数学史的历史课件.ppt
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- 数学史 历史 课件
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1、新课程中的数学史 合肥二中合肥二中 吴德勇吴德勇数学史专题教学设计数学史专题教学设计数学史专题教学设计过程数学史专题教学设计数学史专题教学设计l 可接受性可接受性:数学史专题的内容应符合学生的认知水平;l 实用性实用性:数学史专题的教学应与必修课相结合,或为必修课服务,或为必修课内容之拓展和深入;l 科学性科学性:数学史专题的教学内容应符合史实,教学设计应符合课程标准及有关教学理论;l 可操作性可操作性:数学史专题的内容应为教师所易于接受,教学设计应为教师所易于操作。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数形数(figured numbers)理论可以上溯到毕达哥拉斯(Pythagor
2、as,569 B.C.500 B.C.)本人。用一点(或一个小石子)代表1,两点(或两个小石子)代表2,三点(或三个小石子)代表3,等等,毕达哥拉斯学派在世界数学史上首次建立了数和形之间的联系。早期毕达哥拉斯学派似乎已经熟悉利用小石子或点来构造三角形数和正方形数;晚期的毕达哥拉斯学派成员尼可麦丘(Nicomachus,60?120?)以及稍后的泰恩(Theon,约2世纪上半叶)则讨论了各种平面数(包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等)和立体数(包括立方数、棱锥数等等)。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l问题问题1(“归纳猜想论证归纳猜想论证”第第1课时课时)
3、依次计算数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1 +2+3+4+3+2+1,的前四项值,由此猜测的结果,并加以证明。1 231132 1nannn 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数正方形数案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 古希腊数学家Iamblichus(公元4世纪)在研究Nicomachus算术引论一书时发现 =n2 Iamblichus或许正是从正方形数的构造中发现上述结论的。1231132 1nannn 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 问题问题2(2006广东数学高考题)在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓
4、球成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个球,第2、3、4 堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)=_,f(n)=_。案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数l 后期毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到立体数。前四个三棱锥数为 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 案例案例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数第n个三棱锥数为(1)(1)(2)1 3626n nn nn(Nicomachus,1世纪)案例案
5、例1 从从多边形数到棱锥数多边形数到棱锥数 前四个四棱锥数为 1 1+4 1+4+9 1+4+9=16l 第n个四棱锥数为2(1)(21)1496n nnnu莱因得纸草书(约公元前1650年)124房屋 猫老鼠麦穗容积总数 7 49 343 24011680719607 2801 56021120419607莱因得纸草上的等比数列问题莱因得纸草上的等比数列问题 12nnaqaqaqaS22naqaqaqaqa1nqSa1nnaqSqaqaqaSnn11qu欧几里得几何原本(公元前3世纪)第 9 卷命题 35nnaaaaaa12312nnnaaaaaaaaa122311211122111qaaa
6、aaaaann111qqaSnn1qu巴比论:泥版数学文献(约公元前3000年)但我们无法判断古代巴比伦人是否知道一 般公式。385553210311103212222u阿基米德(阿基米德(Archimedes,前前287-212)论劈锥曲面体与球体命题2引理;论螺线命题10 2222121123)1(nnnaaaaaaaan222221321)1(nnnn阿基米德123n-1nn-212n-1n-2n-3)1(1)2(22)2(1)1(nnnnn2222nn)1(12)1(1)1(1222nnn)2(22)2(2)2(2222nnn1)1(21)1(1)1(222nnn2222212)1(n
