微分方程数值解课件.ppt
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- 关 键 词:
- 微分方程 数值 课件
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1、微分方程数值解陈文斌MEuler方法atuTttutfu)(,),(00考虑常微分方程:方法有如下令EulerNmhttmmm,1,.,1,0,11atuuNmuthfuummmm)(1,.,1,0),(001Euler方法的三种解释z数值微分:用差商来代替导数z数值积分:把微分方程变成积分方程z幂级数展开:将u(t+h)在t 做Taylor展开)(,()()(tuthftuht)(,()(,()()(tuthfduftuhtuhtt)(,()(.)(!2)()()(2tuthftutuhthutuhtu单步方法和多步方法z单步方法:利用h,tm和um即可算出um+1z多步方法:要用到h,tm
2、,tm+1,tm+k-1和um,um+1,um+k-1才能求出 um+k);,(1huthuummmmkjkjjmjjmjfhu00显式和隐式方法z显式格式:um+1通过递推可以直接求得z隐式格式:um+1需要求解代数方程才能求得,例如改进的Euler方法atuuNmutfutfhuummmmmm)(1,.,1,0,),(),(200111局部截断误差和整体截断误差z局部截断误差Rm:假设第m步精确计算的前提下,计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差z整体截断误差 :在考虑误差累积的效应下,计算解um+1和精确解u(tm+1)的误差mmmmutu)(相容性和相容的阶zq阶相容:若一个离散变
3、量方法的局部截断误差对任意m满足:)1()(1qhORqm收敛性与收敛的阶z收敛:对任意的 ,成立z若此时,整体截断误差满足 则称方法的收敛阶为p,简称为p阶的,(0Ttt)(lim00tuumtmhth)(pmhO稳定性z方法稳定性稳定性指对初始误差的连续依赖性,以线性k步方法为例,即为存在常数C和h00,使得当 时z这里常数C不依赖于h。通常这里定义的稳定性指 情况下的稳定性。mmkmmmNmkvuCvu10maxmax,0(0hh 0h绝对稳定性z绝对稳定性指对某类模型问题,对固定的 ,当 时计算是稳定的。z复平面上所有这样的 组成的区域称为这个方法绝对稳定区域thhhhuu记为复数域中
4、一个常数,,高阶单步方法-Taylor级数法qjjjjmmmmqmqqmmmmmtutfdtdjhhtutuhuthuuutftuhOtuqhthutuhtuTaylorqthtu1111011)()(,(!);(,0),;,(),()()()(!.)()()(1)((这里得到计算公式:表示,可以导数可以由满足微分方程,其各阶由于展开项处作在将高阶单步方法Runge-Kutta方法方法系数得到不同的注意这里可以通过调节(高阶逼近函数值来得到导数值的方法本质上是用多点的KuttaRungeNibakbhuhatfkutfkkchutKuttaRungeijijiijjijiiNiii,.,3,2
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