条件的充分性u如果效用函数连续拟凹，在 可导，而且 ，。那么满足以下必要条件的解一定是消费者的效用最大化解。*x*(x)0iiupx1,2,.,in*yp x=0(1.10)0 x0),(ypSlide 95Ch 1.

29、3.2 解的充要条件(x)u拟凹10(x)(xx)0u10(x)(x)uu如果设*x,（）*(x)u存在，是(1.10)的解*(x)pu*p x=y有：证明Slide 96Ch 1.3.2 解的充要条件假设*x不是消费者的效用最大化选择,即00*x,(x)(x)nuuR0s.t.p xy(x)u连续性0,1t ，使得0*(x)(x)u tu0.p xstty 10 xx t令*1*(x)(xx)u*1*p(x-x)*(-)=0y y与u(x)拟凹性矛盾Slide 97Ch 1.3.2 解的充要条件n定理1.5：需求函数的可微性u设 为在 下消费者的最优选择。如果有 在 点上的加边海塞矩阵的秩不

30、等于0。(x)u是 上的二阶连续可微函数nR(x)/0iux1,2,.,in(x)u*x*00 x(p,)y在00(p,)y可微。u那么0 x0)*,(0ypSlide 98例1/1212(,)u x xxx1/121 122()xxyp xp x12(,)x xL1/(1)111/(1)1/(1)12(p,)pyxypp1/(1)221/(1)1/(1)12(p,)pyxyppSlide 99角点解*x0如果那么最优解位于可行集的角上*(x)iiupx00Slide 100角点解n拟线性偏好Slide 101角点解n线性偏好24421212(,)u x xxx12(,)(1,2)p px14

31、y)0,4(),(ypxSlide 102角点解（根据定理A2.19)12(,)x xL1212(42)xxxx*110 x L*1(1)0 x0,0ix*21 20 x L*2(1 2)0 x*p x=0y Slide 103角点解1、120 xxp(0,0)=0yy2、120,0 xx*120 20 x*1/2*111/20 x LSlide 104角点解3、120,0 xx*10 10 x*1*21 210 x L002141x41xSlide 105课堂练习n1.20、1.24、1.25、1.26、Ch 1.4 间接效用与支出Slide 107数学基础n值函数（Value functi

32、on）(a)Mxmax (x,a)st:(x,a)=0 x0fgMP：),()(aaxfaMSlide 108最大化定理n如果目标函数与约束条件关于参数是连续的,并且如果定义域是一个紧集,那么,M(a)与x(a)是参数a的连续函数.n进一步,如果目标函数,约束条件与解均对参数可微,则有包络定理.Slide 109包络定理（定理A2.21）u（MP）中，如果f(),g()对a连续可微，并且对任意a,x(a)0是MP的唯一解，而且对a可微。为该问题的拉格朗日函数，是满足kuhn-Tucker条件的解。那么有u （等式右边表示拉格朗日函数关于参数aj的偏导数，它在点（x(a)，(a)）处取值 ）(a

33、)(x,a,)x(a).(a)aaML(x(a),(a)(x,a,)LSlide 110包络定理的含义n定理说明了如下情况：n当参数发生变化时（并且假设因此变化而使整个最优化问题被重新赋值），它对目标函数最优化值产生的总效应可用如下方式来推导：给拉格朗日函数求参数的偏导数，并接着可在原问题的一阶库恩-塔克条件的解处给该导数取值。n证明：略Slide 1111.4.1 间接效用函数xmax(x)nuR:stp xy(p,)vy x(p,)y(x)up,xyB()u(p,)vy Slide 1121.4.1 间接效用函数u定义在消费集上的效用函数n直接效用函数 u(x)u定义在(p,y)上的函数n

34、间接效用函数 v(p,y)当价格、收入变化时，消费者福利会发生怎样的变化？:nRRRSlide 1131.4.1 间接效用函数n性质1：在 上连续:nRR最大化定理约束函数是p,y的连续函数n性质2：是(p,y)的0次齐次函数(p,)vy(p,t)v ty0t Slide 1141.4.1 间接效用函数n性质3、4：是y的严格递增函数，p 的递减函数。n证明：构建拉格朗日函数n令 为最大化问题的解，则根据拉格朗日定理得出存在一个 使得下式成立：易得 0)()(),(pxyxuxL),(*ypxx R*0*)(*)*,(iiipxxuxxL*Slide 115性质3、4n根据包络定理,n因此v(

35、p,y)关于y是递增的.n同样根据包络定理有:n因此v(p,y)关于p是递减的.*(p,)(x,)0vyyyL*(p,)(x,)0iiivyxppL0iif x Slide 1161.4.1 间接效用函数n性质5：是(p,y)的拟凸函数11(p,)y22(p,)yt1212(p,)(p(1)p,(1)tytttyt y拟凸t1122(p,)max(p,),(p,)tvyvyvy12xxxtBB orB0,1t 令Slide 1171.4.1 间接效用函数n假设不成立，那么12x,x,xtB butBB即1tpxty2(1-t)p x(1-t)y12tp x+(1-t)p xty12ttp+(1