7、nn1)1(2)2(22)1(12nnn)1(2)1(12nn)2(4)2(22nn)3(6)3(32nn1)1(21)1(2nn)21(1)1()2(2)1(12nnnn1)12()2(5)1(31nnnnnnnn)1(212)2()1(2nnn)1)(2()1()1(2nnnn12)3()2(2)1(nnn122221122)1(nn 222212n1)1(2)2(22)1(12nnn1)12()2(5)1(3121222nnnnn222221321)1(nnnn)12)(1(613212222nnnnu阿基米德杠杆原理的启示物理视角下的二次幂和v Fehr(1963):“伏尔泰曾说过:如
8、果没有上帝,那就有必要创造一个出来。同样,我们也可以断言:在数学学习中,如果没有该学科的物理应用,那就有必要创造出一些来!”阿基米德原理(尼加拉瓜,1971)nnn321113232122221213132nnn12161nnnu阿尔海赛姆(Al-Haitham,9651039):10-11世纪波斯 数学家 1234n1111111234n+123+1234+12+11234n22222 nkkrnrnrrrnr11112)1(12)1(6112nnnrnru吉尔森(R.Levi Ben Gershon,1288-1344)计算者之书(Maaseh Hoshev)222213221nnnn n
9、nnn2113121222123n1 123n2222边长分别为 1、2、3、n 的 n 个正方形面积之和即为二次幂和n321n323nnn吉尔森公式的几何图示:扩缩法ninrnrknrnrrnkr111221nirrnn12221ninrrrnn112221211211216112nnnrnru帕斯卡(B.Pascal,1623-1662)分别令 r=1,2,n,将个等式相加即得 1331233rrrrnrnrrrnn1213331)1(12)1(6112nnnrnru三角形法122333nnnnnnnn-1-1-1nn-1122nnnnnnn-1-1-1n-2n-2nnnn-1122nnn
10、n-1-1n-23312n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+12n+u体积法12121123112nnnrnrnrnr2161121421414313nnnnnnVl阿基米德OBDACVXYWEFHLGMNPQRST AH:AT=圆柱截面:(圆锥截面球截面)(圆锥截面球截面)=圆柱截面 (圆锥AEF球)=圆柱EG,222:APACATACACATACATAH222:PTATMT222:PTRTMTAHATAHAO 球=4 圆锥ABD 336134DRV 24RS1A2A3A12 nA12 nA14 nAnA41A2A3AnA41B
11、1C12 nB22 nC14 nAnA2nA2TO 球外切圆柱之表面积 1221214nnnAAAAS1221214nnnAAAAS24RS32S nnnnpSVVVV44221431RSVnn4431334RV u刘徽(3世纪)与祖暅(5世纪)牟合方 盖中国传统数学的代表人物魏晋时期数学家刘徽利用3DSMAX软件制作的牟合方盖 八分之一合盖的截面 内棋(八分之一合盖)外棋(“立方之内、合盖之外”部分)C1DBCA倒立的阳马 u开普勒(J.Kepler,15711630)测量酒桶体积的新科学(1615)将球体积看成是无穷多个小棱锥的体积之和,这些棱锥的顶点在球心,底在球面上,于是由棱锥体积公式
12、可得球积公式 SRSRVS3131lim0开普勒u卡瓦列利(B.Cavalieri,15981647)连续体不可分 量的几何学 (1629)BAOECDFGHK222222HKGKOKGKOGFK222GKHKFK圆柱截面圆锥截面半球截面 圆柱体积圆锥体积半球体积 u松永良弼(16901744):算法集成 niiiininrnDrrnDV122211)(2niDDniDri2nininiinnDV1123326161Dn361DV 案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理C1B1A1CBAl问题问题1 1 如图,正三角形ABC 的边长为2,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC,
13、求几何体的体积。11AA 13BB 12CC 案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理l 问题问题2 如图,已知多面体ABC-DEFG中,AB、AC、AD 两两垂直,平面ABC/平面DEFG,平面BEF/平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,求该多面体的体积。A D G B E F C案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理2213Vaabbh案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理2221133Vabhbahaabbh案例案例5 割补法与出
14、入相补原理割补法与出入相补原理B1C1A1D1DCBABCA1D1ABCDD1A1C1B1案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理A1D1DABCD1ABA1CBADD1刘徽原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例5 割补法与出入相补原理割补法与出入相补原理案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题 1(费马平面与立体轨迹引论)动点 P 到两定点 M 和 N 距离的平方和与三角形PMN的面积之比等于给定比,求点 P 的轨迹。如图3,设 P为满足已知条件的任一点,PZ为MN的垂线,Z为垂足。MN=a,MZ=x,ZP=y,则由已