36、-t)p x=p xty与xtB矛盾11yxp22yxpttyxpSlide 118性质6:Roy恒等式：n消费者对物品i的马歇尔需求只是间接效用函数关于pi的偏导数与其关于y的偏导数的比率的负数。n根据包络定理，n根据性质3，有(p,)/(p,)(p,)/iivypxyvyy*)*,(),(iiixpxLpypv0),(*yypvSlide 1191.4.1 间接效用函数n例1212(,)u x xx x11(p,)()yxyp22(p,)()yxyp12(p,)()()yyvypp 12(p,)()yvyp p Slide 1201.4.2 支出函数n在给定价格(p1,p2)下，实现效用水

37、平u，至少需要多少预算（支出）？ux1x2u(x1,x2)=u等支出线12122pexxpp11ep21ep*1epSlide 1211.4.2 支出函数n支出最小化问题(EMP)p xe hx*=x(p,)u(p,)eu h(p,)p x(p,)euu希克斯需求函数n+xminRuxuts)(.Slide 1221.4.2 支出函数n希克斯需求函数 xh(p,u)u在价格p下，实现效用水平u，支出最小的消费束。Slide 1231x1ph00112(,)xp p u2/y p10 x=x(p,)yx1x2xh21x=x(p,)yhh10 x=x(p,)u2x0u1u1x1=x(p,)yy补偿

38、需求曲线0112(,)x p p y01p02ph01112(,)xp p uSlide 124Hicksian demand functionn对于不同的无差异曲线，对于不同的效用水平，有不同的希克斯需求曲线，它们中的每一个的形状与位置将总是由潜在的偏好所决定。n在同一条希克斯需求曲线上的每一点，其给消费者带来的效用都相等。n显然，在给定价格体系p和效用水平U(x)之后，相应的希克斯需求不见得存在，即使存在，也不见得唯一，要使其具有存在性和唯一性，还须运用相应的假设。Slide 1251.4.2 支出函数n支出最小化问题解的存在性、唯一性n支出函数的性质Slide 126存在性定理n设消费集

39、合X是向下有界的非空闭集，是连续的偏好，则对任何价格向量 及任何 ，都有 （即希克斯需求集合非空）。因此理性消费者的希克斯需求是存在的。0pXx),(*upxSlide 127唯一性定理n设消费集X是凸集,是连续的严格凸偏好,则对于符合条件e(p,x)e*(p)的任何价格体系p和消费向量 ,希克斯需求集合 中最多只有一种消费方案.因此,理性消费者的希克斯需求是唯一的.Xx),(*upxSlide 128存在性定理的证明01,1,2.,and lim,llllleeElee(x)e是连续函数1x with=p x,(x)llllleuu(x)u是连续函数0(x)uu0eEE是闭集000 limx

40、x,p xlle满足n+p x,x (x)Ee efor somewith uuRSlide 129续E有下界p xe p0,x00n+xRE是闭集2.1.存在最小值，即*xnR*p xp xx with(x)uuSlide 130唯一性定理的证明u(x)是严格拟凹函数假设x1,x2都是EMP的最优解u(xt)u pxt=px2=e存在kupkxte如果偏好满足假设1.2，那么EMP最优解唯一证明：12p xp xp x(p,)eux,(x)uu满足，都有12(x)(x)uuuu而且，u(x)是连续函数与假设矛盾Slide 131支出函数e(p,u)的性质n如果u(.)是连续且严格递增的,那么

41、由最小值函数定义的e(p,u)则是:n性质1：当效用水平取最低值时，支出函数值为0。偏好（严格）递增n+(x)xuRU(0)minup 00e n性质2：在 是连续函数(最大化定理)nRUSlide 1321.4.2.2 支出函数性质n性质3:对 ,是u的严格递增函数，而且无上界。n证明:假设非严格递增，令u1p tx122(x)uu tu满足记x1xh(p,u1),x2 xh(p,u2)与x1xh(p,u1)矛盾0pSlide 1331.4.2.2 支出函数性质n性质3：证明（微分方法：包络定理）假设1.而且可微(0)uu u()可微(x)/0iux而且1,2.i u()连续，严格递增性*(

42、x)uu2.I.0p0),(upxh0p uxu)(),(*upxxhSlide 1341.4.2.2 支出函数性质(x,)p x+(x)uuL根据拉格朗日定理，必然存在一个*，使得：由于 u(x)是递增的,所以*0根据包络定理：n性质4：支出函数是价格的递增函数。*(p,)(x,)0euuuL*(p,)(x,)(p,)hiiieuxuppL00*)(*)*,(iiixxupxxL0p0*)(ixxuSlide 1351.4.2.2 支出函数性质n性质5：价格的一次齐次函数(p,)(p,)e t uteutp xn+xminR(p,)e tup xn+xmintR(p,)teuSlide 13

43、61.4.2.2 支出函数性质n性质6：是价格的凹函数1h1xx(p,)ut12pp(1)ptt2h2xx(p,)uthtxx(p,)u11p x1tp x12(p,)(1)(p,)teut eut(p,)eu证明：0,21pptxpxp222ttxptxtp21)1(Slide 1371.4.2.2 支出函数性质n性质7:Shephard lemman证明见性质4.*(p,)(x,)(p,)hiiieuxuppLSlide 1381.4.2.2 支出函数性质n例:求与 对应的支出函数 n解:求拉格朗日函数的一阶条件并消去 ,得到 ,于是可得支出函数1212(,)u x xx x1122pxp

44、xn+xminR:st120ux x),(21221121xxuxpxpxxL),(),(21upxupxhh),(),(),(2211upxpupxpupehhSlide 1391.4.3 间接效用与支出函数的关系(p,)p x x(x)euuu满足 定义定义(p,)(x)x p xvyuy满足(p,)p x(p,)euy(p,)vyh(x(p,)uuu（1.17）（1.16）(p,)uvyp x(p,)=yy1、y(p,)yeuhp x(p,)=uy2、(p,(p,)veuu(p,(p,)evyySlide 1401.4.3 间接效用与支出函数的关系n支出最小化要达到效用u，最小的支出是e

45、(p,u)n效用最大化支出为y时效用最大取值为u 支出为y时总能实现效用u y 最小支出e(p,u)n效用最大化在支出为y的条件下能达到的最大效用是un支出最小化实现效用u的最小开支取值为e(p,u)当开支取值为e时总能实现u 开支取值为e(p,u)时带来的效用v(p,y)uSlide 1411.4.3 间接效用与支出函数的关系n定理1.8：假设 连续且严格递增，如果 和 分别是消费者的间接效用函数和支出函数，那么，对 有：u u(x)u(p,)vy(p,)eu0y uU(p,(p,)veuu(p,(p,)evyy0pSlide 1421.4.3 间接效用与支出函数的关系n(p,(p,)evy

46、y(p,)euy假设(p,)uvyu设 0 e()连续性uu满足，使得(p,)euy:y(p,)vyu (1.17)这是不可能的(p,)(p,)vyvyuu证明：(1.16):(p,(p,)evyyv()是y的严格递增函数uypvypvu),(),(Slide 1431.4.3 间接效用与支出函数的关系n(p,(p,)veuu0(p,)vyu(p,)pxeu (x)uu(x(p,)uyu即（1.17）:(p,(p,)veuu假设(p,)0yeu(p,)vyu证明：(0)uuv()连续0y满足，使得这是不可能的yypxpupey),(),(Slide 1441.4.3 间接效用与支出函数的关系n

47、定理1.9：马歇尔需求与希克斯需求的对偶性u在假设1.2下，对于所有u有:u hx(p,)x(p,(p,)ueuhx(p,)x(p,(p,)yvy0p0y uUSlide 1451.4.3 间接效用与支出函数的关系n hx(p,)x(p,(p,)yvy000 xx(p,)y000(p,)vyu00(x)uu000pxy0000(p,(p,)evyy000(p,)euy00(x)uu000pxy0h0 xx(p,)u证明：定理1.8Slide 146对偶性的内涵n 从表面上看,效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化的问题,支出最小化的希克斯需求没有考虑效用最大化的问题,但事实并非如此.n马歇尔

48、需求与希克斯需求是互相一致的,或者说,效用最大化蕴涵着支出最小化,支出最小化也蕴涵着效用最大化.n因此,消费最优选择不仅可以看做一个选择与预算线相切的最高无差异曲线的问题,也可以看做是一个选择与既定的无差异曲线相切的最低预算线的问题.1.5 需求函数性质Slide 148Relative prices and real income.nrelative price prices the good by some other good,not money.nreal income is the maximum number of units the consumer can consume if

49、 he spends all his money income.jipp/jpy/Slide 1491.5 需求函数的性质n定理1.10:0次齐次和预算平衡u在假设1.2下 x(p,y)是(p,y)的0次齐次函数nx(tp,ty)x(p,y)for all t0满足预算平衡：p x(p,y)=ySlide 1501.5 需求函数的性质n相对价格形式令ux(p,y)=x(tp,ty)1ntp相对价格：实际收入：对n种商品中每一种商品的需求只依存于n-1个相对价格与消费者的实际收入。/ijpp/jy p),1,(11nnnnpyppppxSlide 1511.5.2 收入效应与替代效应n希克斯分解

50、u替代效应(SE)：在保持消费者最大化效用不变前提下，相对价格变化所引起的需求量的变化。u收入效应(IE)：总效应(TE)与替代效应的差。TE=SE+IESlide 1521x1ph00112(,)xp p u2/y p10 x=x(p,)yx1x2xh21x=x(p,)yhh10 x=x(p,)u2x0u1u1x0112(,)x p p y01p11pTEIESE1.5.2 收入效应与替代效应Slide 1531.5.2 收入效应与替代效应*(p,)(p,)hiijjxyxuppn Slutsky 方程(p,)(p,)iixyxyy收入效应替代效应Slide 154Slutsky 方程h*i