15、知条件得,其中k为常数。即案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题即 。其中k为常数。这就是Z沿MN 运动时,变线段ZP的另一端点 P 所画出的曲线的方程。那么,这是什么曲线呢?2222xyxaykay a-x y x Z M P N222222xyaxaaky案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题取 MN 的中点 A,过 A 作 MN的垂线段AB,使得 4AB/a=k。以 AB 为直径作半圆 ACB,在其上取点 C,使得 AC=AN。以B为圆心、BC 为半径作圆,在该圆上任取一点 P,则 PM 和 PN 的平方和与三角形 PMN 面积之比等于
16、给定比。C A M B P N案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题这里,费马给出了方程 所确定的轨迹的作图法,该轨迹是一个圆。费马的方法相当于将方程化成222222xyaxaaky22222442aakakaxy案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题 2(帕普斯三线问题之特殊情形)设给定3条直线AB、AD、EF,其中直线AB与EF互相平行,AD垂直于AB,动点C到3条已知直线的距离CB、CD、CF满足 ,求C点轨迹。2CB CFkCD案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题 x y-a a B D F M
17、 A E C N22221yxaak案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题l 问题问题3(帕普斯四线问题之特殊情形)设给定4条直线,其中AB和EF平行,AD和GH平行,且AB与AD垂直,动点C且到它们的距离为CB、CD、CF和CH,满足CBCF=CDCH,求C点轨迹。案例案例6 费马与笛卡儿研究的轨迹问题费马与笛卡儿研究的轨迹问题 x y 2a H D F B C A 2b G E2222()()xaybab函数概念应该成为中学数学的基石 F.Klein(1849-1925)从伽利略到狄利克雷,数学家一直绞尽脑汁去理解函数的概念,但现在却由定义域、值域和序偶(第一个数
18、相同时第二个数也必须相同)来玩弄把戏。M.Kline(1958)20世纪50和60年代函数的形式化定义是一个大错误,我们可以将函数说成是法则、机器,但决不能把它说成是序偶的集合!Thorpe中学阶段应该教简单易懂的函数概念。M.A.Malik(1980)较之函数的现代定义,职前教师对函数的理解要狭隘得多、原始得多。既然如此,我们还能期望他们按照现代课本上出现的函数的现代定义来教吗?参与者对函数的不完善的理解是有问题的,这又会导致他们学生的函数定义与表象之间的不一致性,使学生的函数概念表象与18世纪的表象相类似 R.Even l约翰伯努利(1718):一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式
19、组成的量。Johann Bernoulli,1667-1748l 欧拉(1748):一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式组成的解析式。Leonhard Euler,1707-1783l 欧拉(1755):如果某些量依赖于另一些量,当后面这些量变化时,前面 这些变量也随之变化,则前 面的量称为后面的量的函数。Leonhard Euler,1707-1783l 孔多塞:设有若干量x,y,z,F,对于x,y,z,的每 一个确定的值,F 有一个 或多个确定的值与之对应,则称F为x,y,z,的一 个函数。A.N.C.Condorcet,1743-1794l 拉克洛瓦(S.F.Lacroix,
20、1765-1843)(1797):任何一个量,如果它的值依赖于一个或多个其他的量,那么它就称为这些量的函数,不管我们知不知道这种依赖关系是通过什么运算实现的。l 拉格朗日(1797):所谓一个或几个量的函数,是指任意一个用于运算的表达式,这些量以任意方式出现于表达式中,表达式中可以有(也可以没有)其它一些具有给定的不变值的量,而函数的量可以取所有可能的值。J.L.Lagrange,1736-1813l 傅立叶(1822):函数f(x)代表一系列的值或纵坐标,它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标 x 的值,有同样多个纵坐标 f(x)的值。所有的值要么为正数,要么为负数,要么是零。无
21、需假设这些纵坐标满足同一个法则;它们可以任何方式接续,每一个都好象是单个的量。J.Fourier,1768-1830l 柯西分析教程(1821):当变量之间这样联系起来,即给定了这些变量中的一个值,就可以决定所有其它变量的值的时候,人们通常想像这些量是用其中的一个来表达的,这时这个量就被称为自变量;而用自变量表示的其它量就叫做该变量的函数。A.L.Cauchy,1789-1857l 罗巴切夫斯基(1834):x 的函数是这样的一个数,它对于每个 x 都有确定的值,并且随着 x 的变化而逐渐变化,函数值或者由解析式给出,或者由一个条件给出,这个条件提供了一种检验所有的数并选择其中之一的方法,或者
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